MathAn / !Лекция_II(4)-№8(2014-15)_St

Математический анализ. Модуль-4

Лекция №8 Дифференциальные уравнения 1-го порядка

1. Уравнения с разделяющимися переменными
Def 1. ДУ-1 вида
y f x g y ,	(1.1)
или
M x N y dx P x Q y dy 0	(1.2)

где f x , g y , M x , N y , P x , Q y - непрерывные функции, называются ДУ с разделяющимися переменными (УРП).

Как решать?
Разделить переменные:
	dy	f x g y			dy			f x dx (уравнение с разделенными переменными)
				g y
	dx
! Левая и правая часть зависят ТОЛЬКО от одной переменной x или y .
Общий интеграл					dy			f (x) dx C
					g y

! При делении на выражение, содержащее x или y , могут быть потеряны решения, обращающие его в нуль.

Пример 1

Решить ДУ-1 xy y y2 . Найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию y 1 0,5 .

Решение

...

1.1. Уравнения, приводящиеся к УРП

Уравнение y f ax by c заменой z ax by c сводится к УРП

1

Математический анализ. Модуль-4

Пример 2

...

Решение

...

2. Однородные ДУ-1

Def 2. Функция y F x, y называется однородной степени p, если для всех t 0

выполняется F tx,ty t p F x, y .

Если p 0 , то говорят об однородной функции нулевой степени.

Например,

F x, y x2 y2 xy - однородная функция 2-й степени;

F x, y			x2 y 2	- однородная функция 0-й степени.
			x2 y 2
Проверим!
Def 3. ДУ y f x, y называется однородным относительно x, y , если					f x, y -
однородная функция своих аргументов нулевой степени.
Запись однородных уравнений:
y
y f
x

M x, y dx N x, y dy 0 , M x, y , N x, y - однородные функции нулевой степени.

Как решать?

Замена y xu x приводит к УРП.

y u xu

Пример 3

...

Решение

...

2

Математический анализ. Модуль-4

2.1. Уравнения, приводящиеся к однородным

ДУ

				ax by c
								(2.1)
y			f a x b y c
				1	1	1

приводится к однородному уравнению или УРП следующими способами.

Рассмотрим систему линейных уравнений

ax by c 0,		(2.2)
a1x b1 y c1	0

1)если система уравнений (2.2) имеет решение x x0 , y y0 , то замена переменных

u x x0	,	(2.4)
v y y0

приводит (2.1) к однородному уравнению.

2) если система уравнений (2.2) не имеет решений, то замена переменных

z ax by

(2.5)

приводит к УРП.

Пример 4

...

Решение

...

Пример 5

...

Решение

...

3