Лекция №5
Касательная к поверхности. Нормаль. Криволинейные координаты точек на поверхности. Различные виды уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.
Рассмотрим поверхность F класса Ск заданная векторным уравнением
Пусть функции U и V есть некоторые скалярные функции от аргумента t. Тогда уравнение поверхности: . Правая часть полученного равенства представляет собой функцию от одного скалярного аргумента t следовательно она задает линию .
Терема: 5.1. Для любой гладкой линии класса Ск лежащей на поверхности этого же класса, может быть определено уравнениями:
причем скалярные функции, заданные на некотором промежутке I1 имеющие непрерывные производные до k- порядка включительно и их производные не равные нулю одновременно ни в одной точке I.
В любой точке частные производные по параметру U и V- - эти векторы линейно не зависимы можно задать плоскость проходящею через определяющею векторами .
Эти векторы – направляющее подпространство.
Теорема:5.2. Пусть т. М0(u0,v0) . Тогда множество касательных в т. М0 ко всем гладким линиям, которые лежат на поверхности и проходят через эту точку, образует пучок прямых принадлежащих плоскости .
Доказательство:
1).
2). Найдем вектор касательной к линии в точке М0. Для этого преобразуем уравнение . Из (1)
, где частные производные вычисляются в точке (u0,v0), а производные определяется t0 вектор касательной параллелен плоскости, задаваемой направляющим подпространством (частными производными). Следовательно, он лежит в этой же плоскости, где и векторы.
Так как вектор определяется параметром t0, тот в свою очередь определенности U0,V0, то вектор касательной касательную, проходящею через т.М0.
Определение:5.3. Плоскость, в которой лежат касательные ко всем линиям лежащим на поверхности F и проходящие через М0. Касательная плоскость задается: .
Определение:5.4. Двумерное векторное направление подпространства к касательной плоскости называется касательным векторным подпространством к поверхности F в т. М0 и обозначается ТМ0 .
Векторы частных производных – базис этого подпространства при переходе к новой параметризации в качестве базиса касательного векторного подпространство выступают векторы частных производных к новым параметрам и .
Определение:5.5. Нормалью к гладкой поверхности в т.М0 называется прямая проходящая через т.М0 касательной плоскости.
Вектор нормали , нормаль определяется (М0,N).
Уравнение касательной плоскости в прямоугольной системе координат.
по точке М0(x0,y0,z0) и нормали N(N1,N2,N3)
Уравнение нормали в прямоугольной системе координат.
Если поверхность задана уравнением F(x,y,z)=0(в неявном виде), то для написания уравнение нормали и уравнение касательной плоскости при помощи следующей леммы.
Лемма:5.6. Если гладкая поверхность задана в неявном виде уравнением F(x,y,z)=0, то является ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости касательной данной поверхности в соответственной точке.
Доказательство:
1). Пусть проходящею через т.М0 и заданной уравнением Уравнение поверхности имеет вид.
2). Продифференцируем
Данное равенство можно рассматривать как скалярное произведение векторов в координатах. - вектор нормали касательной (этой касательной)
- вектор касательной к в т.М0.
По определению имеем, что N-нормаль к линии нормаль к поверхности