ОиАС-9

Структура оптимальной системы с

наблюдателем

21

Возвращаясь к рассмотрению системы (4.3.1), (4.3.2), реализация закона управления (4.3.2) которой затруднена тем, что не все переменные состояния доступны непосредственному измерению, отметим, что в этом случае естественно использовать наблюдатель (4.3.6), а затем воспользоваться законом управления (4.3.2) применительно к восстановленному состоянию.

Полученная таким образом система описывается уравнениями:

x = A(t)x +B(t)u; y = D(t)x	(4.3.65)
	(4.3.66)
xˆ =[A(t)−K(t)D(t)]xˆ +K(t)y +B(t)u
′	(4.3.67)
u =C (t)xˆ

На рисунке приведена структурная схема системы с наблюдателем, построенная на основе уравнений (4.3.65)...(4.3.67).

22

Исследуем устойчивость системы (4.3.65)...(4.3.67). Осуществим эквивалентные преобразования этой системы. Вычитая из первого уравнения системы (4.3.65) уравнение (4.3.66) и заменяя в (4.3.67) xˆ = x −e, получим после подстановки

(4.3.67) в (4.3.65) уравнения:

e =[A(t)−K(t)D(t)]e;	e(t0 )= x(t0 )−xˆ(t0 )		(4.3.68)
′	′	(0 )	(4.3.69)
x =[A(t)+B(t)C (t)]x −B(t)C (t)e; x(t0 )= x

Если матрица коэффициентов усиления наблюдателя K(t) выбрана так, что наблюдатель (4.3.66) асимптотически устойчив при y(t)=u(t)=0, то решение уравнения (4.3.68) e(t)→0 при t→∞ независимо от начального состояния е(t0).

Пусть матрицы B(t) и C'(t), входящие в уравнение (4.3.69), ограничены и e(t)→0 при t→∞, тогдаx(t)→ 0, если асимптотически устойчива система

′	(4.3.70)
x =[A(t)+B(t)C (t)]x
В стационарном случае система (4.3.65)...(4.3.67) имеет вид
x = Ax +Bu; y = Dx	(4.3.71)
xˆ =[A −KD]xˆ +Ky +Bu	(4.3.72)
′	(4.3.73)
u =C xˆ

23

Характеристический полином системы (4.3.74)

d(s)= det		Is −A +KD	0
				= det		Is −A +KD		det	′	(4.3.75)
		′	′						Is −A −BC
		BC	Is −A −BC

Из этого выражения следует, что корни характеристического полинома оптимальной системы с наблюдателем состоят из корней характеристического полинома du(s)=det|Is–А–ВС'| оптимальной системы (у которой все переменные состояния доступны непосредственному измерению) и корней характеристического полинома dн(s)=det|Is–A+KD| наблюдателя. Таким образом, можно производить раздельное построение закона управления и наблюдателя.

24

Пример 4.3.4. Гирорама с наблюдателем полного порядка. Рассмотрим при f1=0 гирораму (4.1.20) с оптимальным в смысле функционала (4.1.22) управлением (4.1.21). В связи с тем, что непосредственному измерению доступна лишь одна переменная состояния x1 воспользуемся для восстановления остальных неизмеряемых переменных состояния наблюдателем (4.3.1)...(4.3.3). Тогда гирорама с наблюдателем будет описываться уравнениями

(4.3.76)	x1	= x2		xˆ1		= xˆ1 +k11 (y − xˆ1 )					(4.3.78)
	x2	= a22 x2	+a23 x3
				xˆ		= a xˆ +a xˆ +k					(y − xˆ )
	x3	= a32 x2	+a33 x3 +b31u
					2	22	2	23	3	21	1
(4.3.77) u = c1 xˆ1 +c2 xˆ2 +c3 xˆ3					= a32 xˆ2		+a33 xˆ3		+k31	(y − xˆ1 )+b31u (4.3.79)
				xˆ3

в которых (4.3.77)...(4.3.79) – уравнения регулятора, параметры которого c1, c2, с3 определяются решением задачи об оптимальном управлении, описанным в примере 4.1.2, а параметры k11, k21, k31 находятся в результате построения наблюдателя, рассмотренного в примере 4.3.3.

25

Характеристический полином системы (4.3.76), (4.3.77), если положить в (4.1.21)

(i= 1, 2, 3), имеет вид

s	−1	0
du (s)= det 0	s −a22	−a23	=
−b31c1	−a32 −b31c2	s −a33 −b31c3

=s[(s −a22 )(s −a33 −b31c3 )−a23 (a32 +b31c2 )]−b31c1a23

Всоответствии с (4.3.59) характеристический полином наблюдателя

dн (s)= s3 +d2*s2 +d1*s +d0*

а характеристический полином системы (4.3.76)...(4.3.79) d(s) = du(s)dн(s).

(4.3.80)

(4.3.81)

26