Лек ция 16
Площадь многоугольника в евклидовой геометрии. Теоремы существования измерения площади фигуры.
Теорема единственности.
Определение 16.1. Ломаной называется фигура, состоящая n-1 отрезков - звеньев ломаной.
Определение 16.2. Ломаная называется простой, если смежные звенья (А1А2 и А2А3, А3А4 и А4А5) не лежат на одной прямой и несмежные звенья не имеют общих точек.
Определение 16.3. Ломаная называется замкнутой, если ее концы совпадают (.
Определение 16.4. Объединение замкнутой ломаной и её внутренней области называется многоугольником. Замкнутая ломаная, ограничивающая многоугольник, является его границей.
Определение 16.5. Многоугольник называется ориентированным, если указан порядок обхода его вершин, т.е. .
Пусть . Введем на многоугольниках ориентации так, чтобы общие вершины и , и следовали друг за другом в одном и том же порядке. В этом случае говорят, что ориентации этих многоугольников согласованы и .
Пусть - евклидова плоскость, М - множество всех многоугольников данной плоскости, - единичный вектор, перпендикулярный плоскости ,
и - произвольные векторы, параллельные плоскости .
Смешанное произведение обозначим .
Выберем на плоскости ортонормированный базис так, чтобы .
Если в данном базисе
Пусть ориентированный n-угольник, а точка О - произвольная точка .
Определение 16.6. Число , где и называется характеристикой многоугольника F.
Если в прямоугольной системе координат плоскости вершины многоугольника имеют координаты где i= 1,2…n, то характеристику многоугольника можно записать в виде:
()
Свойства характеристики многоугольника
1). Характеристика многоугольника не зависит от выбора точки О на плоскости ;
2). Если , то > и >;
3). Если – произвольный многоугольник, то , поэтому >0 ;
4). При замене ориентации многоугольника характеристика меняет знак на противоположный, но абсолютная величина характеристики не меняется.
5). Любой многоугольник можно ориентировать так, чтобы его характеристика была положительной.
Рассмотрим множество М всех многоугольников на евклидовой плоскости. Говорят, что установлено измерение площадей многоугольников если определено отображение: , удовлетворяет следующим аксиомам:
1). Если ,то ;
2). Если F=F1+F2, то S(F)=S(F1)+S(F2);
3). Если S(P0)=1. где Р0 – квадрат, построенный на единичном отрезке как на стороне.
Определение 16.7. Положительное число S(F) называется мерой или площадью многоугольника F, а квадрат P0- единичный квадрат.
Теорема 16.8. (теорема существования) Отображение по закону удовлетворяет аксиомам 1, 2, 3 измерения площадей.
Доказательство:
-
Докажем, что если F=F’, то S(F)= S(F’) .
Так как F=F’, то существует движение, которое многоугольник переводит в многоугольник . Данное движение может быть заданно двумя ортонормированными реперами и . Если - вершины многоугольника в репере , то - вершины многоугольника в репере . Поэтому по формуле () получаем , а значит, S(F)= S(F’).
2) Докажем что если F=F1+F2 , то S(F)= S(F1)+ S(F2) многоугольник.
Многоугольник F ориентирован так, чтобы >0. Введем на F1 и F2 ориентации, согласованные с ориентацией многоугольника . Тогда . Докажем, что .
Пусть М0……Мк – ломаная, которая разбивает многоугольник F на многоугольники F1 и F2, а - радиус–векторы вершин этой ломаной, радиус-векторы вершин многоугольника А1….Аn.
Сложив эти равенства и учитывая второе свойство характеристики, имеем
Так как точка М0 - точка отрезка А1Аn, то , поэтому .
Аналогично . Значит, = S(F)= S(F1)+ S(F2)
3) Пусть - квадрат, построенный на единичном отрезке. В системе координат его вершины имеют координаты О(0,0), А1(1,0), А2(0,1), А3(1,1). Высчитав характеристику, имеем: .
Для её доказательства теоремы единственности необходимо следующие теоремы.
Теорема 16.9. Если - отображение, удовлетворяющее аксиомам 1,2,3, то , где - прямоугольник, стороны которые равны и .
Теорема 16.10. Если - отображение, удовлетворяющее аксиомам 1,2,3, то , где Р- треугольник, - одна из его сторон, а - соответствующая высота.
Теорема 16.11. (теорема единственности площади)
Если выбран единичный отрезок, то существует не более одного отображения удовлетворяющего аксиомам 1,2,3.
Доказательство: (методом от противного).
1). Пусть существуют два отображения и которые удовлетворяют аксиомам 1,2,3, при одном и том же выборе единичного отрезка.
2). Возьмем произвольный многоугольник F и разложим его на конечное множество треугольников: . По аксиоме 2 имеем: при . Полученное равенство справедливо для любого многоугольника, следовательно, допущение неверно и , значит, отображения .
Следствие16.11.1. При любом способе разложения многоугольника на конечное множество треугольников сумма площадей этих треугольников одна и та же.
Следствие 16.11.2. Если вершины многоугольника А1…Аn в прямоугольной системе координат заданы своими координатами, то
Определение 16.12. Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны.
Определение 16.13. Два многоугольника называются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число равных многоугольников.
Если 2 многоугольника равносоставлены, то они и равновелики.