Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГОСЫ / вопрос 2 / Лекция 7

.doc
Скачиваний:
48
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
319.49 Кб
Скачать

Лекция №7.

Понятие алгебраической линии. Различные способы задания прямой. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой. Геометрический смысл знака трехчлена

При изучении геометрии на плоскости методом координат в качестве фигур чаще всего рассматриваются линии.

Пример: прямая, окружность.

Всякая линия в системе координат определяется своим уравнением.

Определение7 .1 . Алгебраической линией называется линия, которая в какой-либо аффинной системе координат имеет уравнение: ,где -многочлен, - переменные, а каждый одночлен в многочлене представлен : .

Определение 7.2. Степенью одночлена , где, называется число, равное сумме и .

Определение 7.3. Степенью многочлена называется наивысшая степень его членов.

Определение7.4.Степень многочлена называется порядком линии.

- прямая первого порядка.

- окружность второго порядка.

Теорема 7.5. Понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависит от выбора аффинной системы координат.

Доказательство:

1) Пусть в аффинной системе координат задана алгебраическая линия уравнением или ;

2) Зададим данную линию в новой системе координат и , используя формулы преобразования:

, .

Подставим в уравнение алгебраической линии данные выражения вместо и :

=.

Следовательно, .

3) Таким образом, степень нового многочлена равна степени старого многочлена, и он представим в виде:.

Различные способы задания прямой

Определение 7.6. Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Любая прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, причем они коллинеарные.

Положение прямой на плоскости и в пространстве определяется однозначно, если заданы:

1. Направляющий вектор и точка, принадлежащая прямой.

2. Две различные точки этой прямой.

3. Две точки, принадлежащие соответственно осям координат.

Параметрические уравнения прямой.

1) Пусть прямая а содержит точку и точку , тогда вектор коллинеарен направляющему вектору .

  1. Из коллинеарности векторов следует, что: или - параметрические уравнения прямой, где - параметр.

Смысл этих уравнений заключается в том, что каково бы не было действительное числоточка с координатами , удовлетворяющая этим уравнениям, всегда лежит на прямой. И обратно: если точка с координатами принадлежит прямой, то всегда найдется такой параметр R , что можно выразить через х0, у0 при помощи параметрических уравнений.

Эти параметрические уравнения можно записать в виде:

- уравнение прямой, заданной направляющим вектором и точкой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Этот вид уравнения следует из способа задания прямой направляющим вектором.

Определение 7.7. Угловым коэффициентом прямой называется отношение второй координаты направляющего вектора прямой к его первой координате ().

Угловой коэффициент имеет простой геометрический смысл: если прямая задана в прямоугольной системе координат , то число позволяет определить направляющий угол , где - направляющий вектор прямой. определяет тангенс угла наклона прямой к оси Ох.

    1. Пусть прямая а содержит точку и точку . Тогда имеем, что вектор – направляющий вектор прямой а. Координаты вектора .

    2. По определению углового коэффициента имеем, что или

- уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

3) Преобразовав, имеем . Обозначив , имеем:

- уравнение прямой не параллельной оси Oу, заданной угловым коэффициентом.

Эта прямая отсекает от оси Oy отрезок, равный

Уравнение прямой, заданной двумя точками.

    1. Пусть на прямой а заданы две точки и , и некоторая точка .

    2. - направляющий вектор прямой а. Так как , то .

    3. Так как также является направляющим вектором прямой а и , то .

    4. Так как угловой коэффициент прямой определяется однозначно, то

или - уравнение прямой, проходящей через две точки.

Уравнение прямой в отрезках.

1) Пусть некоторая прямая a отсекает на осях координат отрезки: на оси Ох -отрезок длиной а, на оси Оу – отрезок длиной b.

2) Определим координаты точек пересечения прямой а с осями координат: .

3) Напишем уравнение прямой а по двум точкам А и В:

;

;

;

- уравнение прямой в отрезках

Общее уравнение прямой.

В аффинной системе координат прямая задаётся уравнением первой степени , где - действительные числа, причем А и В не равны нулю одновременно, - текущие координаты точки прямой.

Теорема 7.8

Линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени: является прямой. Вектор с координатами -правляющий вектор этой прямой.

Доказательство.

1) Пусть некоторая линия φ задана своим уравнением:

φ: (*).

2) Пусть принадлежит линии φ, т.е. её координаты удовлетворяют уравнению: (**).

3) Выразим из уравнения (**) и подставим это значение в равенство (*), имеем:

(***)- уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором с координатами .

4) Направляющий вектор действительно имеет координаты , т.к. уравнение (***) можно записать в виде определителя второго порядка

- условие коллинеарности векторов, имеющих координаты и

4) Значит, линия φ является прямой.

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой определяет ее расположение в системе координат.

Прямая, заданная уравнением , проходит через начало координат. Ее направляющий вектор имеет координаты .

Прямая, заданная уравнением , параллельна оси Ох. Её направляющий вектор имеет координату.

Прямая, заданная уравнением , параллельна оси Оу. Её направляющий вектор имеет координату.

Прямая совпадает с осью Ох. Направляющий вектор имеет координаты

Прямая совпадает с осью Оу. Направляющий вектор имеет координаты

Геометрический смысл знака трёхчлена.

1) Пусть некоторая прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости, и задана она в аффинной системе координат уравнением

2) Рассмотрим точки:

, т.е. .

, т.е.

3) Рассмотрим . Т.к. векторы коллинеарны, то

  • Если то и лежат в одной полуплоскости относительно прямой а.

  • Если то и лежат в разных полуплоскостях относительно прямой а

4) Рассмотрим условия, определяющие расположения векторов и в одной или различных полуплоскостях:

  • Пусть . Тогда условие коллинеарности векторов и в координатах имеет вид: или ;

  • Так как точка , то или ;

  • Т. к. >0,то положение точки относительно прямой а определяется знаком параметра .

  • Действительно: ,

Эти неравенства позволяют определить, в одной или разных полуплоскостях лежат точки, не принадлежащие прямой.

Соседние файлы в папке вопрос 2