Учебные материалы по разделам курса физики

1 Механика

Основные формулы и определения

● Согласно второму закону Ньютона, произведение массы тела на его ускорение равно результирующей силе, действующей на тело: = m· .

В другой форме второй закон Ньютона имеет вид: = d/dt, где - импульс тела, d/dt – производная от импульса по времени.

Для движения вдоль оси x второй закон Ньютона имеет вид: F_x =dp_x /dt , где F_x -проекция силы на ось , dp_x /dt – производная от компоненты импульса по времени.

● Полное ускорение равно векторной сумме нормального и тангенциального ускорения: = _n + _τ .

Нормальное ускорение a _n характеризует изменение скорости по направлению, направлено перпендикулярно скорости и равно:

a _{n =} v ²/R, где v – скорость точки, R – радиус кривизны траектории .

Тангенциальное ускорение а _τ характеризует изменение скорости по величине (или по модулю), направлено параллельно скорости и равно производной от скорости по времени: а _τ=dv/dt .

● Импульсом тела называется произведение массы тела на его скорость: = m. Импульсом системы тел называется сумма импульсов всех тел, входящих в систему. Импульс замкнутой системы тел сохраняется.

● Кинетическая энергия поступательного движения тела равна W_k= mv ²/2.

Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h, равна W_p = m g h ,

где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, причём, высота h много меньше радиуса Земли R_Земли .

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины равна: W _p= k x²/2, где k – коэффициент упругости, x – деформация (изменение длины пружины).

● Полная механическая энергия тела равна сумме кинетической и потенциальной энергий: W _ПОЛН. =W_k + W_p .

Закон сохранения энергии формулируется так: полная механическая энергия замкнутой системы, между телами которой действуют только консервативные силы (например, сила тяжести, сила упругости), сохраняется.

● Если потенциальная энергия зависит только от одной координаты, то проекция силы на ось х равна производной от потенциальной энергии по этой координате, взятой с обратным знаком: F_x = - .

● Угловой скоростью называется производная от угла поворота по времени: ω = dφ /dt.

Угловым ускорением называется производная от угловой скорости по времени: ε = dω /dt.

● Моментом инерции материальной точки называется произведение массы материальной точки на квадрат её расстояния до оси вращения: I = m r ².

● Моментом инерции твёрдого тела называется сумма произведений масс материальных точек на квадраты их расстояний до оси вращения: I = _i ². Момент инерции тела относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела, равен:

1) для обруча (полого цилиндра) I₀ = m R ²,

2) сплошного цилиндра (диска) I₀ = m R ² / 2,

3) шара I₀ =(2/5)·m R ² ,

4) стержня, I₀ = (1/12) ml², где l – длина стержня.

Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями: I = I₀ + m·d².

● Момент силы равен векторному произведению радиуса – вектора на силу: = [· ], где – радиус – вектор, проведенный от оси вращения в точку приложения силы. Модуль момента силы равен:

M = F·r·sin(α), где α – угол между силой и радиусом – вектором .

● Момент импульса материальной точки равен векторному произведению радиуса – вектора на импульс: = [· ], где – радиус – вектор, проведенный от оси вращения в точку приложения импульса. Модуль момента импульса материальной точки равен L = m∙v∙r·sin α, где α – угол между вектором импульса m и радиусом – вектором .

Модуль момента импульса твердого тела численно равен произведению момента инерции тела на его угловую скорость: L= I·ω.

● Согласно основному закону динамики вращательного движения, результирующий момент сил, действующих на тело, равен производной от момента импульса по времени: M = dL / dt. В другой форме: M = I∙ε (при I=const).

Тест 1 - 1

Если аи а_n-тангенциальное и нормальное ускорение, то соотношения а_>0 и а _n= 0 справедливы для:

Варианты ответов:

1) равномерного и прямолинейного движения;

2) ускоренного и прямолинейного движения;

3) равномерного и криволинейного движения;

4) ускоренного и криволинейного движения;

5) замедленного и криволинейного;

6) равномерного движения по окружности.

Решение.

