MathAn / !Лекция_II(4)-№3(2014-15)_St

Математический анализ. Модуль-4

Лекция №3 Функциональные ряды. Степенные ряды

понятие функционального ряда (ф.р.);

область сходимости ф.р.;

равномерно сходящиеся и мажорируемые ряды;

свойства ф.р.;

степенные ряды (с.р.) и их свойства

1.Функциональный ряд. Основные понятия

Def 1.1. Функциональным рядом (ф.р.) называется ряд u1 x u2 x un x ,

члены которого являются функциями от x .

Def 1.2. Функциональным рядом с общим членом un называется числовой ряд

un x

n1

сэлементами, зависящими от параметра x .

!!! При фиксированном x x0 ф.р. становится числовым.

Def 2. Областью сходимости ф.р. называется множество X : x X R , для

которых ряд un x сходится.

n1

!!!Область сходимости ф.р. можно определить с помощью признаков сходимости ч.р.

Пример 1

Найти область сходимости ф.р. e x e 2x e nx

Решение

…

!!! Частичные суммы ф.р. Sn x u1 x u2 x un x образуют

последовательность функций.

1

Математический анализ. Модуль-4

!!! В области сходимости X ф.р. un x его сумма S S x есть функция от x :

n 1

lim Sn x S x . n

Для сходящегося ряда

S x Sn x rn x , где rn x un 1 x un 2 x - остаток ф.р.

lim r x	lim S x S		x S x lim S					x S x S x 0.
n n	n	n			n		n
!!! Остаток сходящегося ряда rn x 0						при n .
Def 3. Ф.р.	un x называется равномерно сходящимся в области D , если
	n 1
0 N N : n N x D					S x Sn x					,
где Sn x - частичные сумы ряды.

!!! Частный случай равномерно сходящихся рядов – мажорируемые ряды.

Def 4.1. Ч.р.	cn называется мажорирующим для ф.р.					un x в некоторой
	n 1					n 1
области D , если
	x D n N		un x		cn .	(*)
Def 4.2. Ф.р.	un x называется мажорируемым в некоторой области D , если

n 1

существует такой сходящийся положительный ч.р. cn , что

n 1

x D u1 x c1, u2 x c2 , , un x cn ,

!!! Ряд мажорируемый в некоторой области абсолютно сходится в этой области.

2

Математический анализ. Модуль-4

Пример 2

Выяснить, является ли ф.р.	sin nx		sin x		sin	2x		sin nx	мажорируемым.
n 1 2n		2		2		2		2n

Решение

…

Теорема 0 (критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для того чтобы ф.р. un x равномерно сходился на множестве D,

n 1

необходимо и достаточно, чтобы

0 N : n N p N x D

un 1 x un 2 x un p x

~

Теорема 1 (признак Вейерштрасса)

Если ф.р. un x мажорируем на множестве D, то он сходится равномерно

n1

иабсолютно на D.

Доказательство

Пусть cn	мажорирует ф.р. un x на D.
n 1	n 1

Так как по условию cn сходится, то

n 1

0 N : n N p N x D

cn 1 cn 2 cn p

или cn 1 cn 2 cn p (в силу (*)).

Тогда

3

Математический анализ. Модуль-4

un 1 x un 2 x un p x

un 1 x un p x

cn 1 cn 2 cn p x D .

Получили, что

0 N : n N p N x D

un 1 x un 2 x un p x ,

а значит, по критерию Коши, ф.р. равномерно сходится un x на D. #

n 1

2. Свойства равномерно сходящихся рядов

Непрерывность суммы ряда

Пусть все члены ф.р. un x непрерывные на a, b функции.

n1

!Сумма конечного числа непрерывных функций – непрерывная функция.

Пример 3

Проверить на сходимость ф.р. 1 x 1 x2 x x3 x2 xn xn 1

Решение

Теорема 2

Если функции un x определены и непрерывны на a, b и ряд un x

n 1

равномерно сходится на a, b к сумме S x , то S x также непрерывна на

a, b .

Теорема 3

Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемых на a, b , есть функция, непрерывная на a, b .

4

Математический анализ. Модуль-4

Почленное интегрирование и дифференцирование рядов

Можно доказать, что

равномерно сходящийся на a, b ряд, состоящий из непрерывных на a, b

функций un x можно почленно интегрировать и

	b	b	b	b
	S x dx u1		x dx u2	x dx un x dx
	a	a	a	a
	если ряд, составленный из функций un x , имеющих непрерывные на a, b

производные сходится на a, b к сумме S x , и ряд u x (из производных)

n

n 1

равномерно сходится на a, b , то S x имеет на a, b производную

S x u1 x u2 x un x

3. Степенные ряды

Def 5. Степенным рядом (с.р.) называется ф.р. со слагаемыми вида

	u	n	x a	n	x x	0	n	, т.е.	(1)
an x x0	n a0 a1 x x0 a2 x x0							2 an x x0	n

n 0

где an - некоторая числовая последовательность коэффициентов с.р., x0 - некоторое заданное число.

!!! x0 0	an xn a1x a2 x2 an xn		(2)
	n	0

Теорема Абеля (о сходимости с.р.)

1.	Если с.р.	an xn									сходится при некотором x x1, то он абсолютно
		n 0
сходится x :				x				x1		.
2.	Если с.р.	an xn									расходится при некотором x x2 , то он расходится

n 0

x : x x2 .

5

Математический анализ. Модуль-4

Доказательство

		lim an xn 0 .
1.	Пусть ряд an xn сходится, тогда
	n 0	n

Последовательность an x1n , имеющая предел, ограничена

M 0 : an x1n M n.

Рассмотрим ряд

x

x

2

x

n

an xn

a0

a1x1

a2 x12

an x1n

x1

x1

x1

n 0

x

Пусть

x

x

q

1

1

x1

x

n

x

x

2

x

n

ряд M

M M

M

M

сходится

x1

x1

x1

x1

n 0

(почему?).

xn

x

n M

x

n

по 1-му признаку сравнения ряд (2)

А так как

a

n

1

x1

x1

сходится (абсолютно сходится).

2.

По условию, ряд an xn

расходится в т. x2 .

n 0

Покажем, что

an xn

расходится при

x

x2

.

n 0

Предположим, что x1 :

x1

x2

, при котором ряд сходится. Но по

доказанному выше ряд должен тогда сходится в т. x2 . Получили

противоречие. #

!!! Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и

расходимости с.р.

If с.р. сходится при x x1 0 он сходится абсолютно в интервале x1 , x1 . If с.р. расходится при x x2 он расходится всюду вне интервала x2 , x2 .

6

Математический анализ. Модуль-4

Отсюда следует, что существует такое число R , что с.р. an xn абсолютно

n 0

сходится в интервале R, R и расходится вне отрезка R, R .

Def 3. Число R называется радиусом сходимости, а интервал R, R интервалом сходимости с.р.

!!! На концах интервала сходимости: x R, x R ряд может как сходится, так и расходится.

Способ нахождения радиуса сходимости степенного ряда

С помощью признак Даламбера.

Для каждого фиксированного x :

lim

an 1xn 1

lim

x

an 1

.

xn

an

an 1

n

a

n

n

Пусть

lim

L ряд

an xn

an

n

n 0

1

сходится, если

x

L 1 или

x

L

расходится, если

x

1

.

1

R lim

an

L

Т.о.,

- радиус сходимости.

L

an 1

n

R 0 - одна точка сходимости, R - вся числовая ось.

Пример 4

xn

Найти область сходимости с.р. .

n 1 n

Решение …

Пример 5

xn

Найти область сходимости с.р. .

n 1 n !

Решение …

7