Лекция №14
Классификация линий второго порядка. Приведение линии второго порядка к каноническому уравнению и построение ее точек в системе координат
Классификация линий второго порядка.
Идея классификации линий второго порядка заключается в том, чтобы путём надлежащего выбора системы координат упростить уравнение линии, а затем определить по этому уравнению, к какому классу эта линия принадлежит.
При классификации возможны следующие преобразования системы координат: 1) поворот вокруг начала координат;
2) параллельный перенос начала координат; 3) параллельный перенос осей координат и т.д.
Пусть линия второго
порядка
в прямоугольной системе координат
задана уравнением:
(1)
Рассмотрим поворот
системы координат вокруг точки
так, чтобы вектор
в новой системе
имел главное, но не асимптотическое
направление, тогда
будет иметь также главное направление.
Запишем уравнение
линии второго порядка
в новой системе координат:
.
Так как
имеет главное направление, то его
координаты удовлетворяют уравнению:
.
Вектор
не имеет асимптотического направления,
значит
.
Таким образом,
уравнение (1) линии второго порядка в
новой системе координат примет вид:
(2)
Дальнейшее упрощение
линии второго порядка достигается путём
надлежащего выбора точки
и переноса начала координат в в эту
точку.
Классификация центральных линий второго порядка.
Так как в центральной
линии центр является центром симметрии,
то точку
необходимо выбрать таким образом, чтобы
она являлась центром симметрии данной
линии в новой системе координат, т.е.
коэффициенты при переменных
и
.
.
Уравнение (2) примет вид:
(3).
Разделив обе
части равенства (3) на
имеем:
.
Возможны два случая:
1)
,
где
а)
эллипс
б)
гипербола
в)
- мнимый эллипс
г)
- мнимая гипербола
2)
,
где
а)
пара мнимых пересекающихся в действительной
точке (0,0) прямых
;
б)
пара пересекающихся прямых.
Классификация нецентральных линий второго порядка.
Перенесём начало
координат системы
в один из центров линии второго порядка.
В данном случае вектор
имеет асимптотическое направление.
Тогда уравнение (3) линии второго порядка
с учётом условий асимптотического
направления запишется следующим образом:
,где
;
а) Пусть
и
- две параллельные прямые;
б) Пусть
и
- пара мнимых параллельных прямых;
в)
- линия распадается на пару совпавших
прямых.
Классификация нецентральных линий второго порядка, не имеющих центра.
В этом случае
перенос начала координат совершается
в точке
,
лежащую на главном диаметре линии
.
Вектор
имеет асимптотическое направление.
Коэффициенты
,
тогда уравнение принимает вид:
Так как
, то
или
,
где
-
уравнение задаёт параболу.
Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду и построение её точек.
Общая схема:
1. Написать
соответствующее характеристическое
уравнение
.
Найти его корни;
-
Найти координаты векторов главных направлений
и принять их за направление новых
координатных осей :
,
где
.
3. Записать формулы
преобразования координат:
.
4. Вычислить коэффициенты:
Из этих формул
следует, что
.
Но по формуле Виета (когда находим
)
и, учитывая коэффициенты нового уравнения,
получаем:
.
5. Записать уравнение
линии в системе
:
6. Перенести начало
координат, записав формулы преобразования
координат
.
7. Записать
получившееся уравнение линии второго
порядка в системе
и привести его к каноническому виду
8.Построить систему
координат
по координатам точки
и
.
Затем построить точки канонического
уравнения линии второго порядка;
9. Записать формулы
преобразования координат системы
в систему
Пример.
Привести уравнение линии второго порядка
к каноническому виду:
.
Решение:
1. Запишем
характеристическое уравнение линии
второго порядка:
2. Найдем координаты
векторов главных направлений
:
Значит,
3. Формулы
преобразования координат системы
в
систему
4. Найдём числовые коэффициенты:
примут вид:
5. Уравнение линии
второго порядка в системе
примет
вид:
(*)
6. Определим
координаты нового центра
.
Так как
,
то линия центральная, а значит,
имеет место быть система уравнений:
Формулы преобразования
координат, переводящие
:
7. Запишем уравнение
линии в системе
,
подставив выражения для значений
в (*):
- эллипс с полуосями
.
8. Построение.
9. Формулы перехода
:
