Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Толстых-Уравнматем-физики

.pdf
Скачиваний:
146
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
5.07 Mб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

О.Д. Толстых В.Е. Гозбенко

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Учебное пособие для студентов технических специальностей

Иркутск 2008

УДК 517.944: 517.53 ББК 22.311: 22.161

Т54

Толстых О.Д., Гозбенко В.Е.

Т54 Уравнения математической физики. Учебное пособие для студентов технических специальностей / О.Д. Толстых, В.Е. Гозбенко. – Иркутск; ИрГУПС, 2008. – 119 с.

В предлагаемом пособии, посвященном уравнениям математической физики, рассмотрены основные типы уравнений в частных производных второго порядка, а также задачи и методы их решения.

Пособие содержит основной теоретический материал по указанному разделу математики, большое количество иллюстраций, примеров, а также задачи для самостоятельного решения. Пособие может послужить руководством к практическим занятиям.

Пособие предназначено для студентов технических специальностей. Оно может быть полезно сотрудникам и аспирантам, интересующимся прикладными аспектами математики. Пособие может быть использовано студентами в научно-исследовательских работах.

Ил. 26. Библиогр.: 25 назв.

Рецензенты: кандидат технических наук, доцент ИрГУПС

Е.М. Лыткина;

доктор технических наук, профессор ИрГУПС

В.А. Подвербный

О.Д.Толстых, 2008

В.Е. Гозбенко, 2008

Иркутский государственный университет путей сообщения, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..…………………...………….…..…5

1.Основные типы уравнений математической физики

и их корректность……………………………………………………………………………………….……..6

Задачи для самостоятельного решения……………………………………………………………10 2. Линейные дифференциальные уравнения в частных

производных и их основные свойства……………………………………………….………...12 Задачи для самостоятельного решения……………………………………………………………15

3.Метод Эйлера решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных……………………………………………………………....16

Задачи для самостоятельного решения……………………………………………………………23

4.Задача о колебании струны. Метод Фурье решения волнового

уравнения……………………………………………………………………………………………..…….........24

4.1.Основная задача о колебании струны. Волновое уравнение с нулевыми граничными условиями…………………………………………………..…24

4.2.Интерпретация метода Фурье. Основной тон колебаний……………….....31

4.3.Решение волнового уравнения при ненулевых граничных

условиях………………………………………………………………………………………….................34

4.4.Решение волнового уравнения с одним граничным условием………....36 Задачи для самостоятельного решения……………………………………………………………39

5.Уравнение электрических колебаний в проводах……………………………………...42

6.Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера……………………………...44

6.1.Формула Даламбера………………………………………………………………………………...44

6.2.Физическая интерпретация решения…………………………………………….............47

Задачи для самостоятельного решения…………………………………………………………....51

7.Линейные вибрационные системы с распределенными

параметрами………………………………………………………………………………………………….….52

8.Задача о распространении тепла в стержне и ее решение методом Фурье. Интеграл Пуассона………………………………………………………….....57

8.1.Решение уравнения теплопроводности методом Фурье……………........…57

8.2.Интеграл Пуассона…………………………………………………………………….……….……64

Задачи для самостоятельного решения…………………………………………………………....68

9.Уравнение Лапласа и задачи, к нему приводящие…………………………………….70

9.1.Потенциал стационарного электрического поля………………………...............70

3

9.2.Стационарное распределение температуры……………………………………..…71

9.3.Краевые задачи для уравнения Лапласа и их корректность.

Свойства гармонических функций……………………………………………..……........71

9.4.Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах……………………........72

10.Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями гармонической функции на границе……………………………….........73

11.Метод Фурье решения уравнения Лапласа в круговом кольце……………..76

11.1.Метод Фурье решения задачи Дирихле для круга.

Интеграл Пуассона…………………………………………………………………………….......76

11.2.Метод Фурье решения задачи Дирихле для кольца………………………....79 Задачи для самостоятельного решения……………………………………………………………85

12.Задача Дирихле для полуплоскости, полосы

и прямоугольника…………………………………………………………………………….………....…86

12.1.Задача Дирихле для полуплоскости. Интеграл Пуассона………………..86

12.2.Задача Дирихле для полосы………………………………………………………………....89

12.3.Задача Дирихле в прямоугольнике…………………………………………………...…92 Задачи для самостоятельного решения……………………………………………………………97

13.Решение плоской задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом конечных разностей (сеток)……………………………………….………………..98

13.1.Конечно-разностная форма оператора Лапласа.

Первая и вторая основные схемы………………………………………………………..98

13.2.Суть метода сеток. Точность метода………………………………………….……..102

14.Решение краевой задачи для уравнения теплопроводности

методом сеток………………………………………………………………………………….…………...109

Задачи для самостоятельного решения……………………………………………………….…114

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………………………………........116

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………………………………………………....117

4

ВВЕДЕНИЕ

Изучение различных процессов физико-технического характера предполагает не только глубокое понимание их физической сути, но и умелое применение математического аппарата к исследованию математических моделей реальных физических процессов. Математическая модель отражает существенные стороны явления и представляет собой совокупность каких-либо условий. Например, уравнения, описывающие физические процессы, составляются на основе законов сохранения массы, энергии и т.п. Частью предмета математической физики являются уравнения математической физики, описывающие математические модели физических явлений.

