Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГОСЫ / вопрос 2 / Лекция 4

.doc
Скачиваний:
6
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
305.15 Кб
Скачать

Лекция №4

Аффинная и прямоугольная системы координат.

Ориентация плоскости.

Определение 4.1. Тройка, состоящая из точки О и базиса называется аффинной системой координат.

Точка О – начало координат, а векторы и- координатными векторами. Направленные прямые, проходящие через начало координат и параллельные координатным векторам, на которых положительные направления определяются этими векторами, называются осями координат. Ось координат, на которой положительное направление определяется вектором, называется осью абсцисс и обозначается, вектором- осью ординат и обозначается.

Пусть - аффинная система координат, а М – произвольная точка плоскости.

Вектор называется радиус-вектором точки М (относительно точки О). Координатыивекторав базисеназываются координатами точки М в системе координат. Числоназывается абсциссой точки М, а число- ординатой точки М; пишут. Таким образом, координатами точки М в системеназываются числаитакие, что.

Чтобы построить точку М по данным координатам ив системе координатнадо:

  1. На оси построить точку, на оси- точку;

  2. Через точки ипровести прямые, параллельные соответственно осями;

  3. Точка пересечения прямых – искомая точка .

Задача 1.

Ваффинной системе координат даны две точкии. Найти координаты вектора.

Решение.

1. .

2. Векторы - радиус-векторы точеки, значит, векторы имеют координаты:,.

3. По свойству координат имеем, что вектор как разность векторов имеет координаты:.

Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть и- две точки плоскости, а- некоторое действительное число, причем. Говорят, что точкаделит направленный отрезокв данном отношении, если. Из данного равенства следует:

  • , то илежит внутри отрезка;

  • , то илежит вне отрезка.

Задача 2

В аффинной системе координат отрезок задан координатами своих концов:,. Найти координаты точки, делящей отрезокв отношении.

Решение.

  1. Выразим векторы: и;

  2. Равенство примет вид:;

Выразим :(*).

  1. Векторы - радиус-векторы точек,,, поэтому эти векторы в базисеимеют координаты:,и;

  2. Применив к равенству (*) свойства координат векторов имеем формулы для нахождения координат точки , делящей отрезокв отношении:

Для нахождения координат середины отрезка формулы преобразовываются следующим образом:

Определение 4.2. Система координат называется прямоугольной декартовой или просто прямоугольной, если его координатные векторы являются единичными взаимно перпендикулярными векторами.

Такая система координат с началом в точке О обозначается: или, где.

Координаты точки в прямоугольной системе координат имеют простой геометрический смысл.

Точки ипроекции точки М на

оси координат.

Таким образом, , если-

точка положительной полуоси ;

, если - точка отрицательной полуоси;, еслисовпадает с началом координат.

Аналогичный геометрический смысл имеет и ордината у точки . Итак понятие координат в прямоугольной системе координат совпадает с тем понятием, которое известно из курсов алгебры и геометрии средней школы.

Длина отрезка в прямоугольной системе координат.

  1. Пусть в прямоугольной системе координат точкиимеют координатыи.

  2. По определению длины вектора , где

Ориентация плоскости

Пусть L - некоторое множество векторов плоскости. Выделим в этом множестве два базиса

Выразим векторы второго базиса через векторы первого.

, где

Матрица перехода от базиса А к базису В имеет вид: ,- определитель второго порядка матрицы перехода от базисаА к базису В.

Свойства определителей матриц перехода:

1. Для любого базиса имеем: А|A=1

2. Для любых трех базисов , справедливо равенство: ;

3. для любых базисов , справедливо равенство: .

Определение 4.3. Базисы иназываются одинаково ориентированными, если определитель А|В больше 0.

Обозначается: AB (базис одинаково ориентирован с базисом)

Определение 4.4. Одинаково ориентированные базисы ииз множества всех базисов подпространстваL называются ориентацией векторного подпространства L.

Одна из ориентаций называется положительной, другая – отрицательной.

Определение 4.5. Векторное подпространство L называется ориентированным, если в нем выбрана положительная ориентация.

Определение 4.6. Базисы положительной ориентации называются правыми, отрицательной ориентации – левыми.

Определение 4.7. Плоскость называется ориентированной, если ориентированы подпространства векторов этой плоскости.

Определение 4.8. Система координат называется правой, если базис – правый. Левой, если базис – левый.

Рассмотрим два вектора и– ненулевые и заданные в определенном порядке.

Соседние файлы в папке вопрос 2