Лекции Гидропривод / Тема_2

Тема 2

Основы гидростатики. Силы, действующие на покоящуюся жидкость. Гидростатическое давление и его свойства. Основное дифференциальное уравнение жидкого тела.

Основы гидростатики. Силы, действующие на покоящуюся жидкость.

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором изучается равновесие жидкостей и воздействие покоящихся жидкостей на погруженные в них тела и поверхности, ограничивающие жидкости.

Одна из основных задач гидростатики – изучение распределения давления в жидкости и определение на этой основе сил, действующих со стороны жидкости на соприкасающиеся с ней твердые тела.

Знание законов гидростатики позволяет рассчитать силы, действующие на дно и стенки сосудов различной формы и назначения (балки, емкости, цистерны), на тела, погруженные в жидкость (под. лодки, корабли), и вывести условия плавания тел на поверхности и внутри жидкости.

На все физические тела, в том числе и на жидкости, обладающие массой, действуют силы. Их можно разделить на внешние, действующие из внешнего пространства, например, силы тяжести, центробежные, магнитные, давление стенок сосудов, и внутренние, действующие между молекулами, внутри атомов. Внутренние силы, как правило, полностью уравновешены и поэтому не входят в расчетные формулы, которые мы будем рассматривать. В дальнейшем мы будем иметь дело только с внешними силами.

Внешние силы делят на массовые и поверхностные.

Массовые силы действуют на все частицы данного тела и пропорциональна его массе. К ним относятся силы тяготения, силы инерции – действующие на жидкость при относительном ее покое. В случае однородной жидкости, т. е. жидкости, имеющей всюду одинаковую плотность, массовые силы будут пропорциональны также объему жидкости, поэтому при ρ=const , массовые силы можно называть объемными силами.

Поверхностные силы действуют на поверхности тела и пропорциональны его площади. К ним относятся силы воздействия на данное жидкое тело со стороны соседних объемов жидкости или соприкасающихся с данной жидкостью твердых либо газообразных тел.

Следует отметить, что на жидкость в состоянии равновесия могут действовать только поверхностные силы нормальные к ее поверхности, т. е. отсутствуют какие – либо касательные силы вызывающие касательные напряжения. Касательные напряжения в жидкости могут возникать только в случае ее движения.

Гидростатическое давление и его свойства

Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости (рис. 2.1). Выберем внутри него какую-либо точку А и проведем через нее секущую плоскость S-S, которая рассечет объем жидкости на два отсека I и II. Через плоскость S-S на отсек II со стороны отсека I будет действовать сила Р, называемая силой гидростатического давления.

Сила Р будет нормальной силой. Выделим у т. А на поверхности S-S элементарную площадку ∆ω, на которую будет приходиться часть силы Р, которую обозначим ∆Р. Мысленно уменьшая размеры площадки ∆ω, мы получим гидравлическое давление в данной точке, покоящейся жидкости Р, или короче гидростатическое давление

Р=lim ∆Р/∆ω, (∆ω→0),или Р=dР/dω.

Итак, гидростатическое давление есть предел отношения сжимающей силы ∆Р к элементарной площадке ∆ω при уменьшении размеров последней до 0.

Гидростатическое давление обладает следующими свойствами:

1. Гидростатическое давление действует нормально к площадке действия и является сжимающим, т.е. оно направлено внутрь того объема жидкости, который мы рассматриваем.

2. Гидростатическое давление Р в любой точке одинаково по всем направлениям (т.е. не зависит от угла наклона площадки действия).

Для доказательства этого положения выделим внутри покоящейся жидкости произвольную точку А и выделим у этой точки элементарный объем жидкости в виде прямой призмы (рис. 2.2),в основании которойлежит прямоугольный треугольник АВС.

Рис. 2.2

Заменим действие жилкости на призму силами гидростатическоего давления dР_х, dР_z, dP_n, под действием которых призма находится в равновесии. Сила dG-объемная внешняя сила, которой можно пренебречь в силу ее малости.