Нормальное ускорение а_п характеризует изменение скорости по направлению. Следовательно, если а_n = 0, то скорость по направлению не изменяется, и движение будет прямолинейным. Тангенциальное ускорение а характеризует изменение скорости по модулю (или величине). Поэтому, если а_>0, то скорость по модулю возрастает, и движение будет ускоренным.

Ответ: вариант 2.

Тест 1 - 2

Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой. При этом величина полного ускорения...

Варианты ответов:

1) увеличивается ;

2) не изменяется;

3) уменьшается.

Решение.

Полное ускорение равно векторной сумме нормального и тангенциального ускорения: = _п + _τ . Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и равно a _n = v ²/R, где v – скорость точки, R – радиус кривизны траектории. Так как по условию задачи v = const, а R при движении, показанном на рисунке (т. е. по часовой стрелке) уменьшается, то a _n увеличивается. Другая составляющая ускорения - тангенциальное ускорение а_τ характеризует изменение скорости по величине (или по модулю) и равно производной от скорости по времени: а _τ = dv/dt. Так как скорость v = const, то её производная равна нулю и а _τ =0. Тогда а =a _n , т.е. полное ускорение по модулю равно нормальному ускорению. Следовательно, полное ускорение увеличивается.

Ответ: вариант 1.

Тест 1 – 3

Точка движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Если проекция тангенциального ускорения на направление скорости положительна, то величина нормального ускорения…

Варианты ответов:1) уменьшается; 2) не изменяется; 3) увеличивается.

Решение.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и равно a _n = v ²/R, где v – скорость точки, R – радиус кривизны траектории. Так как по условию задачи точка движется по окружности, то R = const. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине (или по модулю) и равно а _τ = dv/dt . По условию а _τ= const и проекция тангенциального ускорения на направление скорости положительна. Следовательно, движение по окружности будет равноускоренным. Поскольку при равноускоренном движении скорость по модулю увеличивается, то величина нормального ускорения a _n по модулю также увеличивается.

Ответ: вариант 3.

Тест 1 – 4

Материальная точка М движется по окружности со скоростью _. На рис. 1 показан график зависимости v_τ от времени ( -единичный вектор положительного направления, v_τ - проекция на это направление). На рис.2 укажите направление вектора полного ускорения.

Варианты ответов:

1) Направление 1; 2) Направление 2; 3) Направление 3; 4) Направление 4.

Решение.

Полное ускорение тела складывается из векторной суммы тангенциального ускорения _τ , характеризующего изменение скорости по модулю (или величине), и нормального ускорения _n , характеризующего изменение скорости по направлению. Рассмотрим, как направлены вектора _τ и _n . При равнопеременном движении вектор тангенциального ускорения совпадает по направлению с вектором скорости, если движение равноускоренное, и противоположен ей, если движение равнозамедленное. Вектор нормального ускорения перпендикулярен вектору скорости.

Из рис. 1 следует, что модуль вектора скорости линейно убывает со временем. Следовательно, движение будет равнозамедленным, и вектор тангенциального ускорения будет противоположен по направлению вектору скорости v_τ. Так как скорость направлена по касательной к траектории (направление 1 на рис. 2), то направление тангенциального ускорения _τ при равнозамедленном движении будет противоположно направлению 1.

При движении тела по окружности скорость изменяется по направлению, и нормальное ускорение _n будет направлено к центру окружности (направление 3 на рис.2). Результирующее ускорение, равное векторной сумме = _τ + _n , будет иметь направление 4.

Ответ: вариант 4.

Тест 1 – 5

Материальная точка М движется по окружности со скоростью . На рис. 1 показан график зависимости v_τ от времени ( - единичный вектор положительного направления, v_τ - проекция на это направление). На рис.2 укажите направление силы, действующей на точку М в момент времени t₁.

Варианты ответов:

1) Направление 1; 2) Направление 2; 3) Направление 3; 4) Направление 4.

