Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

MathAn / 33_Lektsia_II_12_2014-15_St

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
352.67 Кб
Скачать

Математический анализ. Модуль-4

Лекция №12 Дифференциальные уравнения 2-го порядка

(продолжение-2)

4. Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка (ЛНДУ-2)

 

 

 

Теорема 3 (о структуре общего решения ЛНДУ-2)

 

 

 

 

 

 

Пусть для ЛНДУ-2

 

 

 

 

y p x y q x y f x

(12)

 

 

функции p x , q x , f x непрерывны на a,b .

 

x

 

 

 

~

 

Общее решение уравнения (12) есть сумма любого его частного решения y

 

и общего решения соответствующего однородного уравненияY x :

 

 

 

y x y x Y x .

 

 

 

 

~

 

 

 

Доказательство

 

 

 

... #

 

 

 

4.1. Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными

 

коэффициентами (ЛНДУП-2)

 

 

Def. Пусть в ДУ (12)

y p x y q x y f x

 

 

p x p, q x q , где

p, q R , и f x 0 ,

 

 

тогда уравнение называется линейным неоднородным ДУ 2-го порядка с

постоянными коэффициентами (ЛНДУП-2):

 

y py qy f x

(12.1)

? Как решать?

 

По теореме 3 общее решение ЛНДУ-2 имеет вид

 

 

y x y x Y x ,

 

 

~

 

 

~

x - любое частное

где Y x - общее решение соответствующего ЛОДУ-2, y

решение ЛНДУ-2, действуем по следующему алгоритму:

1.

Найти общее решение Y x ЛОДУП-2: y py qy 0 , соответствующего

 

уравнению (12.1).

 

2.

~

 

Найти какое-нибудь частное решение y x уравнения (12.1).

3.

Записать общее решение ЛОДУП-2: y py qy

f x как сумму этих

решений

x Y x .

y x y

~

 

1

Математический анализ. Модуль-4

? Как найти частное решение ~ уравнения (12.1)? y x

Способ 1. (Метод подбора ч.р.) Если правая часть ЛНДУП-2 (12.1) имеет специальный вид, то частное решение также имеет специальный вид и может быть найдено методом неопределенных коэффициентов без интегрирования исходного уравнения (см. таблицу).

Способ 2. (Метод вариации произвольной постоянной). Общий случай правой части f x .

! Рассмотрим только способ 1.

 

 

 

 

 

 

 

Вид f x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вид частного решения y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛНДУП-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I.

Pn x e

x

,

 

 

 

 

~

x

r

Qn x e

x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

где Pn x - многочлен n-й степени

 

где Qn x - многочлен той же степени

 

x a

 

xn a

 

xn 1

 

n, что и Pn x ;

 

 

 

P

n

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r - число корней хар.уравнения

a1x a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- заданное число

 

 

 

k 2 pk q 0 , равных :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметры: n,

 

 

 

0, k1,2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 1, k1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2, k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.

e

x

Pn

x cos x Pm x sin x

 

 

~

x

r

e

x

Qs x cos x Rs x sin x

,

 

 

 

y x

 

 

 

где Pn x - многочлен n-й степени,

 

где Qs x и Rs x - многочлены

Pm x - многочлен m-й степени;

 

степени s max n,m ;

, - заданные числа

 

r - число корней хар.уравнения

Параметры: n, m, ,

 

k 2 pk q 0 , равных i :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, k1,2

i ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, k1

 

 

2

Математический анализ. Модуль-4

! Замечание. Коэффициенты многочленов Pn x , Qn x , Pm x , Qs x , Rs x , входящих в частные решения неизвестны и находятся метод неопределенных коэффициентов.

Пример 7.1

Найти частное решение ДУ y y xe x

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правая часть f x xe x - вид I. P

x x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Параметры - n 1, 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Хар. уравнение k 2 1 0

, k 1, k

2

1.

совпадает с корнем k 1

r 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

вид искомого ч.р.

~

xe

x

Ax B или

 

~

e

x

Ax

2

Bx

 

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

x

Ax

2

Bx в исходное уравнение, предварительно вычислив

3) Подставляем y e

 

 

производные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

e

x

Ax

2

Bx 2Ax B e

x

Ax

2

2A

B x B ;

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

~

e

x

Ax

2

2A B x B 2Ax 2A B

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

e x Ax2 4A B x 2A 2B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим

e x Ax2 4A B x 2A 2B e x Ax2 Bx xe x ,

Ax2 4A B x 2A 2B Ax2 Bx x ,

4Ax 2A 2B x ,

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 A 1,

A

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 A 2B 0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

1

 

x

x

2

x .

Подставляем A и B в ч.р. Ответ: y

 

e

 

 

4

 

 

3

Математический анализ. Модуль-4

Пример 7.2

Найти частное решение ДУ y y x sin x

Решение

~

 

x

x2

Ответ: y

 

 

sin x

 

cos x .

4

4

Пример 7.3

Найти общее решение ДУ y y 3e2x cos x

Решение

Ответ: общее решение y x C e x C

 

3

 

3

 

e x e2x

 

cos x

 

 

sin x .

 

 

 

1

2

10

 

5

 

 

 

 

4

Соседние файлы в папке MathAn