Лекция 8.
Взаимное расположение двух и более прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Угол между прямыми
В аффинной системе координат линия, заданная уравнением первой степени, является прямой. Выясним, при каких условиях два уравнения и :
I. Определяют одну и ту же прямую;
II. Определяют две параллельные прямые;
III. Определяют две пересекающиеся прямые.
I. Условия, при которых уравнения и определяют одну и ту же прямую.
Теорема 8.1.
Для того чтобы два уравнения и в аффинной системе координат определяли одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты в уравнениях были пропорциональны.
Необходимость:
Дано: уравнения прямой а: (1)
(2)
Докажем: .
Доказательство:
1. Данные уравнения определяют одну прямую а. Значит, направляющие векторы и будут коллинеарны, т.е. или
.
2. Подставим выражения в уравнение (1) и выразим :
3. Найдем отношение : .
4. Значит,
Достаточность:
Дано: уравнения: (1)
(2)
.
Докажем, что уравнения (1) и (2) задают одну и ту же прямую а.
Доказательство:
1. Выразим из условия теоремы коэффициенты :
-
Подставим данные выражения в уравнение (1):
или
3. Значит, уравнениями (1) и (2) задаётся одна прямая в аффинной системе координат.
II. Условие параллельности двух прямых.
Теорема 8.2.
Два уравнения и в аффинной системе координат определяют две параллельные прямые, если коэффициенты при переменных в уравнениях пропорциональны.
Дано: уравнения прямых а: (1)
b: (2)
Докажем: .
Доказательство:
1. Данные уравнения определяют две параллельные прямые а и b. Значит, их направляющие векторы и будут коллинеарны, т.е. или
.
2. Выразив коэффициент пропорциональности, имеем: .
III. Условие пересечения двух прямых.
Теорема 8.3.
Два уравнения и в аффинной системе координат определяют две пересекающие прямые, если коэффициенты при переменных в уравнениях не пропорциональны.
Дано: уравнения прямых а: (1)
b: (2)
Докажем: .
Доказательство:
Данные уравнения определяют две пересекающие прямые а и b. Значит, их направляющие векторы и не будут коллинеарными, т.е. них не выполняется условие коллинеарности:
или
Пучок прямых
Определение 8.4. Пучком прямых называется совокупность всех прямых плоскости, проходящих через некоторую точку S, называемую центром пучка.
Для задания пучка достаточно задать:
-
Его центр;
-
Две пересекающихся прямые.
1. Если известны координаты центра пучка S(x0,y0), то уравнение пучка примет вид:
2. Пусть прямые а и b пучка S заданы соответственно уравнениями:
(1)
(2) .
Покажем, что уравнение (3) задает прямую, проходящую через S(x,y) - точку пересечения прямых а и b
Достаточно показать, что уравнение (3) является уравнением первой степени. Упростив уравнение (3), имеем:
(4)
Выражения и одновременно равняться нулю не могут, т.к. в противном случае имеем: и . Из равенства следует, что прямые а и b параллельны, что противоречит условию принадлежности этих прямых пучку S.
Таким образом, уравнение (3) является уравнением первой степени и оно приводимо к уравнению (4), которое является общим уравнением прямой.
Пусть уравнения (3) не равно 0. Поделим обе части уравнения на и обозначим . Имеем: - уравнение пучка S (уравнение произвольной прямой пучка S), где - параметр, однозначно определяющий прямую пучка S.
Пример. Написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(-2;6) и через точку пересечения прямых: x-3у+1=0
2x+4у =0.
I способ
1.Найдём точку пересечения данных прямых ,
2.Напишем уравнение прямой l по двум точкам. М(-2;6) и М(-2/5;1/5).
29x+8у+10=0.
II способ
1. Две пересекающиеся прямые задают пучок. Запишем уравнение пучка:
2. Так прямая l принадлежит пучку и проходит через точку М(-2;6), то , =19.
3. Подставив значение в уравнение пучка, получим уравнение прямой l: 29x+8у+10=0
Расстояние от точки до прямой
Определение 8.5: Ненулевой вектор называется перпендикулярным к прямой, если он перпендикулярен любому направляющему вектору этой прямой.
Лемма 8.6. Если прямая задана в прямоугольной системе координат уравнением , то вектор будет перпендикулярен этой прямой.
Определение 8.7. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую .
Дано: : , М0(х0,у0) .
Найти:
Решение:
1. , где .
2. Т.к. прямая задана в прямоугольной системе координат, то по лемме 8.3
вектор перпендикулярен .
3. Из 1) и 2) следует, что векторы и коллинеарны. Найдем их скалярное произведение:
.
.
4. Т.к. , то её координаты удовлетворяют уравнению прямой.
.
5. Из 3) и 4) следует, что .
Угол между прямыми
Будем рассматривать прямые а и b на положительно ориентированной плоскости.
Определение 8.8. Направленным углом между прямыми a и b называется направленный острый угол между их направляющими векторами.
1. Пусть прямые а и b заданы в ортонормированном базисе уравнениями: , . Их направляющие векторы соответственно имеют координаты: ,
Используя определения косинуса и синуса угла на ориентированной плоскости, найдем тангенс угла между прямыми а и b,
;
Таким образом,
Если прямые а и b перпендикулярны, то .
2. Пусть прямые а и b заданы в ортонормированном базисе уравнениями: , . Их направляющие векторы соответственно имеют координаты: , .
Тогда .
Условие перпендикулярности прямых а и b примет вид: