ГОСЫ / вопрос 1 / Лекция №2

Лекция №2

Векторы в пространстве. Векторное произведение векторов.

Геометрический смысл векторного произведения. Площадь треугольника.

Задание 1. Провести аналогию тем «Векторы на плоскости» и «Векторы в пространстве», заполнив таблицу.

Основные вопросы	Векторы на плоскости	Векторы в пространстве
Определение:
Виды векторов
Координаты вектора
Разложение вектора по базисным векторам
Длина вектора
Действия над векторами в геометрической форме
Свойства действий
Действия над векторами в координатах
Угол между векторами

Теорема 2.1. Если векторы , и не компланарны, то для любого вектора существуют единственные числа и такие, что

Доказательство:

1. Докажем, что и существуют.

1. Отложим от некоторой точки О плоскости векторы , , , . Так как и не компланарны, то точки не лежат в одной плоскости.

2. Если точка лежит на прямой , то векторы и коллинеарны, поэтому по теореме о коллинеарных векторах или . Аналогично в случаях расположения точки на прямых и .

3. Рассмотрим случай, когда точка не принадлежит ни одной из указанных прямых.

• Проведем через точку прямую , параллельную прямой , где - точка пересечения этой прямой с плоскостью ;

• Так как векторы компланарны, то по теореме 2. 2 имеем, что ;

• Так как векторы коллинеарны по построению, то по теореме 2.1 имеем, что ;

• По правилу треугольника , поэтому .

2. Докажем единственность чисел и методом от противного.

Следствие 2.2. Любая система, состоящая более чем из трех векторов, линейно зависима.

Определение 2.3. Векторным произведением двух неколлинеарных и ненулевых векторов и , взятых в определенном порядке, называется такой вектор , что:

1. ;

2. ;

3. - тройка положительно ориентирована и одинаково ориентирована с базисом, в котором она рассматривается.

Обозначается

Свойства векторного произведения.

1. Векторное произведение векторов и равно нулевому вектору, если один из векторов нулевой или векторы и коллинеарны: или

2. При перемене порядка сомножителей векторное произведение не меняет своего модуля, но меняет направление на противоположное:

3. Сочетательное свойство векторного произведения при умножении на скаляр выражается равенством:

4. Распределительное свойство векторного произведения выражается равенством:

5. Векторное произведение не изменится, если один из сомножителей, например, вектор заменить его проекцией вектором на прямую, лежащую в плоскости векторов и и перпендикулярную к :

Рассмотрим векторные произведения единичных векторов прямоугольной системы координат. На основании свойства 1 имеем: . Из определения векторного произведения следует, что .

Теорема 2.4. Если векторы и в ортонормированном базисе имеют координаты , то вектор имеет координаты: .

Доказательство:

1. Разложим векторы и по векторам базиса :

, .

2. Составим векторное произведение:

[(), ()]

Пользуясь свойствами 2, 3, 4 векторного произведения, получим:

Последнее равенство можно записать в виде:

или

- координаты векторного произведения векторов и в положительно ориентированном базисе.

Координаты векторного произведения векторов и в отрицательно ориентированном базисе -

Геометрический смысл векторного произведения.

Теорема 2.5. Абсолютная величина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Доказательство:

1. По определению =

2. S параллелограмма =

Задача 2: Вычислить площадь и высоту параллелограмма построенного на векторах и

Задача.3: Найти площадь треугольника, если известны координаты его вершин А(1, -2, 3), В(5, 0, -1), С(1, 0, 4)

Физический смысл векторного произведения векторов

Моментом силы относительно точки называется вектор , имеющий начало в точке , направленный перпендикулярно к плоскости, определяемой точкой и вектором силы . Длина вектора равна произведению длины вектора на плечо (- длина перпендикуляра, опущенного из точки на направление вектора ), или , где - радиус-вектор точки приложения силы . Иначе, .

Таким образом, вектор момента силы есть векторное произведение вектора силы и радиус-вектора точки приложения силы.