Т.к. призма находится в равновесии, то треугольник сил будет замкнутым и подобен треугольнику АВС, и тогда из закона подобия следует, что

dР_х = dP_n= dР_z или dР_х = dP_n= dР_z

АВ ВС АС d z d ℓ d x

Разделим все части этого равенства на длину призмы dy:

dР_х = dP_n= dР_z

dzdy dℓdy dxdy

В знаменателе каждого из этих выражений площади соответствующих граней призмы. Если размеры dz, dy, dℓ, dx будут стремиться к 0, то в соответствии с выражением для определения гидростатического давления можно записать

p_x=р_n=р_z=р.

Следовательно, можно считать, что положение о равенстве давления в одной точке по всем неравенствам доказано.

Давление может быть различно в разных точках жидкости, тоесть является функцией координат р=ƒ(k,y,z),следовательно, функция давления диференциируема и интегрируема.

В единицах СИ давление выражается в паскалях (Па), килопаскалях (кПа). Связь этих единиц с технической атмосферой следующая:

1 кгс/см²=98100 Н/м²=98100 Па=98,1 кПа=0,0981 МПа

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкого тела (уравнения Эйлера)

Пусть какой-либо жидкое тело массой М и плотностью ρ находится в равновесии под действием внешних сил, проекции которых на соответствующие координатные оси x,y,z.

Выделим у произвольной т. А бесконечно малый объем жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям. Мысленно отбросив окружающую выделенный объем жидкость, заменим ее действие силами. Это будут сжимающие силы, нормальные к каждой из плоских граней. Так, например, к граням параллельным плоскости yOz будут приложены силы dР₁ и dР₂, направленные навстречу друг другу, вдоль оси Ох (рис. 2.3).

Поскольку жидкое тело находится в равновесии, то условие равновесия всех действующих в направлении оси Ох сил можно записать так :

dF_x+dP₁-dP₂=0, (2.1)

где dF_x- проекция на ось Ох элементарной массовой силы.

dF_x=dМ*Х

Но элементарную массу dМ можно выразить через произведение плоскости на объем :

dМ=ρdxdydz

Силы гидростатического давления на грани параллелепипеда :

dР₁=р₁dydz

dР₂=р₂dydz,

где р₁ и р₂ – давление в точках 1и2.

Считая давление в т. А в центре параллелепипеда равным р, и учитывая, что изменение гидростатического давления, приходящееся на единицу длинны в направлении координатной оси Ох, может быть представлено частной производной ðр/ðх, будет иметь :

р₁=р- ðр/ðх*1/2*dх,

р₂=р+ ðр/ðх*1/2*dх.

Подставляя полученные выражения в уравнение равновесия (2.1) будем иметь :

ρХdxdydz+( р- ðр/ðх*1/2*dх) dydz-( р+ ðр/ðх*1/2*dх) dydz=0 (2.2)

Поскольку dy≠0 и dz≠0, то разделим обе части уравнения (2.2) на dydz, т.е. отнесем к единице площади, и раскрыв скобки, получим :

ρХdx- ðр/ðх*dх=0

Аналогично можно проделать для двух других координатных осей и получить дифференциальное уравнение вида :

ρХdx- ðр/ðх*dх=0

ρYdy- ðр/ðy*dy=0 (2.3)

ρZdz- ðр/ðz*dz=0

Учитывая, что ρ≠0 и dx≠0, разделим обе части уравнений (2.3) на ρdх, ρdу и ρdz

Х-1/ρ* ðр/ðх=0

Y-1/ρ* ðр/ðy=0 (2.4)

Z-1/ρ* ðр/ðz=0

Эти дифференциальные уравнения равновесия жидкого тела были выведены в 1755г. Действительным членом Российской Академии наук Л. Эйлером и носят его имя. Они позволяют решать всевозможные задачи, связанные с равновесием жидкости.

Сложив почленно все три уравнения, получим:

ðр/ðх*dх+ ðр/ðy*dy+ ðр/ðz*dz=ρ(Хdx+Ydy+Zdz).

Левая часть этого уравненияпредставляет полный дифференциал, т.е. :

dр=ρ(Хdx+Ydy+Zdxz).

Интегрируя это уравнение и считая, что плотность ρ постоянна, получим гидростатическое давление в любой точке жидкости

р=ρ∫( Хdx+Ydy+Zdxz).

Т.о., зная проекции внешних сил x,y,z, можно определить давление в любой точке жидкости.

Если вдоль какой-либо поверхности давление неизменное, т.е. р=const или dр=0, то такая жидкость называется поверхностью равного давления или поверхностью уровня.