Лекция №7.
Понятие алгебраической линии. Различные способы задания прямой. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой. Геометрический смысл знака трехчлена
При изучении геометрии на плоскости методом координат в качестве фигур чаще всего рассматриваются линии.
Пример: прямая, окружность.
Всякая линия в системе координат определяется своим уравнением.
Определение7 .1 . Алгебраической линией называется линия, которая в какой-либо аффинной системе координат имеет уравнение: ,где -многочлен, - переменные, а каждый одночлен в многочлене представлен : .
Определение 7.2. Степенью одночлена , где, называется число, равное сумме и .
Определение 7.3. Степенью многочлена называется наивысшая степень его членов.
Определение7.4.Степень многочлена называется порядком линии.
- прямая первого порядка.
- окружность второго порядка.
Теорема 7.5. Понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависит от выбора аффинной системы координат.
Доказательство:
1) Пусть в аффинной системе координат задана алгебраическая линия уравнением или ;
2) Зададим данную линию в новой системе координат и , используя формулы преобразования:
, .
Подставим в уравнение алгебраической линии данные выражения вместо и :
=.
Следовательно, .
3) Таким образом, степень нового многочлена равна степени старого многочлена, и он представим в виде:.
Различные способы задания прямой
Определение 7.6. Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Любая прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, причем они коллинеарные.
Положение прямой на плоскости и в пространстве определяется однозначно, если заданы:
1. Направляющий вектор и точка, принадлежащая прямой.
2. Две различные точки этой прямой.
3. Две точки, принадлежащие соответственно осям координат.
Параметрические уравнения прямой.
1) Пусть прямая а содержит точку и точку , тогда вектор коллинеарен направляющему вектору .
-
Из коллинеарности векторов следует, что: или - параметрические уравнения прямой, где - параметр.
Смысл этих уравнений заключается в том, что каково бы не было действительное числоточка с координатами , удовлетворяющая этим уравнениям, всегда лежит на прямой. И обратно: если точка с координатами принадлежит прямой, то всегда найдется такой параметр R , что можно выразить через х0, у0 при помощи параметрических уравнений.
Эти параметрические уравнения можно записать в виде:
- уравнение прямой, заданной направляющим вектором и точкой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Этот вид уравнения следует из способа задания прямой направляющим вектором.
Определение 7.7. Угловым коэффициентом прямой называется отношение второй координаты направляющего вектора прямой к его первой координате ().
Угловой коэффициент имеет простой геометрический смысл: если прямая задана в прямоугольной системе координат , то число позволяет определить направляющий угол , где - направляющий вектор прямой. определяет тангенс угла наклона прямой к оси Ох.
-
Пусть прямая а содержит точку и точку . Тогда имеем, что вектор – направляющий вектор прямой а. Координаты вектора .
-
По определению углового коэффициента имеем, что или
- уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
3) Преобразовав, имеем . Обозначив , имеем:
- уравнение прямой не параллельной оси Oу, заданной угловым коэффициентом.
Эта прямая отсекает от оси Oy отрезок, равный
Уравнение прямой, заданной двумя точками.
-
Пусть на прямой а заданы две точки и , и некоторая точка .
-
- направляющий вектор прямой а. Так как , то .
-
Так как также является направляющим вектором прямой а и , то .
-
Так как угловой коэффициент прямой определяется однозначно, то
или - уравнение прямой, проходящей через две точки.
Уравнение прямой в отрезках.
1) Пусть некоторая прямая a отсекает на осях координат отрезки: на оси Ох -отрезок длиной а, на оси Оу – отрезок длиной b.
2) Определим координаты точек пересечения прямой а с осями координат: .
3) Напишем уравнение прямой а по двум точкам А и В:
;
;
;
- уравнение прямой в отрезках
Общее уравнение прямой.
В аффинной системе координат прямая задаётся уравнением первой степени , где - действительные числа, причем А и В не равны нулю одновременно, - текущие координаты точки прямой.
Теорема 7.8
Линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени: является прямой. Вектор с координатами -правляющий вектор этой прямой.
Доказательство.
1) Пусть некоторая линия φ задана своим уравнением:
φ: (*).
2) Пусть принадлежит линии φ, т.е. её координаты удовлетворяют уравнению: (**).
3) Выразим из уравнения (**) и подставим это значение в равенство (*), имеем:
(***)- уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором с координатами .
4) Направляющий вектор действительно имеет координаты , т.к. уравнение (***) можно записать в виде определителя второго порядка
- условие коллинеарности векторов, имеющих координаты и
4) Значит, линия φ является прямой.
Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой
Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой определяет ее расположение в системе координат.
Прямая, заданная уравнением , проходит через начало координат. Ее направляющий вектор имеет координаты .
Прямая, заданная уравнением , параллельна оси Ох. Её направляющий вектор имеет координату.
Прямая, заданная уравнением , параллельна оси Оу. Её направляющий вектор имеет координату.
Прямая совпадает с осью Ох. Направляющий вектор имеет координаты
Прямая совпадает с осью Оу. Направляющий вектор имеет координаты
Геометрический смысл знака трёхчлена.
1) Пусть некоторая прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости, и задана она в аффинной системе координат уравнением
2) Рассмотрим точки:
, т.е. .
, т.е.
3) Рассмотрим . Т.к. векторы коллинеарны, то
-
Если то и лежат в одной полуплоскости относительно прямой а.
-
Если то и лежат в разных полуплоскостях относительно прямой а
4) Рассмотрим условия, определяющие расположения векторов и в одной или различных полуплоскостях:
-
Пусть . Тогда условие коллинеарности векторов и в координатах имеет вид: или ;
-
Так как точка , то или ;
-
Т. к. >0,то положение точки относительно прямой а определяется знаком параметра .
-
Действительно: ,
Эти неравенства позволяют определить, в одной или разных полуплоскостях лежат точки, не принадлежащие прямой.