математика

верхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. В частном случае уравнение может содержать только одну или две переменные (например, z=2 – уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости XOY).

Фокальная ось эллипса, гиперболы, параболы – ось, на которой находятся фокусы кривой.

Целые числа – это натуральные числа + ноль + числа, противоположные натуральным. Обозначение множества целых чисел: .

Шипачёв, Виктор Семенович – кандидат физико-математических наук, автор большого числа учебников и учебных пособий по высшей математике. Эксцентриситет гиперболы – число, равное отношению фокусного расстоя-

ния к действительной оси: ε = с , ε > 1. Характеризует величину угла между

а

асимптотами.

Эксцентриситет эллипса – число, равное отношению фокусного расстояния

к большой оси: ε = с , 0 < ε < 1. Характеризует меру вытянутости эллипса.

а

Элементарные преобразования матрицы – действия, сохраняющие эквива-

лентность матриц: перемена строк местами, умножение всех элементов строки на некоторое ненулевое число, прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число. Применяются с целью приведения матрицы к ступенчатому виду (при нахождении ранга матрицы и при решении системы линейных уравнений методом Гаусса).

Эллипс – множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси эллипса.

81

Приложение С

Ответы к задачам и тестам

ГЛАВА 1.

1. 52; 10; cos2α. 2. 76; 75. 3. 1770; 0; 0. 4. x=-3. 5. -29; -219. 6. a) (-1;1/3); б) (-1;0;1); в) (2;-1;- 3); г) бесконечно много решений; д) нет решений. 7. а) a≠-3; б) a=-3, b≠1/3; в) a=-3, b=1/3.

																																								−8	5
8.			140;				1.		9.				x<4.				10.				а)	(1;2;3); б)																		2	5
																								бесконечно много решений. 11. 2 А− B =																		;
																																								−6
																																									14
									−	2				0
										3
																						−33				20														22
					1																			21														9
	А+													10
						B =			1										.	12.		АB =	−8	2 −8			;			BA не существует.						13.		−13		.	14.
					3									3																										9
														11
									2
															3
1				3			5					15. а) (1;2); б)										(1;2;3). 16. 1; 2. 17. а) (1;2); б) (1;2;3); в) (-2;1;-1); г) нет реше-
							−4		.
	22 2
																								1	0		10
ний;							д)			(1;-α;α),											α R. 18.			6	−3		15				19.		-8;		1.	20.	λ≠0,4.			21.		а)
																													.
																								34	0		82
3α − 4β									6α −11β																										−19		−36
								;										; β ;α ,α , β R ;						б)			(1;2;3).						22.					, trA = 70. 23.
					3							3																							108		89
21							−23					15											3		5		5 1					−1				50
		−13					34					10										11		25.		9					−1	1
														. 24.						X =			.				3		;				. 26.		S =	; 410. 27. (7;10;13).
		−9					22					25										−24 −7									−3					80
																									5		3					−1
														8						4		−18		22							1		0	4
28.					а)		AB =																			б)						−1	0	−4		= (9). 29.			Нет. 30.			(-
																					, BA =			;			AB =								, BA
												−16							−12			−10		14								2	0	8
1;0;1). 31. а) (-1;0;1); б) нет решений; в)																									5	− α ;		1		;α ,α R. 32.					41. 33. А. 34. а)					2650
																																										;
																								2			2												1881, 25

82

								75							25
		750		0, 2	0,5																	588,9													362,5
б)			35.												22					. 36.					. 37.		А,			В. 38.
		.		A =	, S		= 44																																.
		531, 25		0, 32	0, 25			8							20						1151,1														662,5
															11
								11
		0, 6	0,1	3,125	0, 625										16, 2
39.						. 40.									30, 5
	A =			, S =															.
		0, 4	0, 5	2,5	2,5										30, 9
ГЛАВА 2.
																					2		42			5 42													42
41.		AB	= (4;5; −1), BA = (−4; −5;1),				AB					=				42, cosα =								, cos β =							, cos γ = −									.
																						21				42									42
42. А(-1;2;3).			43. а) да; б) нет. 44. (			2;1; −1). 45.														c = (5;12), d = (−6;1),							c	=		13,		d	=		37.				46.

