Лекция №16
Преобразование подобия. Гомотетия. Виды подобия.
Классификация подобий плоскости. Группа подобия и ее подгруппы.
Определение 16.1. Преобразование плоскости называется преобразованием подобия, если k > 0, что для любых двух точек А и B и их образов A` и B` выполняется равенство .
При k =1 преобразование подобия сохраняет расстояние, т.е. является движением. Значит, движение – частный случай подобия.
Определение 16.2. Преобразование плоскости называется гомотетией, если существует некоторое число m1, что для любых трех точек плоскости М, М, M` выполняется условие .
Точка М- центр гомотетии, число m – коэффициент гомотетии. Если m > 0 – гомотетия положительна, если m < 0 – гомотетия отрицательна.
Теорема 16.3. Гомотетия есть подобие.
Доказательство:
-
Рассмотрим гомотетию с центром и коэффициентом m:
, .
2. По определению гомотетии имеем:
3. Вычтем из первого равенства второе: ,
. Значит, гомотетия есть подобие, где коэффициент гомотетии равен коэффициенту подобия .
-
Если m = 1, то гомотетия есть тождественное преобразование.
-
Если m =-1, то гомотетия есть центральная симметрия с центром в точке М.
-
Если |m| 1, то гомотетия есть преобразование подобия, отличное от движения, т.е. преобразование, не сохраняющее расстояний.
Если точка М (x, у) при гомотетии переходит в точку M`(x`,y`), то:
- аналитические выражения гомотетии.
Свойства гомотетии
-
Гомотетия с коэффициентом, отличным от 1, переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в прямую, ей параллельную; прямую, проходящую через центр – в себя.
-
Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек.
-
Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.
-
Гомотетия переводит угол в равный ему угол.
Теорема 16.4. Пусть f – преобразование подобия с коэффициентом k > 0, а h – гомотетия с коэффициентом k и центром в точке М. Тогда существует единственное движение g такое, что f = g∙h.
Доказательство:
-
Рассмотрим некоторое движение g, представимое как g = f h (*), где .
Рассмотрим композицию движения и гомотетии (помножим обе части равенства (*) на гомотетию ): или g∙h = f (**)
-
Покажем, что движение единственно:
-
Пусть существует движение g, такое, что . Тогда g=f h. Но . Значит, g= g.
Гомотетия обладает всеми свойствами движений, подобие также обладает всеми свойствами движений.
Так как гомотетия сохраняет ориентацию, а подобие есть произведение движения на гомотетию, т.е. движение имеет одну ориентацию с гомотетией, то подобие также имеет эту ориентацию. В этом случае говорят о подобии 1-го рода.
Если движение имеет ориентацию, противоположную гомотетии, то в этом случае подобие имеет противоположную ориентацию и является подобием 2-го рода.
Аналитические выражения подобия
Так как гомотетия задается выражениями , движение задается выражениями , то координаты образа точки в преобразовании подобия вычисляются по формулам:
-
Если ε = 1, то подобие первого рода;
-
Если ε = -1, то подобие второго рода.
Теорема 16.5. Любое преобразование подобия имеет только одну неподвижную точку в том случае, если оно отлично от движения.
Доказательство:
1. Точка является неподвижной точкой этого преобразования тогда и только тогда, когда . Из аналитических выражений подобия следует, что
Определитель системы не равен 0 при ε = ± 1 . Таким образом, при k 1 для любого имеем, что определитель не равен нулю и, следовательно, система является однородной, т.е. будет иметь единственное решение.
Классификация подобия
Подобие первого рода.
-
Подобие имеет более чем одну неподвижную точку или не имеет неподвижных точек. Это подобие является движением (в частности параллельным переносом).
-
Подобие имеет одну неподвижную точку.
-
Так как f, h есть преобразования первого рода; g – тождественное преобразование, то подобиесовпадает с гомотетией.
-
Пусть g – центральная симметрия. Тогда подобие есть центрально подобное вращение на угол .
-
Пусть g – поворот вокруг точки М. Тогда подобие есть поворот с центром в точке М.
Подобие второго рода.
-
Подобие имеет более чем одну неподвижную точку или не имеет вообще неподвижных точек. Подобие является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией.
-
Подобие имеет одну неподвижную точку O, k 1. Подобие f называется центрально подобной симметрией.
Следствие16.6. Любое преобразование подобия, имеющее более чем одну неподвижную точку или не имеющее неподвижных точек, является движением.
Группа подобия и ее подгруппы.
Пусть P – множество всех преобразований подобия плоскости, и на нем задана некоторая операция «∙».
Множество Р является группой относительно этой операции.
Действительно:
-
Если f, f P , то f ∙ f P ;
-
Если fP , то fP.
-
Основным инвариантом группы является мера угла.
Подобие первого рода образует подгруппу группы Р. Множество гомотетий с коэффициентом k (равным коэффициенту подобия) образует подгруппу группы Р.
Множество подобий второго рода не образует подгруппу, т.к. произведение подобий второго рода дает подобие первого рода.