Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГОСЫ / вопрос 1 / Лекция 3

.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
238.08 Кб
Скачать

Лекция №3

Длина вектора в ортонормированном базисе. Угол между векторами.

Скалярное произведение векторов

При решении задач, связанных с вычислением длин отрезков (векторов) или величин углов удобнее рассматривать так называемые ортонормированные базисы.

Определение 3.1. Базис называется ортонормированным, если его векторы удовлетворяют двум условиям:;.

Теорема 3.2. Длина вектора , заданного координатами в ортонормированном базисевычисляется по формуле

Доказательство.

  1. Пусть и. Отложим векторыот некоторой точки О плоскости. Построим прямоугольниктак, чтобы лучиисодержали бы векторы, а.

  2. По теореме Пифагора имеем: ,

  3. Так как и, то. Значит,.

Пусть векторы и- ненулевые векторы. Отложим от произвольной точки О векторы,и рассмотрим лучии.

Определение 3.3. Углом между векторами иназывается угол между лучами их содержащимии, если эти лучи не совпадают.

Если лучи исовпадают, то угол между ними считается равным нулю.

Угол между векторами иобозначается так:.

Так как два угла, стороны которых сонаправлены, равны, то угол между векторами не зависит от выбора точки О.

Определение 3.4. Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: .

Из формулы заключаем, что тогда и только тогда, когда векторыиперпендикулярны. Это утверждение справедливо и в том случае, когда хотя бы один из векторови- нулевой. Скалярное произведение. Числоназывается скалярным квадратом вектораи обозначается через. Таким образом,.

Теорема 3.5. Скалярное произведение двух векторов и, заданных в ортонормированном базисе, есть число, равное сумме произведений соответствующих координат, т.е..

Доказательство.

I. Пусть векторы ине нулевые и не коллинеарные.

1. Рассмотрим треугольник :

  • по определению разности векторов имеем: ;

  • по теореме косинусов имеем:

  • Значит, или

  • Так как , тои (*)

2. Распишем равенство (*) в координатах:

Таким образом,

II. Пусть векторы иненулевые и коллинеарные.

  1. По теореме о коллинеарных векторах существует такое , что, следовательно

  2. Найдем скалярное произведение векторов ипо определению 3.4:

Следствие 3.6. Векторы и, заданные в ортонормированном базисе, взаимно перпендикулярны тогда и только, когда.

Следствие 3.7. Косинус угла между ненулевыми векторами и, заданными в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

Свойства скалярного умножения 3.8. Для любого действительного числаи произвольных векторов,исправедливы следующие равенства:

3.8.1.

3.8.2. и

3.8.3.

3.8.4.

Ограничимся доказательством свойства 3.8.3. Остальные доказываются аналогично.

Доказательство свойства 3.8.3.

Так как вектор имеет координаты, то по формуле скалярного произведения в ортонормированном базисе имеем:=

= =.

Геометрический смысл координат вектора.

  1. Пусть в ортонормированном базисе задан некоторый вектор . Его можно разложить по базису:

2. Умножим обе части разложения вектораскалярно на,. Имеем:.

3. Учитывая, что , имеем:

Определение 3.5 Косинусы углов между вектороми базисными векторами,называются направляющими косинусами векторав ортонормированном базисе.

Если , то

Соседние файлы в папке вопрос 1