Лекция №9
Эллипс. Каноническое уравнение. Исследование формы эллипса по его уравнению. Характеристические элементы эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Способы построения эллипса. Эллипс как результат сжатия окружности к одному из ее диаметров
Пусть на плоскости даны две точки и , расстояние между которыми равно , и дано некоторое число , которое удовлетворяет условиям: или .
Определение 9.1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек и есть величина постоянная, равная
Точки и называются фокусами эллипса, расстояние между ними обозначается через и называется фокусным расстоянием.
Введем прямоугольную систему координат таким образом, что ось пройдет через фокусы эллипса, ось - серединный перпендикуляр к отрезку .
1. Пусть
2. Точка является точкой эллипса тогда и только тогда, когда
3. ;
(1)
(2)
4. Покажем, что данное уравнение действительно есть уравнение эллипса – ведь пока мы доказали только, что каждая точка , удовлетворяющая уравнению (1) удовлетворяет и уравнению (2). Докажем обратное утверждение: каждая точка , удовлетворяющая уравнению (2), есть точка эллипса, т.е. для нее выполняется условие .
Найдем расстояния :
-
Выразим в координатах ;
-
Из уравнения (2) следует, что . Так как , имеем ;
-
Из (a) и (b) следует, что = . Так как , то .
-
Аналогичными рассуждениями приходим к выводу, что
-
Найдем
Таким образом, - каноническое уравнение эллипса
Исследование формы эллипса по каноническому уравнению
1. Эллипс – фигура ограниченная. Координаты точек эллипса ограничены неравенствами: . Это означает, что фигура эллипс есть ограниченная фигура, не выходящая за пределы прямоугольника со сторонами и .
Если точка эллипса принадлежит оси , то она имеет координаты . Если точка эллипса принадлежит оси , то она имеет координаты . Значит, неравенства, определяющие эллипс, имеют вид: .
-
Эллипс – фигура симметричная. В уравнение входят только чётные степени координат. Значит, эллипс есть линия, симметричная относительно осей координат и начала координат. Ось, проходящая через фокусы эллипса, называется первой или фокальной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – второй осью симметрии.
Поэтому для исследования эллипса его достаточно рассмотреть в I четверти.
Для I четверти получаем, что . При возрастании от до , монотонно убывает от до .
3. Каждая ось симметрии пересекает эллипс в двух точках: , , , – вершины эллипса. Отрезки и называются осями эллипса. - большая ось, - малая ось. Начало координат – центр эллипса. Отрезки , , , – полуоси эллипса, причём – большие полуоси; – малые полуоси.
4. Когда фокусы эллипса расположены на оси , имеем, что . Когда фокусы располагаются на оси , , тогда .
Определение 9.2. Эксцентриситетом эллипса называется число, равное отношению фокусного расстояния к длине большей полуоси и обозначается: .
Так как .
От значения эксцентриситета зависит форма эллипса. Действительно, выразим отношение через эксцентриситет: . Имеем, что .
Чем ближе эксцентриситет к нулю, тем больше и при , эллипс похож на окружность. При увеличении эксцентриситета эллипс вытягивается вдоль оси .
Определение 9.3. Фокальными радиусами точки , принадлежащей эллипсу, называются отрезки, соединяющие эту точку с фокусами и .
Для каждой точки эллипса существует два фокальных радиуса.
Обозначаются: ,
.
Определение 9.4. Фокальным параметром называется длина отрезка , если он перпендикулярен оси и обозначается:
Пусть , значит . Т.к. , то ;
Таким образом, фокальный параметр равен отношению квадрата малой полуоси эллипса к его большой полуоси.
Определение 9.5. Директрисами эллипса называются две прямые: .
Так как эксцентриситет эллипса меньше 1, то директрисы, параллельные оси , находятся вне эллипса.
Директриса и фокус считаются соответствующими, если они расположены по одну сторону от центра фигуры.
Геометрический смысл эксцентриситета эллипса
Теорема 9.6. Отношение расстояния от каждой точки , принадлежащей эллипсу, до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.
Доказать:
Доказательство:
1. Выразим ;
2. Выразим
-
Найдем отношение:
4. Аналогично доказывается, что
Параметрические уравнения эллипса.
1. Пусть в прямоугольной системе координат задан эллипс своим каноническим уравнением , причём .
2. Начертим в этой системе координат
две окружности: и .
3. Рассмотрим - прямоугольные и
выразим координаты , принадлежащей
эллипсу:
:
:
4. Подставим полученные выражения в уравнение эллипса:
.
Таким образом, этот эллипс можно задать уравнениями вида:
- параметрические уравнения эллипса.
Способы построения эллипса
Способ №1 (в основу положено определение 9.1)
В чертежную доску вбиваются два гвоздика и с расстоянием . В них фиксируются концы нити длиной . Натянув эту нить приложением к ней острия карандаша, передвигают карандаш так, чтобы нить все время была натянутой. При этом карандаш вычертит эллипс, как геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек и есть величина постоянная, равная
Способ №2 (в основу положено определение 9.1)
Так как эллипс есть геометрическое место вершин треугольников, имеющих общее основание 2с и данную сумму двух других сторон 2а, то необходимо построить множество треугольников с общей вершиной по стороне и сумме двух других сторон, при этом всякий раз задавая угол .
Способ №3 (в основу положено свойство симметричности эллипса): построить по точкам часть эллипса в первой четверти, используя уравнение, а затем использовать симметричность линии относительно осей координат и начала координат.
Способ №4 (по заданным полуосям):
-
Построить две окружности с центром в начале координат и радиусами, равными полуосям эллипса: и ;
-
Проведем из начала координат луч, пересекающий каждую окружность соответственно в точках , ;
-
Через точку проведем прямую , параллельно оси , через точку - прямую , параллельную оси ;
-
Точка пересечения прямых и – точка эллипса ;
-
Аналогичные действия проводим при построении следующего луча, проходящего через начало координат.
Эллипс как результат сжатия окружности к одному из ее диаметров
Способ №3 построения доказывает одно важное наглядное свойство эллипса. Действительно, - произвольная точка эллипса, а есть точка большой окружности, имеющая ту же абсциссу, т.е. лежащая на той же вертикальной прямой, что и . Тогда , .
Из подобия : или
Таким образом, эллипс получился из «большой» окружности преобразованием плоскости: каждая точка большой окружности переходит в точку эллипса с той же абсциссой, но с ординатой, полученной из ординаты точки умножением на число .
Такое преобразование называется равномерным сжатием плоскости к оси абсцисс в отношении .
Таким образом, обосновывается следующее утверждение: всякий эллипс получается сжатием окружности к одному из ее диаметров.