6;32. 47. Да. 48. α = −2, β = 3 . 49. 22. 50. а) 6; б) 0; в) 97. 51. а) ≈120° , б) ≈73° . 52. 6. 53. -

							2
	6. 54. а)	да; б) нет.		55.					Да.			56.			Да.			c = −2a + 3b. 57.						Да.			x = (−6;1;3).					58.
	AB = (−1; −3;1), BA = (1;3; −1), AB = BA = 11, cosα = −																															59.
																					11		, cos β = − 3 11 , cos γ =						11 .
						2				1											11			11					11
	z=±3. 60. 60° , 120° . 61.		CM =				a		+			b. 62.			2 +		3.		63. 90° . 64. 5. 65. Да. c								= 3a	− 2b. 66. Да.
						3				3
			−3						0				0						1 0				0
	x = (−2;1;1).	67. а) Да,	A = 0						−3				0 ;		б) да,				A = 0		1		2 ; в) нет. 68. а)					y = (2;3) ; б)
			0						0 −3										0 0				1
		1	−3			1
	y = (1;3; 4).	69. A = 0	1			1 ,			Aɶ(x) = (10; 4;12).										70.		а)		λ1 = −2 x = (α ; −α ),α R \{0};
		4	1			1
	λ = 1 x = (−4α ;α ),α R \{0};											б)				λ = −3 x					= (−6α ;7α; −5α ),α R \ {0}; λ = 1
	2														1														2
	x = (−2α;α;α ),α R \{0}; λ = 3 x = (0;α ;α ),α R \{0}.																						в)	λ = 0 x				= (−2α ; 0;α ),
			3																					1

α R \{0}; λ2 = 1 x = (α; 0;0),α R \ {0}; λ3 = 3 x = (0;α ; 0),α R \{0}. 71. λ=2. 72. а) Да,

1	−1	0
A = 0	1	0		; б) нет. 73.	y = (−3;3) . 74. а)	λ = −1 x = (α ;α ),α R \{0};
						1
0	0	1
λ = 5 x = (−2α ;α ),α R \ {0}; б)					λ = −3 x = (−2α ; 0;α ),α R \ {0}; λ = 2 x = (3α ; −5α ;α ),
2					1	2

α R \ {0}; λ3 = 3 x = (4α ; 0;α ),α R \ {0}.75. λ=-1.

83

ГЛАВА 3.
		3		4	0					2	0, 5	−1, 5					1		0	0
76.	а)		4	−1	−3		; б)			0, 5	1		2, 5		;	в)		0	0	−5
		A =						A =									A =				.
			0	−3	2					−1, 5 2, 5			−1					0	−5	0
77.	а) L = 7x2	+ 8x x		+ x2 ;	б) L = 2x2			+ 2x x		+12x x − x2			. 78.			а) положительно определён-
	1	1	2	2			1	1	2	1	3	3

ная; б) не является знакоопределённой; в) отрицательно определённая. 79. m>5. 80. m≥-12.

			3	3, 5	0					1	9	−5, 5
81.	а)		3, 5	−5	0		;	б)		9	0	0		82.
		A =							A =				.
			0	0	10					−5, 5	0	0

	а) L = −7x x			+ 8x2		;	б) L = 5x2					+ 3x x +						+2x x		+ 2x2 − 9x2 .			83. а) положительно определён-
		1	2	2			1					1			2			1	3	2	3
	ная; б) не является знакоопределённой; в) отрицательно определённая. 84. m<–14,5.
	ГЛАВА 4.
		AB =			AC =																	6	;	9
	85.		137,				58. 86.					5 5.			87. (0;0), (0;-6). 88.												. 89. (6;2), (8;4). 90. (7;5). 91.
																					5			5
																								8
						BС = 65, BМ =
	29.	92. 58,5.		93.											5.			94. (2;2), (6;6).			95.						;10 . 96. (3,5;3). 97. 45.	98.
																								3

π

2π

3π

2π

А(0;6), В(−

2; 2 ) , С(-2,4;-1,8). 99. А'

3; −

, В'

4;

. 100. А' 1;

−

, В'

5;

.

3

3

4

3

101. а) рисунок 48, б) рисунок 49, в)

рисунок 50, г)

спираль Архимеда (рисунок 51),

д) кардиоида (рисунок 52).

Рисунок 48

Рисунок 49

Рисунок 50

Рисунок 51

Рисунок

52

102. ρ=-6сosφ. 103. а)

2; π

;

104º). 104. А(

) , В(0; −4) ,

С(-3,1;-3,9). 105.

б)

(2,9;

2;

2

3

π

(3;π )

2; −

π

. 106. а)

3π

π

(3;π ) ; б)

π

2π

, (3; 0) .

