- •3 Часть - геометрия
- •1.Трехмерное векторное пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
- •2.Метод координат на плоскости и в пространстве. Аффинная и декартова прямоугольная система координат. Прямая на плоскости. Различные способы задания прямой. Взаимное расположения прямых на плоскости.
- •3.Движения на плоскости и в пространстве: свойства, способы задания, инварианты движения. Группа движений плоскости и пространства. Основные теоремы о движениях на плоскости.
- •4. Подобие и гомотетия на плоскости и в пространстве.
- •6.Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями.
- •7.Различные способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •8. Цилиндрические и конические поверхности второго порядка. Канонические уравнения эллипсоида, гиперболоидов и параболоидов.
- •10.Изображение фигур на плоскости с помощью параллельного проектирования.
- •11.Аксиоматический метод. Понятие об интерпретации, модели системы аксиом. Системы аксиом евклидовой геометрии. Системы аксиом школьного курса геометрии (обзор). Эквивалентность систем аксиом.
- •12.Плоскость Лобачевского. Аксиомы плоскости Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Угол параллельности. Свойства треугольников на плоскости Лобачевского.
- •Системы аксиом плоскости Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости
- •13.Длина отрезка. Аксиомы длины. Площадь многоугольника. Аксиомы площади. Теоремы существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
- •14.Понятие линии. Гладкие линии в трехмерном евклидовом пространстве, их параметризация с помощью вектор-функции. Касательная. Длина дуги.
- •15.Понятие поверхности. Гладкие поверхности, их параметризация с помощью
- •Литература
3 Часть - геометрия
1.Трехмерное векторное пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
Основные вопросы
Определение скалярного произведения. Механический смысл. Свойства. Длина вектора. Угол между векторами. Вывод формулы скалярного произведения в ортонормированном базисе. Определение векторного произведения двух векторов. Свойства. Геометрический и физический смысл векторного произведения. Координаты векторного произведения в ортонормированном базисе. Определение смешанного произведения трех векторов. Геометрический смысл. Формула смешанного произведения в ортонормированном базисе.
[1], радел I, гл.1.§9, раздел 2,гл.I, §§4,5.[3],гл.1, §§6,7,8; гл.VI,§§55,56.
2.Метод координат на плоскости и в пространстве. Аффинная и декартова прямоугольная система координат. Прямая на плоскости. Различные способы задания прямой. Взаимное расположения прямых на плоскости.
Основные вопросы
Сущность метода координат на плоскости. Понятия аффинной и прямоугольной системы координат на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки, через точку параллельно вектору (каноническое уравнение); параметрические уравнения прямой; уравнения прямой «в отрезках»; уравнения прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении Aх+By+C=0 в аффинной и прямоугольной декартовой системе координат. Формулы угла между прямыми.
[1], гл.II, §§16-19; [6],гл.III, §§20,21.
3.Движения на плоскости и в пространстве: свойства, способы задания, инварианты движения. Группа движений плоскости и пространства. Основные теоремы о движениях на плоскости.
Основные вопросы
Определение движения. Примеры движений плоскости и пространства и их аналитическое выражение. (Формулы параллельного переноса, осевой симметрии, скользящей симметрии). Движения пространства, отличные от движений плоскости. Группа движений и ее подгруппы . Задание движения парой ортонормированных реперов. Определения движений I и II рода.
[1], радел I,гл.3.§§26,27,28,29., [3],гл.V, §§29,30; [6],гл.V,§§41-44.
4. Подобие и гомотетия на плоскости и в пространстве.
Основные вопросы
Определение преобразования подобия. Определение гомотетии. Формулы подобия в ортонормированном репере. Группа преобразований подобия, ее подгруппы. Подобия I и II рода. Теорема о подобии как композиции движения и гомотетии.
[1], радел I,гл.3.§§31,32,33. [3],гл.V, §§28,29; [6],гл.V,§§41-44.
5.Линии второго порядка. Каноническое уравнение эллипса, гиперболы и параболы. Эксцентриситет и директрисы линий второго порядка. Фокальные радиусы и их свойства.
Основные вопросы
Определения эллипса, гиперболы и параболы. Вывести уравнение одной из этих линий (по желанию). Определения эксцентриситета, директрисы и фокальных радиусов. Уравнение асимптот гиперболы. Теорема о директрисах эллипса и гиперболы.
[1], радел I,гл.IV.§§36-39; [6],гл.IV,§§27-29.
6.Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями.
Основные вопросы
Уравнение плоскости, проходящей через три точки, уравнение плоскости, проходящей через данную точку и коллинеарной двум векторам, параметрическое уравнение плоскости, уравнение плоскости «в отрезках». Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору. Геометрический смысл коэффициентов при текущих координатах в общем уравнении плоскости в аффинных и прямоугольных декартовых координатах. Условия, при которых две плоскости, заданные общими уравнениями , будут параллельны , ортогональны.
[1], радел 2,гл.II, §§7-10, [6],гл.IV,§§27-29.