kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Понятие об уравнениях линий и поверхностей
.pdfТЕМА 10. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ. ПЛОСКОСТЬ.
1.Понятие об уравнениях линий и поверхностей
Аналитическая геометрия занимается изучением геометрических образов с помощью
уравнений и неравенств. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть на координатной плоскости Oxy |
дана линия l. Возьмем на ней любую точку |
||||||||||||||
M (x, y) и назовем ее текущей. При движении точки M |
по линии ее координаты x |
||||||||||||||
и y меняют свои значения, но не произвольным образом. Между |
x |
и |
y существует |
||||||||||||
зависимость, которую записывают в виде F (x, y) = 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
6 |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||
Рассмотрим также в пространстве |
|
|
Oxyz поверхность S |
и |
на |
ней возьмем |
|||||||||
|
произвольную точку M (x, y, z) (текущую). При перемещении точки M по поверхности ее координаты также меняются, но не произвольно: между x, y, z существует зависимость
F (x, y, z) = 0.
Определение 1. Уравнение F (x, y, z) = 0 |
(F (x, y) = |
0) называется уравнением |
поверхности (линии) в выбранной системе |
координат |
Oxyz (Oxy), если ему |
удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на ней, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на ней.
z
|
|
|
6 |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
r M (x, y, z) |
|
|
|
|
- |
|
|
|
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Аналитическая геометрия решает две основные задачи:
1.Составить уравнение поверхности (линии) по ее свойствам.
2.По заданному уравнению поверхности (линии) выяснить ее форму и расположение
всистеме координат.
Пример 1.
Составить уравнение сферической поверхности с центром в точке C(a, b, c) (окружности с центром в точке C(a, b) ) и радиуса R.
1
Решение. Пусть точка M (x, y, z) – любая точка на сфере ( M (x, y) на окружности), тогда |CM | = R :
p
|CM | = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2.
Составим уравнение
p
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R,
или
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2.
Это и есть уравнение сферической поверхности (сферы). Аналогично уравнение окружности запишется так:
(x − a)2 + (y − b)2 = R2.
Пример 2.
Какое множество точек задается уравнением x = 0 ?
Решение. В пространстве Oxyz это уравнение координатной плоскости Oyz, на плоскости Oxy это уравнение оси Oy.
Пусть F (x, y, z) = 0 и Φ(x, y, z) = 0 – две пересекающиеся по линии L поверхности. Очевидно, все точки M (x, y, z) линии L лежат на обеих поверхностях, и их координаты удовлетворяют уравнениям F (x, y, z) = 0 и Φ(x, y, z) = 0.
Уравнение линии L задается системой двух уравнений пересекающихся поверхностей:
L :
F (x, y, z) = 0, Φ(x, y, z) = 0.
2.Плоскость
2.1.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Нормальный вектор плоскости
Рассмотрим в пространстве R3 плоскость α. Ее положение вполне определяется заданием перпендикулярного этой плоскости вектора N = (A, B, C), и фиксированной точки M1(x1, y1, z1), лежащей в плоскости α. Любой вектор N , перпендикулярный плоскости α, называется нормальным вектором этой плоскости:
N = Ai + Bj + Ck.
2
z6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!! |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
!!!M2 |
A |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
! |
|
A |
|
|
|
|||
|
|
|
|
! |
|
* |
|
|
A |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
A |
||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
AA |
α |
!!!!! |
! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выведем уравнение этой плоскости. Возьмем |
произвольную (текущую) точку |
M (x, y, z) на плоскости α и рассмотрим вектор
M1M = (x − x1, y − y1, z − z1).
При любом положении точки M (x, y, z) вектор M1M N . Поэтому скалярное произведение (M1M , N ) = 0. Запишем скалярное произведение в координатной форме:
(M1M , N ) = A(x − x1) + B(y − y1) + C(z − z1).
Следовательно,
A(x − x1) + B(y − y1) + C(z − z1) = 0. |
(1) |
Координаты любой точки M (x, y, z) плоскости α удовлетворяют уравнению (1). Координаты точек, не лежащих на плоскости α, этому уравнению не удовлетворяют,
так как (M1M , N ) 6= 0.
Вывод: уравнение (1) – искомое уравнение плоскости α. Уравнение (1) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку. Оно первой степени относительно текущих координат x, y, z.
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
Составить уравнение |
плоскости, перпендикулярной вектору |
N = (2, −1, 4) и |
|
проходящей через точку |
M1(5, 2, −3) . Лежат ли на этой плоскости точки P (1, 2, −1), |
||
Q(4, 5, 1) и R(−6, 2, −3)? |
|
|
|
Решение. Подставляя в уравнение (1) значения A = 2, B = −1, |
C = 4, x1 = 5, |
||
y1 = 2, z1 = −3, получим |
|
|
|
|
2(x − 5) − (y − 2) + 4(z + 3) = 0. |
|
|
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, находим искомое уравнение плоскости:
2x − y + 4z + 4 = 0.
Выясним, лежат ли точки P , Q и R на данной плоскости. Подставляя последовательно координаты этих точек в левую часть последнего уравнения, получим
2 · 1 − 1 · 2 + 4 · (−1) + 4 = 0;
3
2 · 4 − 1 · 5 + 4 · 1 + 4 > 0;
2 · (−6) − 1 · 2 + 4 · (−3) + 4 < 0.
