Лекции Гидропривод / Тема_4

Тема 4

Динамика идеальной жидкости. Основные виды движения жидкости. Методы изучения движения жидкости. Понятие об элементарной струйке. Уравнение Эйлера для идеальной жидкости. Уравнение неразрывности.

Динамика идеальной жидкости. Основные виды движения жидкости. Понятие об элементарной струйке.

Гидродинамикой – называют раздел гидравлики изучающий движение жидкости, а также взаимодействие между жидкостью и твердыми телами при их относительном движении.

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) или не установившимся (не стационарным)

Установившимся – называют движение жидкости неизменное во времени, при котором давление и скорость являются функциями только координат, но не зависит от времени. Давление и скорость могут изменятся при перемещении частицы жидкости из одного положения в другое, но в данной неподвижной относительно русла точке давление и скорость при установившимся движении не изменяются во времени, т. е.

В частном случае установившееся движение может быть равномерным, когда скорость каждой частицы не изменяется с изменением ее координат, и поле скоростей остается неизменным вдоль потока.

Неустановившимся – называют движение жидкости, все или некоторые характеристики которого изменяются во времени, т. е. давление и скорость зависят как от координат , так и от времени.

Примеры установившегося и неустановившегося движения.

При неустановившемся течении траектории различных частиц, проходящих через данную точку пространства, могут иметь разную форму. Поэтому для рассмотрения картины течения, возникающей в каждый данный момент времени, вводится понятие линии тока.

Линией тока – называетя кривая в каждой точке который вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной. Очевидно, что в условиях установившегося течения линия тока совпадает с траекторией частицы и не изменяет своей формы с течением времени.

Если в движущейся жидкости взять бесконечно малый замкнутый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверхность, наз. – трубкой тока. Часть потока заключается внутри тока, наз. – элементарной струйкой. При стремлении поперечных размеров струйки к нулю она в пределе стягивается в линию тока.

В любой точке трубки тока, т.е. боковой поверхности струйки, векторы скорости направлены по касательной, а нормальные поверхности составляющие скорости отсутствуют, следовательно, при установившемся движении одна частица жидкости в одной точке трубки тока не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу. Т.о. трубка тока является как бы непроницаемой стенкой, а элементарная струйка представляет собой самостоятельный элементарный поток.

Различают напорные и безнапорные течения жидкости.

Методы изучения движения жидкости

В гидромеханике существуют два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

1. Метод Лагранжа заключается в изучении движения каждой отдельной частицы жидкости. В этом случае движение определяется положением частицы жидкости в функции от времени t. Движение частицы будет определено, если точно определить координаты x, y, и z в заданный момент времени t, что дает возможность построить траекторию движения частицы жидкости. Величины x, y, и z являются переменными Лагранжа, а их изменения за время dt позволяет получить значение dx, dy и dz, а затем путь Проекции скорости на координатные оси определяются зависимостями , , , а местная скорость .

Метод Лагранжа сводится к определению семейства траекторий движения частиц движущейся жидкости.

Учитывая, что для установления движения линии тока совпадают с траекторией движущихся частиц, можно записать =

Это выражение называется уравнением линии тока. Метод Лагранжа в гидравлике не нашел широкого применения ввиду его относительной сложности.

2. Метод Эйлера основан на изучении поля скоростей, под которым понимается значение величины и направления скоростей во всех точках пространства, занятого движущейся жидкостью.

Переменными Эйлера являются значения скоростей , которые определяются в зависимости от координат точек пространства и времени, т. е.

Метод Эйлера нашел широкое применение в гидравлике. Он позволяет определить скорость в любой момент времени, но в то же время не позволяет изучить движение отдельной частицы жидкости.

Рассмотрим теперь понятие расхода жидкости и средней скорости.

Расходом Q называется количество жидкости, протекающее через сечение потока в единицу времени.

или

Средней скоростью называется одинаковая по всему сечению потока скорость, при которой расход равен действительному.

Средней скоростью в данном живом сечении потока называется такая фиктивная, но одинаковая во всех точках сечения величина, при которой через данное сечение проходит такое, же количество жидкости, как и при действии распределенных скоростей.

Уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости

Уравнение Эйлера которое выражают условия равновесия жидкости, уже были нами получены:

(4.1)

Чтобы получить уравнения движения воспользуемся принципом Даламбера для перехода от равновесия к движению необходимо к действующим силам прибавить силы инерции.

С учетом того, что уравнение (4.1) приведено к единицы массы, соответствующие силы инерции будут:

; ;

Прибавляя силы инерции, действующие силы к силам получим:

(4.2)

Уравнения (4.2) были получе6ны в 1755г. Академиком Российской Академии наук Эйлером и названо дифференциальным уравнением движения невязкой жидкости.

Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности или сплошной жидкости основано на законе сохранения массы и исходит из положения механики сплошных сред о том, что внутри движущейся жидкости не может произойти разрыв, т. е. установится пустота.

Уравнение неразрывности может быть представлено в дифференциальной форме для частицы жидкости и элементарной струйки, а также в конечных величинах для потока жидкости.

Выделим в потоке элементарный объем. Рассмотрим изменение протекающей массы жидкости по оси Ox. Скорость жидкости вытекающей через левую грань Ux, тогда скорость вытекающей через правую Принимая ρ=const, можно записать, что через левую грань за время dt пройдет масса

;

( где Uxdt=dx; )

А через правую

Разность этих масс составит

Рассматривая по аналогии изменение массы жидкости по осям Oy и Oz, запишем и

Закон сохранения массы требует, чтобы общее изменение массы, прошедшей через выбранный объем, равнялось нулю

=0

Или (4.3)

Уравнение (4.3) называется уравнением неразрывности или сплошности в дифференциальной форме для произвольного движения не6сжимаемой жидкости.

При установившемся движении уравнение неразрывности можно вывести исходя из свойств элементарной струйки, в соответствии с которым жидкость из струйки не вытекает в стороны и не притекает в нее извне, но в то же время местные скорости разные по длине струйки. Отсюда следует, что количество жидкости, притекающей к струйке в начальном сечении и вытекающей из нее в конечном сечении, равны между собой и общий объем жидкости в струйке не изменяется т. е. элементарные расходы в единицу времени:

втекает ,

вытекает и тогда (4.4)

Выражение (4.4) и является уравнением неразрывности для элементарной струйки.

Для потока жидкости уравнение неразрывности будет иметь вид:

или

Т. е. отношение средних скоростей в сечениях потока обратно пропорционально отношению их площадей. Из этого следует, что при установившемся сечении с уменьшением площади сечения средняя скорость увеличивается и наоборот.