MathAn / !Лекция_II_№9(2014-15)_St_n

Математический анализ. Модуль-4

Лекция №9

Дифференциальные уравнения 1-го порядка (продолжение)

3. Линейные уравнения 1-го порядка

Def 4. ДУ-1 вида

y p x y q x ,

(3)

где p x , q x - заданные непрерывные функции x I , называется линейным ДУ

1-го порядка (ЛДУ-1).

Если q x 0 , то уравнение (3) называется линейным однородным уравнением (ЛОДУ-1) и является УРП;

если q x 0 - линейным неоднородным (ЛНДУ-1).

Общее решение линейного однородного ДУ: y Ce p x dx
Как решать линейное неоднородное?
Метод вариации произвольной постоянной
1) Ищем решение ЛНДУ-1 в виде
y C x e p x dx ,	(3.1)
где C x - неизвестная функция.

2) Подставляя (3.1) в исходное уравнение (3), получаем УРП, содержащее C x .

! слагаемые с C x должны взаимно уничтожиться (если C x осталось, то решаем НЕВЕРНО).

3) Находим C x , подставляем в (3.1).

Пример 6

Решить ДУ y 2xy 2xe x2 .

Решение

ЛДУ-1.

Линейное однородное y 2xy 0.

1

Математический анализ. Модуль-4

Общее решение ЛОДУ-1: y Ce 2xdx Ce x2 .

Ищем общее решение ЛНДУ-1: y C x e x2 (@)

Подставляем (@) в исходное уравнение: y C x e x2

C x e x2 2xC x e x2 2xC x e x2

C x 2x , C x x2 C .

Общее решение ЛНДУ-1: y x2 C e x2 . #

4. Уравнения Бернулли

Def 5. ДУ-1 вида

			y p x y q x yn ,
	где n 0; 1 называется уравнением Бернулли.
	Замена z	1	приводится к ЛДУ-1.
		y n 1

2xC x e x2

2xe x2

(4)

1

Обратная замена: y z1 n .

! При n 0 имеет решение y 0 .

Если 0 n 1, то это решение особое.

Если n 0 , то y 0 не является решением.

Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано с помощью метода вариации произвольной постоянной и с помощью подстановки y u x v x .

2

Математический анализ. Модуль-4

Пример 7

Решить ДУ y xy xy3 .

Решение

Это уравнение Бернулли.

Разделим обе части уравнения на y3 :

y

x

1

x , ( y

0 ).

y3

y 2

1

z

2 y

1

z xz x , z 2xz 2x - ЛДУ-1.

Замена z

,

y 2

y3

2

Общее решение: z 1 Ce

x2

1

1 Ce

x2

2

Ce

x2

1.

,

или y

1

y 2

! n 1 y 0

входит в общее решение при С .#

5. Уравнения в полных дифференциалах

Def 6. ДУ-1 вида

M x, y dx N x, y dy 0 ,

(5)

называются уравнением в полных дифференциалах, если

M x, y dx N x, y dy dF x, y ,

т.е.

F

M x, y и

F

N x, y .

x

y

2 F

F

M

2 F

F

N

Тогда

,

y x

y x

y

x y

x

x

y

M

N .

y

x

получаем уравнение dF x, y 0

F x, y С - общий интеграл уравнения (5).

Как решать? Как найти функцию F x, y ?

Так как F M x, y , то

x

3

Математический анализ. Модуль-4
F x, y M x, y dx С y ,	(5.1)

С y - неизвестная функция.

Для нахождения С y используем условие F N x, y .

y

F M x, y dx С y .

y y

F M x, y dx C y N x, y .

y y

Отсюда находим С y , затем С y , подставим в (5.1) и получим

F x, y С .

Пример 8

Решить ДУ 2xydx x2 y2 dy 0.

Решение

Пусть M x, y 2xy , N x, y x2 y2		M	2x;	N	2x
		y		x

уравнение в полных дифференциалах.

F x, y M x, y dx С y 2xydx C yy 2xdx C y x2 y C y .

общий интеграл

M Ny x

	F	N x, y			x2 y C y x2 y 2
	y			y
		2		2		2		2		y3
				y					C y 3
	x C y x						C y y

F x, y x2 y y3 . 3

Общий интеграл: x2 y y3 C . #

3

4