Впредлагаемом пособии рассматриваются основные классы задач, приводящие к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка, аналитические методы решения краевых задач, а также сеточный метод.

Многие явления физики и механики (гидро- и газодинамики, упругости, электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой физики, теории гравитации и т.д.) описываются краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных. Эти задачи составляют весьма широкий класс уравнений математической физики. Действительно, для полного описания эволюции физического процесса, помимо уравнений, необходимо задать картину процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия) и режима на границе той среды, где протекает процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия вместе с соответствующими дифференциальными уравнениями образуют краевую задачу.

Нахождение корректных постановок краевых задач математической физики и методов построения их решения (точных или приближенных) – одна из главных задач математической физики.

Всамых различных областях естествознания и техники (например, в теории упругости, радиотехнике, астрономии и т.д.) приходится иметь дело с периодическими процессами. Поэтому при решении задач математической физики широко используется метод Фурье, основанный на представлении функции тригонометрическим рядом. Следует отметить, что ряд Фурье позволяет успешно аппроксимировать любую (не обязательно периодическую) функцию, тем самым, сглаживая различия между периодическими и непериодическими процессами.

Многообразие задач уравнений математической физики не исчерпывается только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка. Краевые задачи, описывающие реальные физические процессы, могут быть весьма сложными. Это могут быть уравнения и системы уравнений высших порядков, нелинейные уравнения, например, уравнения Шрёдингера, Максвелла, Дирака, Эйнштейна, Янга Миллса, уравнения гидродинамики,теории упругости и др.

Впособии используется следующее обозначение: решения примеров

изадач начинаются и оканчиваются символом .

5

1.Основные типы уравнений математической физики

иих корректность

Многие практические вопросы естествознания приводят к, так называемым, уравнениям математической физики (дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные, алгебраические уравнения). Центральное место в математической физике занимают уравнения в частных производных, чаще всего – нелинейные. Порядок дифференциального уравнения в частных производных определяется порядком старшей производной, входящей в уравнение.

В работе рассматриваются основные классы линейных уравнений в частных производных второго порядка вида

n

2u

 

n

u

 

 

 

aij(x)

 

 

bi(x)

 

c(x)u F(x),

x xi in 1.

(1.0)

x x

 

x

i,j 1

i

j i 1

i

 

 

 

Несмотря на различную природу приводящих к ним процессов, такие уравнения можно разделить на три класса: эллиптического, параболического и гиперболического типа.

Пусть в рассматриваемых уравнениях t обозначает время, а переменные x, y, z – координаты точки М исследуемого объекта: М(x, y, z) (на плоскости – М(x, y), на прямой – М(x)), дифференцируемая функция u = u(t, M), зависящая от времени t и координат точки М, описывает протекающий процесс.

К уравнениям гиперболического типа (волновым) приводят процессы электрических колебаний в контактных проводах, крутильных колебаний валов, поперечных и продольных колебаний струн, стержней, мембран, электромагнитных колебаний, задачи гидро- и аэродинамики, акустики, диффузии газов и т.д. Простейшее уравнение гиперболического типа –

волновое уравнение (уравнение колебаний струны)

 

2u

a

2

 

2u

.

(1.1)

t2

 

x2

 

 

 

 

Более общий вид волнового уравнения:

 

2u

a

2

u,

(1.1')

t2

 

 

 

 

 

где оператор Лапласа:

6

u

2u

 

 

2u

, u

2u

 

2u

 

2u

x

2

y2

x2

y

2

x

2

 

 

 

 

 

для пластины или тела, соответственно.

К уравнениям параболического типа приводят процессы распространения тепла, газо- и гидродинамики, процессы фильтрации газа и жидкости в пористой среде (например, нефти и газа в песчаниках), процессы, связанные с трением, некоторые задачи теории вероятностей и т.д. Простейшее уравнение параболического типа – уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

u

a

2 2u

или

u

a

2

u

(1.2)

t

 

x

2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

в более общем виде.

Уравнения эллиптического типа описывают стационарные

(установившиеся) процессы колебаний, распространения тепла (уравнения Лапласа, Пуассона), диффузии, рассеяния и дифракции (уравнения Гельмгольца), гидродинамики, обтекания тел и т.д. Простейшее уравнение эллиптического типа – уравнение Лапласа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

 

2u

 

2u

 

 

2u

 

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 0

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

.