Решение

Согласно второму закону Ньютона, ускорение пропорционально результирующей силе, действующей на тело. Полное ускорение тела складывается из векторной суммы тангенциального ускорения _τ, которое характеризует изменение скорости по модулю, и нормального ускорения _n , характеризующего изменение скорости по направлению. Из рис.1 следует, что для момента времени t ₁ скорость по модулю линейно возрастает. Следовательно, движение будет равноускоренным, и вектор тангенциального ускорения _τ будет совпадать по направлению с вектором скорости _τ (направление 1 на рис. 2) .

При движении тела по окружности скорость изменяется по направлению, и нормальное ускорение _n будет направлено к центру окружности (направление 3 на рис.2). Результирующее ускорение равно векторной сумме = _τ+ _n и будет иметь направление 2. Следовательно, результирующая сила также будет иметь направление 2. Ответ: вариант 2.

Тест 1 – 6

Материальная точка М движется по окружности со скоростью . На

рис. 1 показан график зависимости проекции скорости v_τ от времени, где - единичный вектор положительного направления v_τ - проекция _.на это направление. При этом для нормального а_n и тангенциального а_τ ускорения выполняются условия...

Варианты ответов:

1) а_n>0; а_τ= 0; 2) a_n = 0; a_τ= 0;

3) а_n>0; а_τ<0. 4) а_п>0; а_τ>0.

Решение

Нормальное ускорение а_n характеризует изменение скорости по направлению. Если точка движется по окружности, то её скорость изменяется по направлению, следовательно, а_n> 0. Тангенциальное ускорение а_τ характеризует изменение скорости по модулю (или величине). Из рис. 1 следует, что скорость по модулю не изменяется, т.е. тангенциальное ускорение а_τ=0. Следовательно, а_n>0, а_τ = 0. Ответ: вариант 1.

Тест 1 - 7

Тело массой 2 кг поднято над Землёй. Его потенциальная энергия равна 400 Дж. Если на поверхности Земли его потенциальная энергия равна нулю и силами сопротивления воздуха можно пренебречь, скорость, с которой оно упадёт на Землю составит…

Варианты ответов:

1) 14 м/с; 2) 20 м/с; 3) 10 м/с; 4) 40 м/с.

Решение

Поскольку силами сопротивления воздуха можно пренебречь, то нужно применить закон сохранения энергии, согласно которому, потенциальная энергия тела, поднятого над Землёй, равна его кинетической энергии в конце падения: W _p= W_k. Кинетическая энергия тела равна W_k = mv ²/2. Отсюда v = . После численной подстановки получим: v = 20 м/с.

Ответ: вариант 2.

Тест 1 – 8

Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике U=U(x).

Скорость шайбы в точке С … Варианты ответов:

1) в  раз больше, чем в точке В;

2) в 4 раза больше, чем в точке В;

3) в раза больше, чем в точке В;

4) в 2 раза больше, чем в точке В.

Решение.

Поскольку силами сопротивления воздуха и силами трения шайбы о лед можно пренебречь, то нужно применить закон сохранения энергии, и полную механическую энергию замкнутой системы считать постоянной. Так как полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной, то W = W_к + W_P = const. Потенциальную энергию можно найти из графика, приведённого на рисунке, а кинетическую найти как разность между полной энергией и потенциальной: W_к = W - W_P . Следовательно, в точке А энергия равна:

W= W_P =100 Дж, W_к = 0. В точке В W_P =70 Дж, W_{к В}= 100 -70 = 30 Дж.

В точке С W_P =40 Дж, W_кс = 100 -40 = 60 Дж.

Чтобы сравнить скорости в точках С и В, нужно найти отношение их кинетических энергий. Учитывая, что кинетическая энергия равна W _k= m v ²/2, получим:

= = = . Таким образом, скорость шайбы в точке С в  раз больше, чем в точке В. Ответ: вариант 1.

Тест 1 – 9

В потенциальном поле сила пропорциональна градиенту потенциальной энергии W_P. Если график зависимости потенциальной энергии W_P от координаты х имеет вид, представленный на рисунке, то зависимость проекции силы F_х на ось Оx будет…

Варианты ответов: