Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГОСЫ / вопрос 1 / Лекция №2

.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
244.74 Кб
Скачать

Лекция №2

Векторы в пространстве. Векторное произведение векторов.

Геометрический смысл векторного произведения. Площадь треугольника.

Задание 1. Провести аналогию тем «Векторы на плоскости» и «Векторы в пространстве», заполнив таблицу.

Основные вопросы

Векторы на плоскости

Векторы в пространстве

Определение:

Виды

векторов

Координаты вектора

Разложение вектора по базисным векторам

Длина

вектора

Действия над векторами в геометрической форме

Свойства действий

Действия над векторами в координатах

Угол между векторами

Теорема 2.1. Если векторы,ине компланарны, то для любого векторасуществуют единственные числаитакие, что

Доказательство:

  1. Докажем, что исуществуют.

  1. Отложим от некоторой точки О плоскости векторы ,,,. Так какине компланарны, то точкине лежат в одной плоскости.

  2. Если точкалежит на прямой, то векторыиколлинеарны, поэтому по теореме о коллинеарных векторахили. Аналогично в случаях расположения точкина прямыхи.

  3. Рассмотрим случай, когда точка не принадлежит ни одной из указанных прямых.

  • Проведем через точку прямую, параллельную прямой, где- точка пересечения этой прямой с плоскостью;

  • Так как векторы компланарны, то по теореме 2. 2 имеем, что;

  • Так как векторы коллинеарны по построению, то по теореме 2.1 имеем, что;

  • По правилу треугольника , поэтому.

  1. Докажем единственность чисел иметодом от противного.

Следствие 2.2. Любая система, состоящая более чем из трех векторов, линейно зависима.

Определение 2.3. Векторным произведением двух неколлинеарных и ненулевых векторови, взятых в определенном порядке, называется такой вектор, что:

  1. ;

  2. ;

  3. - тройка положительно ориентирована и одинаково ориентирована с базисом, в котором она рассматривается.

Обозначается

Свойства векторного произведения.

  1. Векторное произведение векторов иравно нулевому вектору, если один из векторов нулевой или векторыиколлинеарны:или

  2. При перемене порядка сомножителей векторное произведение не меняет своего модуля, но меняет направление на противоположное:

  3. Сочетательное свойство векторного произведения при умножении на скаляр выражается равенством:

  4. Распределительное свойство векторного произведения выражается равенством:

  5. Векторное произведение не изменится, если один из сомножителей, например, вектор заменить его проекцией векторомна прямую, лежащую в плоскости векторовии перпендикулярную к:

Рассмотрим векторные произведения единичных векторов прямоугольной системы координат. На основании свойства 1 имеем: . Из определения векторного произведения следует, что.

Теорема 2.4. Если векторыив ортонормированном базисеимеют координаты, то векторимеет координаты:.

Доказательство:

  1. Разложим векторы ипо векторам базиса:

,.

  1. Составим векторное произведение:

[(), ()]

Пользуясь свойствами 2, 3, 4 векторного произведения, получим:

Последнее равенство можно записать в виде:

или

- координаты векторного произведения векторов ив положительно ориентированном базисе.

Координаты векторного произведения векторов ив отрицательно ориентированном базисе -

Геометрический смысл векторного произведения.

Теорема 2.5. Абсолютная величина векторного произведенияравна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Доказательство:

  1. По определению =

  2. Sпараллелограмма =

Задача 2:Вычислить площадь и высоту параллелограмма построенного на векторахи

Задача.3:Найти площадь треугольника, если известны координаты его вершин А(1, -2, 3), В(5, 0, -1), С(1, 0, 4)

Физический смысл векторного произведения векторов

Моментом силы относительно точкиназывается вектор, имеющий начало в точке, направленный перпендикулярно к плоскости, определяемой точкой и вектором силы. Длина вектораравна произведению длины векторана плечо(- длина перпендикуляра, опущенного из точкина направление вектора), или, где- радиус-вектор точки приложения силы. Иначе,.

Таким образом, вектор момента силы есть векторное произведение вектора силы и радиус-вектора точки приложения силы.

Соседние файлы в папке вопрос 1