 

(1.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

x

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введенную терминологию можно объяснить некоторой, чисто

внешней,

аналогией

 

с

уравнениями

линий

второго

порядка: волновое

уравнение

 

 

2u

 

a

2

 

2u

 

0

ассоциируется

 

с

 

уравнением

гиперболы

 

 

t2

 

 

 

x2

 

 

 

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1;

уравнение

 

 

теплопроводности

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

с

уравнением

 

 

b2

 

 

t

 

 

 

x2

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

параболы

 

y ax2;

 

уравнение Лапласа

 

 

2u

 

 

2u

 

0 –

с

уравнением

 

 

 

 

x2

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

эллипса

 

x

2

 

y2

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В п. 2 будет объяснена приведенная классификация с точки зрения «дискриминанта» дифференциального уравнения.

7

Под решением дифференциального уравнения в частных производных понимается такая функция нескольких переменных, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Задача 1.1. Убедиться, что решением уравнения (1.1) является функция u(t, x) eat x .

Решение. В самом деле, частные производные этой функции

u

aeat x ,

2u

a2eat x ,

u

eat x ,

2u

eat x .

 

t2

 

x2

t

 

x

 

Напомним, что при нахождении частной производной по какой-либо переменной, на все остальные переменные смотрим как на величины постоянные.

Таким образом,

2u a2 2u a2eat x a2eat x 0,

t2 x2

то есть функция u eat x обращает уравнение (1.1) в тождество.

Упражнение 1.1. Предлагаем читателям убедиться, что функции

u at bx, u sinatcosx, u cosatcosx, u cosatsin x,

u tg(at x),

u sin(at x), u cos(at x)

 

также являются решениями волнового уравнения (1.1).

 

Задача 1.2. Используя правило дифференцирования сложной функции, доказать, что любая функция u f (at x), где f – дважды непрерывно-дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнению (1.1).

Доказательство. В самом деле, пусть u f (v),

 

v at x.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

f

 

v

 

f

a,

 

u

 

 

f

 

v

 

f

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

x

v

x

v

 

t

v

t

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

a

 

 

f

a

2 f

 

 

v

a

2

 

2 f

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

v2

 

t

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

t

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

2u

 

 

u

 

 

f

 

2 f

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

v2

 

x

x

 

x

v

 

 

Стало быть,

2u

a2

2u

a2

2

f

a2

2

f

0,

t2

x2

v2

v2

 

 

 

 

что и требовалось доказать.

Замечание. Далее термин «любая» или «произвольная» функция,

удовлетворяющая дифференциальному уравнению в частных производных, подразумевает существование частных производных порядка не меньшего, чем порядок уравнения.

Задача 1.3. Найти общее решение u = u(x, y) уравнений:

а) u 0, б) u f (y), в) u f (x,y).

x

x

x

Решение.

а) Вспомним, что производная постоянной функции равна нулю, то

есть решение уравнения u 0 не зависит от переменной x, но может

x

зависеть от переменной y, так как при дифференцировании функции по x на переменную y смотрим, как на константу. Таким образом, общее

решение уравнения

u

0

имеет вид u g(y), где

g – произвольная

 

 

x

 

 

 

 

функция.

 

u

 

 

б) Для нахождения решения уравнения

f (y)

интегрируем его по

 

 

 

 

 

x

 

x и, с учетом п. а), получаем общее решение уравнения

 

u f (y)dx g(y) f (y)x g(y)

(f(y), как величину постоянную относительно х, вынесли за знак интеграла по x).

в) Интегрируя уравнение u f (x,y) по x, получаем общее решение:

x

u f (x,y)dx g(y).

9

Дифференциальные уравнения в частных производных имеют бесчисленное множество решений. Чтобы найти среди них определенное, нужно поставить краевую задачу, то есть наложить на искомую функцию

u = u(t, M) краевые условия:

так называемые, начальные

u u(t,M)

 

t 0 u(0,M) и граничные

u u(t,M )

 

M Г условия, которые

 

 

определяют вид функции u = u(t, M) в начальный момент времени t = 0 и на границе Г рассматриваемой области.

При решении уравнений математической физики широко применяется метод Фурье разделения переменных (решение представляется в виде ряда или интеграла Фурье), метод Даламбера, различные численные методы.

Большинство уравнений математической физики носит идеализированный характер, отражает лишь наиболее существенные стороны процесса. Функции, входящие в краевые условия, в физических задачах определяются, как правило, из экспериментальных данных и могут считаться известными лишь приближенно. Поэтому надо быть уверенным, что решение, полученное при этих приближенных данных, будет соответствовать действительности.

Таким образом, весьма важно, чтобы малые изменения данных задачи вызывали лишь малые изменения в ее решении для всей области, где рассматриваются решения, то есть, чтобы решение было устойчиво относительно краевых условий.

Если задача имеет единственное решение, устойчивое относительно исходных данных, то есть непрерывно зависящее от коэффициентов уравнения, начальных и граничных условий, то говорят, что она поставлена корректно.

Все рассматриваемые в данной работе задачи являются корректными. Далее рассмотрим задачи, приводящие к простейшим уравнениям

каждого типа, и некоторые методы их решения.

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что общее решение волнового уравнения

2u

a2

2u

t2

x2

 

имеет вид

u f (at x) g(at x),

где f и g – произвольные функции.

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]