83

Модуль 5. Развитие регрессионной модели

5.1. Мультиколлинеарность

Мультиколлинеарность - это коррелированность двух или нескольких объясняющих переменных в уравнении регрессии.Проблема мультиколлинеарности возникает только для случая множественной регрессии, поскольку в парной регрессии лишь одна объясняющая переменная. Оценка коэффициента регрессии может оказаться незначимой не только из-за несущественности данного фактора, но и из-за того, что трудно разграничить воздействие на зависимую переменную двух или нескольких факторов. Это бывает в том случае, когда какие-то факторы линейно связаны между собой (коррелированы) и меняются синхронно. Связь зависимой переменной с изменениями каждого из них можно определить, только если в число объясняющих переменных включается лишь один из этих факторов.

Природа мультиколлинеарности нагляднее всего может быть продемонстрирована на примере совершенной мультиколлинеарности, то есть строгой линейной связи между объясняющими переменными. Например, если в уравнении

Y=₀+₁x₁+₂x₂+

объясняющие переменные x₁иx₂связаны линейным соотношениемx₂=x₁, то исходное уравнение сводится к уравнению простой линейной регрессии

Y=₀+₁x₁+₂x₁+ = ₀+₁^/x₁+

в котором могут быть получены оценки коэффициентов ₀и₁^/ = ₁+₂. Последнее уравнение представляет собой одно уравнении с двумя неизвестными₁ и₂, которые найдены по отдельности естественно быть не могут. Таким образом, совершенная мультиколлинеарность не позволяет определить коэффициенты регрессии (в данном примере₁ и₂) и разделить вклады переменныхx₁иx₂в объяснение поведения переменнойу.

Несовершенная мультиколлинеарность, то есть стохастическая связь переменных x₁иx₂, характеризуется величиной коэффициента корреляцииr_x1x2между ними. Чем ближе по абсолютной величин значение коэффициента корреляции к единице, тем ближе мультиколлинеарность к совершенной и тем труднее разделить влияние объясняющих переменныхx₁иx₂, на поведение переменнойуи тем менее надежными будут оценки коэффициентов регрессии при этих переменных.

В общем случае, если при оценке уравнения регрессии несколько факторов оказались незначимыми, то нужно выяснить, нет ли среди них сильно коррелированных между собой. Для этого используются различные методы.

1. Самое простое - проанализировать корреляционную матрицу(ее расчет предусмотрен стандартными статистическими программными пакетами), проверить статистическую значимость коэффициентов парной корреляции. При наличии корреляции один из пары связанных между собой факторов исключается, либо в качестве объясняющего фактора берется какая-то их функция. Если же незначимым оказался только один фактор, то можно его исключить или заменить другим (хотя, возможно, на каком-то более коротком промежутке времени данный фактор оказался бы значимым).

2. Корреляционная матрица позволяет лишь в первом приближении судить о наличии или отсутствии мультиколлинеарности. Более детальное изучение достигается с помощью расчета множественных коэффициентов корреляциикаждой из объясняющих переменных по всем остальным переменным.

3) Существование тесных линейных связей между объясняющими переменными приводит к тому, что определитель матрицы объясняющих переменных (см. п. 4.1.1)det X^TX  0, так как в случае мультиколлинеарности столбцы матрицы Х линейно зависимы между собой.

4) О присутствии мультиколлинеарности сигнализируют также следующие признаки построенной модели:

• некоторые из оценок параметров a_iимеют неправильные с точки зрения экономической теории знаки или неоправданно большие по абсолютной величине их значения;

• добавление или изъятие небольшой порции наблюдений приводит к существенному изменению оценок параметров модели вплоть до изменения их знаков;

• оценки параметров оказываются незначимыми, тогда как модель в целом статистически значима.