Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГОСЫ / вопрос 2 / Лекция 8

.doc
Скачиваний:
24
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
260.1 Кб
Скачать

Лекция 8.

Взаимное расположение двух и более прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Угол между прямыми

В аффинной системе координат линия, заданная уравнением первой степени, является прямой. Выясним, при каких условиях два уравнения и :

I. Определяют одну и ту же прямую;

II. Определяют две параллельные прямые;

III. Определяют две пересекающиеся прямые.

I. Условия, при которых уравнения и определяют одну и ту же прямую.

Теорема 8.1.

Для того чтобы два уравнения и в аффинной системе координат определяли одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты в уравнениях были пропорциональны.

Необходимость:

Дано: уравнения прямой а: (1)

(2)

Докажем: .

Доказательство:

1. Данные уравнения определяют одну прямую а. Значит, направляющие векторы и  будут коллинеарны, т.е. или

.

2. Подставим выражения в уравнение (1) и выразим :

3. Найдем отношение : .

4. Значит,

Достаточность:

Дано: уравнения: (1)

(2)

.

Докажем, что уравнения (1) и (2) задают одну и ту же прямую а.

Доказательство:

1. Выразим из условия теоремы коэффициенты :

  1. Подставим данные выражения в уравнение (1):

или

3. Значит, уравнениями (1) и (2) задаётся одна прямая в аффинной системе координат.

II. Условие параллельности двух прямых.

Теорема 8.2.

Два уравнения и в аффинной системе координат определяют две параллельные прямые, если коэффициенты при переменных в уравнениях пропорциональны.

Дано: уравнения прямых а: (1)

b: (2)

Докажем: .

Доказательство:

1. Данные уравнения определяют две параллельные прямые а и b. Значит, их направляющие векторы и  будут коллинеарны, т.е. или

.

2. Выразив коэффициент пропорциональности, имеем: .

III. Условие пересечения двух прямых.

Теорема 8.3.

Два уравнения и в аффинной системе координат определяют две пересекающие прямые, если коэффициенты при переменных в уравнениях не пропорциональны.

Дано: уравнения прямых а: (1)

b: (2)

Докажем: .

Доказательство:

Данные уравнения определяют две пересекающие прямые а и b. Значит, их направляющие векторы и  не будут коллинеарными, т.е. них не выполняется условие коллинеарности:

или

Пучок прямых

Определение 8.4. Пучком прямых называется совокупность всех прямых плоскости, проходящих через некоторую точку S, называемую центром пучка.

Для задания пучка достаточно задать:

  1. Его центр;

  2. Две пересекающихся прямые.

1. Если известны координаты центра пучка S(x0,y0), то уравнение пучка примет вид:

2. Пусть прямые а и b пучка S заданы соответственно уравнениями:

(1)

(2) .

Покажем, что уравнение (3) задает прямую, проходящую через S(x,y) - точку пересечения прямых а и b

Достаточно показать, что уравнение (3) является уравнением первой степени. Упростив уравнение (3), имеем:

(4)

Выражения и одновременно равняться нулю не могут, т.к. в противном случае имеем: и . Из равенства следует, что прямые а и b параллельны, что противоречит условию принадлежности этих прямых пучку S.

Таким образом, уравнение (3) является уравнением первой степени и оно приводимо к уравнению (4), которое является общим уравнением прямой.

Пусть  уравнения (3) не равно 0. Поделим обе части уравнения на и обозначим . Имеем: - уравнение пучка S (уравнение произвольной прямой пучка S), где - параметр, однозначно определяющий прямую пучка S.

Пример. Написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(-2;6) и через точку пересечения прямых: x-3у+1=0

2x+4у =0.

I способ

1.Найдём точку пересечения данных прямых ,

2.Напишем уравнение прямой l по двум точкам. М(-2;6) и М(-2/5;1/5).

29x+8у+10=0.

II способ

1. Две пересекающиеся прямые задают пучок. Запишем уравнение пучка:

2. Так прямая l принадлежит пучку и проходит через точку М(-2;6), то , =19.

3. Подставив значение в уравнение пучка, получим уравнение прямой l: 29x+8у+10=0

Расстояние от точки до прямой

Определение 8.5: Ненулевой вектор называется перпендикулярным к прямой, если он перпендикулярен любому направляющему вектору этой прямой.

Лемма 8.6. Если прямая задана в прямоугольной системе координат уравнением , то вектор будет перпендикулярен этой прямой.

Определение 8.7. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую .

Дано: : , М000) .

Найти:

Решение:

1. , где .

2. Т.к. прямая задана в прямоугольной системе координат, то по лемме 8.3

вектор перпендикулярен .

3. Из 1) и 2) следует, что векторы и коллинеарны. Найдем их скалярное произведение:

.

.

4. Т.к. , то её координаты удовлетворяют уравнению прямой.

.

5. Из 3) и 4) следует, что .

Угол между прямыми

Будем рассматривать прямые а и b на положительно ориентированной плоскости.

Определение 8.8. Направленным углом между прямыми a и b называется направленный острый угол между их направляющими векторами.

1. Пусть прямые а и b заданы в ортонормированном базисе уравнениями: , . Их направляющие векторы соответственно имеют координаты: ,

Используя определения косинуса и синуса угла на ориентированной плоскости, найдем тангенс угла между прямыми а и b,

;

Таким образом,

Если прямые а и b перпендикулярны, то .

2. Пусть прямые а и b заданы в ортонормированном базисе уравнениями: , . Их направляющие векторы соответственно имеют координаты: , .

Тогда .

Условие перпендикулярности прямых а и b примет вид:

Соседние файлы в папке вопрос 2