М1 5;

, М2

, М3

6

2;

,

1;

,

2;

, 1;

2

4

3

4

3

107. а) рисунок 53, б) рисунок 54, в) 3-лепестковая роза (рисунок 55).

Рисунок 53

Рисунок 54

Рисунок 55

84

108.	1) k=2, 2)				x		+	y			= 1 . 109. 3x + 5 y − 20 = 0,													x		+	y	= 1. 110. а) y=3, б) х=2, в)
			4 / 3					−8 / 3															20 / 3
																										4
y=x+1. 111. y = −2x + 9 . 112. l													l , l			l	, l			l , l		l . 113.				y =			3	x +	37	. 114.	y =	7	x −	25	.
																			2		4
											1		3		1	2				3			5			5					5		4			2
115.	29,7º. 116. 1)					y = −			2	x +		41		, 2)		y =	4	x + 6 , 3) CD=10. 117. А(-1;-5). 118. Нет. 119.
																	3
								11			11
y =	1	x + 2, y =		4	x − 4 . 120. 4,1. 121.											а) рисунок 56; б) рисунок 57.
	3		3

Рисунок 56

Рисунок 57

122.

y =

x − 3

.

123.

y =

5

x +

2

.

124.

125.

y = −

1

x −1,

3

3

y=-6x.

а)

б)

6

3

5

y = −

3

x +

11

, y =

2

x −

16

.

126.

(-0,8;4,4).

127. 22,5. 128.

( x + 2)2 + ( y − 3)2

= 127 . 129.

2

2

3

3

( x −1)2 + ( y − 8)2 = 5 .

130.

x2

+

y2

= 1 ,

a=5,

b=3,

c=4,

ε=0,8.

131.

а)

x2

+

y2

= 1 ,

б)

25

9

25

9

x2

+

y2

= 1 . 132.

x2

+

y2

= 1. 133.

x2

−

y2

= 1, a=3, b=4, c=5,

ε=5/3,

y = ±

4

x . 134.

а)

36

27

4

9

3

16 / 3

16

x2

+

y2

= 1,

б)

x2

+

y2

= 1.

135.

Рисунок

58.

136.

x2

= − y .

137.

а)

окружность

16

4

9

5

( x +1)2 + y2 = 4 , б) эллипс ( x − 2)2

+ ( y +1)2

= 1 , в) гипербола ( x + 5)2

− ( y −1)2

= 1 , г) пара-

4

2

64

36

бола ( x + 3)2

= 2 ( y + 2) . 138. ( x +1)2 + ( y +1)2 = 2 . 139.

x2

+

y2

= 1 , a = 8, b = 2

3, c = 2 13,

64

12

ε =

x2

+

y2

= 1 ,

x2

+

y2

= 1 .

x2

−

y2

= 1,

a = 2, b =

13 / 4.

140.

а)

б)

141.

3, c =

7,

25

16

25

16

4

3

x2

−

y2

ε =

/ 2, y = ±

3

x.

142.

= 1.

143.

144.

7

Рисунок

59.

а)

окружность

16

2

9

( x + 5)2 + ( y − 2)2

= 16 , б) парабола ( x + 2)2

= −2 y , в) эллипс ( x − 3)2

+ ( y +1)2

= 1 .

16

4

85

Рисунок 58 Рисунок 59 Рисунок 60

ГЛАВА 5.

145. Рисунок 60. 146. x − 4 y + 9z + 9 = 0 . 147. 5x − 3y + 2z − 23 = 0 . 148. 19x −13y −10z − 3 = 0 .

149.							y + 2z = 0 .													150.								82º.							151.					2.						152. 43/12.																	153.						x − 6					=				y + 2					=					z − 3					.				154.
																																																																			6												3									2
	x − 9				=			y +1				=				z − 3						.				155.					x − 7				=			y − 5		=					z −1				.				156. 4x + 3z + 6 = 0 . 157.																												x			=				y	=			z		.			158.
5																												2
							-3								0																								-3							1																																		−3								5 2
26.2º. 159. (-1;0;-1). 160. (-4;-4;3). 161. (-1;-2;1). 162. (-1;-4;-9). 163.																																																																	2x + y − 3z −19 = 0 . 164.
																		x − 3					=				y − 5		=			z + 3					.								x − 2					=				y + 6					=			z − 3		.							7x − 2 y + z − 59 = 0 .
1,5 17 . 165.																																							166.																											167.																															168.
															1
																										4						−10														5						2											−1
72,3º. 169. (3;-2;4).
ГЛАВА 6.
															=										ϕ = 38, 7°;														= 3								= −						3π		;							= 2,ϕ				=	π ;									= 5,ϕ							= π .
170.											z									41,															z	2					2,ϕ					2												z		3					3							z	4								4																171.
											1															1																										4															2
																																																																																										8								1
а) 1± i,								б) ± 5i, в) - 2;1±																							i, г) ± 2; ± 2 i .																172.									а) 1+ 5i, б) 12 + 5i,																				в) 5 -12 i,												г)							+				i,
																												3
																																																																																								13									13
		4					3													= 1×(cos 0 + i sin 0) = 1×e0i ; z																																cos				π + i sin π																π														cos					5π
. д)				+					i .173. z																																		2		=			2			×															=		2		×e 4 i				; z			= 2					3			×											+
5							5								1																																									4																					3											6
																																																															4
						5π															5π				i										π							π												π i
+i sin										= 2								3 ×e 6								; z4 = 6 × cos										2			+ i sin				2				= 6					×e 2 . 174. -1;1;-i;32i;64.																									175. а)									рисунок 61,
						6

б) рисунок 62, в) рисунок 63, г) рисунок 64, д) рисунок 65, е) рисунок 66.

Рисунок 61

Рисунок 62

Рисунок 63

Рисунок 64

Рисунок 65

Рисунок 66

86

176. 177.

а) 1± 2i,

б) − 2 ± 3i, . в) ± 4 i . 178.

а) 20 − 21i,

б) − 2 + 2i,

в) − 0, 6 + 0, 2 i, г)

1

−

1

i .

4

4

π i

179. z

= 1× (cosπ + i sin π ) = 1× eπ i ; z

= 3

2 cos π

+ i sin π = 3

2 e 4 ; z = 2 cos

-

2π

+

2

1

4

3

4

3

2π

−

2π

i

+i sin

-

= 2 × e

3 . 180. а) рисунок 67, б)

рисунок 68,

в) рисунок 69.

3

Рисунок 67

Рисунок 68

Рисунок 69

Тест 1.

1. 3. 2. 3. 3. 2. 4. 4. 5. 2. 6. 2. 7. 4. 8. 1-5, 2-3, 3-4, 4-2. 9. 1. 10. 2. 11. 3. 12. 3. 13. 4. 14. 2. 15. 2.

16. 2. 17. 1. 18. 3. 19. 2. 20. 4. 21. 2. 22. 3. 23. 2. 24. 1. 25. 1.

Тест 2.

1. 1-4, 2-6, 3-2, 4-1. 2. 4. 3. 0. 4. 2. 5. 2. 6. 0. 7. 4. 8. 2. 9. -6. 10. 2. 11. 2. 12. 1. 13. 3. 14. 2. 15. 3.

16. 2. 17. 2. 18. 2. 19. 2. 20. 3. 21. 2. 22. 1. 23. 90. 24. 2. 25. 3.

Тест 3.

1.1 2. 1.2 1-1, 2-4. 1.3 10200. 2.1 3. 2.2 130. 3.1 1. 3.2 420.

87

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Большая советская энциклопедия [Электронный ресурс] / http://dic.academic.ru.

2.Высшая математика для экономистов : учебник / ред.: Н.Ш. Кремер .– 3- е изд. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2012 .– ( Золотой фонд российских учебни-

ков) .– 479 с.

3.Высшая математика для экономистов. Практикум : учеб. пособие / ред.: Н.Ш. Кремер .– 2- е изд., перераб. и доп. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2012 .– (Золотой фонд российских учебников) .– 479 с.

4.Задачник по высшей математике : учеб. пособие / В. С. Шипачев. – 2- е

изд., испр. – М. : Высш. шк., 2001. – 304 с.

5.Практикум по математике [Электронный ресурс] / сост. О. В. Кузнецова // Учебные электронные издания / ФГБОУ ВПО Ижевская ГСХА. – Ижевск, 2014. – Вып. 3 : Издания 2014 г. – Ст. 25514. – эл. опт. диск

(CD-ROM).

88

Учебное издание

Кузнецова Ольга Васильевна

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Практикум для экономических направлений бакалавриата и специалитета

Редактор М.Н. Перевощикова Технический редактор Е.Ф. Николаева

Компьютерный набор и верстка О.В. Кузнецова

Подписано в печать________. Формат 60х84/16.

Усл. печ. л.___. Уч.-изд. л.____. Тираж ___ экз. Заказ №____. ФГБОУ ВО Ижевская ГСХА

426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 11