Лекции Гидропривод / Тема_3

Тема 3

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТИ. СИЛА ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ НА ПЛОСКИЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.

Чтобы получить основное уравнение гидростатики выполним диф. уравнения равновесия жидкого тела, которые мы получили на прошлой лекции.

,…

И полученное из них выражение для определения гидростатического давления в любой точке плоскости.

Если жидкость находится в равновесии под действием собственного веса, то проекции ускорений вызванных силой тяжести для выбранных координатных осей Х=0, Y=0, Z= -g, где g-ускорение свободного падения.

Тогда подставляя эти значения в (3.1) получим

Или проинтегрировав

, или (3.2)

где С- постоянная интегрирования.

Для определения постоянной интегрирования рассмотрим находящийся в равновесии произвольный объем жидкости плотностью .На поверхности жидкости имеется давление p_0, расстояние от плоскости сравнения XOY равно Z₀.

Найдем зависимость для определения давления в произвольной точке, например А, имеющей отметку Z и находящуюся на глубине h над поверхностью жидкости.

Тогда .

Учитывая что , получим что для несжимаемой жидкости, находящейся в равновесии под действием силы тяжести полное гидростатическое давление в точке

, (3.3)

где - внешнее поверхностное давление, h-глубина погружения точки.

В формуле (3.3) величина илиназывается весовым давлением , поскольку она представляет собой ту часть полного гидростатического давления, которая обусловлена весом жидкости.

Таким образом абсолютное давление в точке равно сумме внешнего поверхностного давления и весового давления. Из формулы (3.3) также следует, что внешнее давление на поверхность жидкости находящейся в равновесии передается одинаково во все точки внутри жидкости(закон Паскаля).

Из уравнения (3.3) следует, что давление в жидкости зависит от глубины погружения и может измеряться в метрах столба жидкости

м вод. ст.

Так, например, 1кг/см²= 10,2 м вод. ст.=0,75 м рт. ст.

Из уравнения (3.3) также следует, что давление состоит из двух частей и поэтому принято разделять четыре вида давлений: абсолютное, атмосферное, избыточное и вакуум. Для измерения атмосферного давления применяют барометры, избыточного - манометры, вакуума - вакуумметры.

Относительное равновесие жидкости

Относительным равновесием жидкости называется такое состояние, при котором каждая ее частица сохраняет свое положение относительно твердой стенки движущегося сосуда. При относительном равновесии рассматриваются две задачи: характер распределения давления и форма поверхности уровня (равного давления). Решаем эти задачи опять же используя полученное нами на прошлой лекции уравнение для определения гидростатического давления

При р=const Xdx+Ydy+Zdz=0 (3.4)

В общем случае любое сложное движение сосуда с жидкостью можно представить в виде суммы трех движений: поступательного по вертикали и горизонтали и вращательного.

1) Движение по вертикали с постоянным ускорением а.

Проекции массовых сил на координатные оси будут: X=0, Y=0, Z=. Знак «-» соответствует равноускоренному подъему резервуара, «+»- спуску.

Характер распределения давления получим следующий

,

Или проинтегрировав

+С,

где С- постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий на свободной поверхности Z=Z₀ и P=P₀/

Тогда

Составим уравнение поверхности уровня

(

Если gа, то dz=0, z=const, т.е. поверхности равного давления представляют собой горизонтальные плоскости.

2) Горизонтальное перемещение резервуара с жидкостью с постоянным ускорением а.

В этом случае X=-a, Y=0, Z=-g.

Закон распределения давления получим

.

После интегрирования с учетом граничных условий X=X₀, Z=Z₀, P=P₀ получим закон распределения давления в следующем виде

.

Т.о. распределение давления в жидкости подчиняется основному закону гидростатики для любой фиксированной вертикали.

Поверхность равного давления определится уравнением

После интегрирования

Или

Т.о. поверхностями равного давления будут плоскости, углы наклона которых к горизонтальной плоскости определяются угловым коэффициентом, равным –a/g.

3) Вращение цилиндрического сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью .

В этом случае проекции массовых сил: X= , Z= -g.

Поверхность равного давления определяется уравнением

Или проинтегрировав

Или учитывая, что получим

.

Откуда

Т.о. при вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхностями равного давления будет семейство параболоидов вращения, осью которых является ось Oz.

Закон распределения давления получим

Или

После интегрирования с учетом граничных условий r =0, z=z_0, p=p₀ получим закон распределения давления:

.

Это уравнение показывает, что распределение давления подчиняется линейному закону для любой фиксированной круглоцилиндрической поверхности.

Давление жидкости на плоские поверхности. Закон Архимеда.

Рассмотрим сначала простейший случай- давление жидкости на плоское дно

цилиндрического сосуда. Выделим в пределах площади дна элементарную площадку . Сила давления на эту площадку .

Равнодействующая сила давления определится интегралом

.

Это уравнение показывает, что независимо от формы сосуда, заполненного жидкостью, и формы его дна, сила гидростатического давления определяется высотой столба жидкости и площадью дна. Это давление получило название гидростатического парадокса.

Более сложным является случай, когда плоская площадка произвольно ориентирована в жидкости. В этом случае, сила полного гидростатического давления на поверхность равна произведению полного гидростатического давления в центре тяжести рассматриваемой площадки и площади самой площадки.

Рассмотрим три циркулирующих тела весом G₁, G₂ и G₃ и сечением _.Рассмотрим силы, действующие на эти тела со стороны жидкости. Например, второе тело. Силы действующие на боковые поверхности уравновешивающиеся, а на нижнюю и верхнюю площадки действуют разные силы, равнодействующая которых

где W-объем погруженного в жидкость тела.

Это уравнение известно как закон Архимеда : на всякое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости.

В сулучае тело плавает на поверхности; если -тело плавает вутри жидкости; если -тело тонет в жидкости.

Сила гидростатического давления на плоскую поверхность

Сила гидростатического давления на плоскую поверхность

где - глубина погружения центра тяжести смоченной части площади поверхности; -площадь смоченной части поверхности.

Единицей силы в системе СИ- Ньютон: 1Н=кг*м/с²

Сила избыточного давления при p₀=p_ат

Эта сила приложена в центре давления, координата которого определяется по формуле

-координата центра тяжести смоченной поверхности;

I₀- момент инерции площади смоченной части поверхности относительно горизонтальной оси, проходящей через центр ее тяжести.

Внешнее давление р₀ распределено равномерно по всей площади смоченной части поверхности, поэтому его равнодействующая Р₀=р₀ приложена в центре тяжести этой поверхности.

Равнодействующая Р=Р₀+Р₁

Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность

Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность

,

где - составляющие силы избыточного давления по соответствующим осям.

В случае цилиндрической поверхности

Р_х и Р_z- горизонтальная и вертикальная составляющие силы Р.

Горизонтальная составляющая избыточного давления Р_х равна силе давления на вертикальную проекцию криволинейной поверхности

-манометрическое давление на поверхности жидкости;

- глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции криволинейной поверхности.- площадь вертикальной проекции.

.- площадь вертикальной проекции.

(Если , то )

Вертикальная составляющая Р_z равна весу жидкости в объеме тела давления.

Тело давления расположено между вертикальными плоскостями, проходящими через крайние образующие цилиндрической поверхности, самой цилиндрической поверхностью и свободной поверхностью жидкости или ее продолжением.

(Если криволинейная поверхность не цилиндрическая Р_y определяется как Р_х).