MathAn / 33_Lektsia_II_12_2014-15_St
.pdfМатематический анализ. Модуль-4
Лекция №12 Дифференциальные уравнения 2-го порядка
(продолжение-2)
4. Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка (ЛНДУ-2) |
|
|
||
|
Теорема 3 (о структуре общего решения ЛНДУ-2) |
|
|
|
|
|
|
||
|
Пусть для ЛНДУ-2 |
|
|
|
|
|
y p x y q x y f x |
(12) |
|
|
функции p x , q x , f x непрерывны на a,b . |
|
x |
|
|
|
|
~ |
|
|
Общее решение уравнения (12) есть сумма любого его частного решения y |
|||
|
и общего решения соответствующего однородного уравненияY x : |
|
||
|
|
y x y x Y x . |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
Доказательство |
|
|
|
|
... # |
|
|
|
4.1. Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными |
|
|||
коэффициентами (ЛНДУП-2) |
|
|
||
Def. Пусть в ДУ (12) |
y p x y q x y f x |
|
|
|
p x p, q x q , где |
p, q R , и f x 0 , |
|
|
тогда уравнение называется линейным неоднородным ДУ 2-го порядка с
постоянными коэффициентами (ЛНДУП-2):
|
y py qy f x |
(12.1) |
? Как решать? |
|
|
По теореме 3 общее решение ЛНДУ-2 имеет вид |
|
|
|
y x y x Y x , |
|
|
~ |
|
|
~ |
x - любое частное |
где Y x - общее решение соответствующего ЛОДУ-2, y |
||
решение ЛНДУ-2, действуем по следующему алгоритму: |
||
1. |
Найти общее решение Y x ЛОДУП-2: y py qy 0 , соответствующего |
|
|
уравнению (12.1). |
|
2. |
~ |
|
Найти какое-нибудь частное решение y x уравнения (12.1). |
||
3. |
Записать общее решение ЛОДУП-2: y py qy |
f x как сумму этих |
решений |
x Y x . |
y x y |
|
~ |
|
1
Математический анализ. Модуль-4
? Как найти частное решение ~ уравнения (12.1)? y x
Способ 1. (Метод подбора ч.р.) Если правая часть ЛНДУП-2 (12.1) имеет специальный вид, то частное решение также имеет специальный вид и может быть найдено методом неопределенных коэффициентов без интегрирования исходного уравнения (см. таблицу).
Способ 2. (Метод вариации произвольной постоянной). Общий случай правой части f x .
! Рассмотрим только способ 1.
|
|
|
|
|
|
|
Вид f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид частного решения y x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛНДУП-2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I. |
Pn x e |
x |
, |
|
|
|
|
~ |
x |
r |
Qn x e |
x |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|||||||||||
где Pn x - многочлен n-й степени |
|
где Qn x - многочлен той же степени |
|||||||||||||||||||
|
x a |
|
xn a |
|
xn 1 |
|
n, что и Pn x ; |
|
|
|
|||||||||||
P |
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r - число корней хар.уравнения |
|||||||||||
a1x a0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
- заданное число |
|
|
|
k 2 pk q 0 , равных : |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Параметры: n, |
|
|
|
0, k1,2 |
, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 1, k1 |
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. |
e |
x |
Pn |
x cos x Pm x sin x |
|
|
~ |
x |
r |
e |
x |
Qs x cos x Rs x sin x |
, |
||||||||
|
|
|
y x |
|
|
|
|||||||||||||||
где Pn x - многочлен n-й степени, |
|
где Qs x и Rs x - многочлены |
|||||||||||||||||||
Pm x - многочлен m-й степени; |
|
степени s max n,m ; |
|||||||||||||||||||
, - заданные числа |
|
r - число корней хар.уравнения |
|||||||||||||||||||
Параметры: n, m, , |
|
k 2 pk q 0 , равных i : |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, k1,2 |
i , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
i |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, k1 |
|
|
2
Математический анализ. Модуль-4
! Замечание. Коэффициенты многочленов Pn x , Qn x , Pm x , Qs x , Rs x , входящих в частные решения неизвестны и находятся метод неопределенных коэффициентов.
Пример 7.1
Найти частное решение ДУ y y xe x
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Правая часть f x xe x - вид I. P |
x x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Параметры - n 1, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) Хар. уравнение k 2 1 0 |
, k 1, k |
2 |
1. |
совпадает с корнем k 1 |
r 1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
вид искомого ч.р. |
~ |
xe |
x |
Ax B или |
|
~ |
e |
x |
Ax |
2 |
Bx |
|
||||||||||||||||
y |
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
x |
Ax |
2 |
Bx в исходное уравнение, предварительно вычислив |
||||||||||||||||
3) Подставляем y e |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
~ |
e |
x |
Ax |
2 |
Bx 2Ax B e |
x |
Ax |
2 |
2A |
B x B ; |
|
|
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
~ |
e |
x |
Ax |
2 |
2A B x B 2Ax 2A B |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
e x Ax2 4A B x 2A 2B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим
e x Ax2 4A B x 2A 2B e x Ax2 Bx xe x ,
Ax2 4A B x 2A 2B Ax2 Bx x ,
4Ax 2A 2B x ,
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 A 1, |
A |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 A 2B 0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
1 |
|
x |
x |
2 |
x . |
||
Подставляем A и B в ч.р. Ответ: y |
|
e |
|
|
||||||||
4 |
|
|
3
Математический анализ. Модуль-4
Пример 7.2
Найти частное решение ДУ y y x sin x
Решение
…
~ |
|
x |
x2 |
||
Ответ: y |
|
|
sin x |
|
cos x . |
4 |
4 |
Пример 7.3
Найти общее решение ДУ y y 3e2x cos x
Решение
…
Ответ: общее решение y x C e x C |
|
3 |
|
3 |
|
||
e x e2x |
|
cos x |
|
|
sin x . |
||
|
|
|
|||||
1 |
2 |
10 |
|
5 |
|
||
|
|
|
4