Следовательно, точка P лежит на данной плоскости. Точки Q и R плоскости не принадлежат. Они находятся по разные стороны от нее (в результате подстановки их координат в уравнение плоскости получены числа разных знаков).
Придавая коэффициентам A, B, C уравнения (1) различные значения, получим уравнение любой плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1). Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение
(1) называется также уравнением связки плоскостей, в котором A, B, C могут принимать различные значения.
2.2.Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x, y, z :
Ax + By + Cz + D = 0. |
(2) |
По крайней мере один из коэффициентов A, B или C не равен 0, так как иначе мы имели бы не уравнение, а тождество D ≡ 0. Положим C =6 0, тогда уравнение (2) перепишем в виде
A(x − 0) + B(y − 0) + C |
z + C |
= 0. |
(3) |
|
|
|
D |
|
|
Уравнение (3) равносильно уравнению (2). Сравнивая уравнение (3) с уравнением (1), видим, что оно, а следовательно, и равносильное ему уравнение (2) являются уравнением плоскости, имеющей нормальный вектор N = (A, B, C) и проходящей через точку
M1 0, 0, −DC .
Доказано, что всякое уравнение Ax + By + Cz + D = 0 первой степени относительно x, y, z представляет собой уравнение некоторой плоскости. Уравнение (2) называется
общим уравнением плоскости.
Замечание 1. Плоскость Ax + By + Cz + D = 0 разбивает пространство на два подпространства: Ax + By + Cz + D < 0 для точек одного из них и Ax + By + Cz + D > 0 для точек другого.
2.3.Исследование общего уравнения плоскости
а) Если C = 0, т. е. общее уравнение плоскости имеет вид
Ax + By + D = 0,
то проекция вектора N на ось Oz равна нулю и, следовательно, N Oz. Но N перпендикулярен к плоскости. Следовательно, плоскость α параллельна оси Oz.
Аналогично, уравнению Ax + Cz + D = 0 соответствует плоскость, параллельная оси Oy, уравнению By + Cz + D = 0 – плоскость, параллельная оси Ox.
б) Если D = 0, т. е. уравнение имеет вид
Ax + By + Cz = 0,
4
то заданная плоскость проходит через начало координат. в) Если A = B = 0, т. е. уравнение имеет вид
Cz + D = 0,
то плоскость параллельна оси Ox и оси Oy, а потому параллельна плоскости Oxy. Аналогично, плоскость параллельна плоскости Oxz, если ее уравнение By + D = 0,
и параллельна плоскости Oyz, если ее уравнение Ax + D = 0.
2.4.Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
M (x, y, z) – любая текущая точка плоскости. Векторы M1M = (x−x1 , y − |
||||||
y1, z − z1), |
|
|
|
|
|
||
|
M1M2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1), M1M3 = (x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1) будут |
компланарны тогда и только тогда, когда точка M принадлежит плоскости, проходящей через точки M1, M2, M3. Поэтому их смешанное произведение равно нулю:
(M1M × M1M2, M1M3) = 0.
PPPPPPPP
M1 r PPPP
M |
r |
|
|
|
r |
M2
XXXXX rM3
XXXXXXX
В координатной форме это уравнение запишется как
|
x2 |
− x1 |
y2 |
− y1 |
|
x |
x1 |
y |
y1 |
|
x3 − x1 |
y3 − y1 |
||
|
|
− |
|
− |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
z − z1 z2 − z1 z3 − z1
= 0. (4)
Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Пример 4.
Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1(1, 3, −2), M2(4, −5, 6), M3(−4, 1, 2).
Решение. Пусть M (x, y, z) – текущая точка плоскости. Тогда векторы M1M , M1M2, M1M3 лежат в одной плоскости, а значит, являются компланарными. Используя условие
компланарности векторов, имеем (M1M × M1M2, M1M3) = 0. Запишем векторы в координатной форме:
M1M = (x − 1, y − 3, z + 2), M1M2 = (3, −8, 8), M1M3 = (−5, −2, 4).
Тогда последнее равенство примет вид |
|
|
= 0. |
|
|
3 |
8 |
8 |
|
|
x − 1 |
y − 3 |
z + 2 |
|
|
5 |
−2 |
4 |
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
5
Разлагая определитель по элементам первой строки, получим
(x 1) |
|
−2 |
4 |
|
(y 3) |
|
5 |
4 |
+ (z + 2) |
|
|
5 |
−2 |
= 0, |
|||
− · |
|
8 |
8 |
|
− − · |
|
3 |
8 |
|
|
· |
|
3 |
|
8 |
|
|
− |
|
− |
|
|
− |
− |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 1) · (−32 + 16) − (y − 3) · (12 + 40) + (z + 2) · (−6 − 40) = 0,
−16(x − 1) − 52(y − 3) − 46(z + 2) = 0,
или
8(x − 1) + 26(y − 3) + 23(z + 2) = 0.
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим искомое уравнение плоскости
8x + 26y + 23z − 40 = 0.
2.5.Уравнение плоскости “в отрезках”
Пусть плоскость, соответствующая уравнению (2)
Ax + By + Cz + D = 0,
отсекает на координатных осях отрезки a, b, |
c. |
Точки Ao(a, 0, 0), Bo(0, b, 0), Co(0, 0, c) |
лежат на плоскости, следовательно, |
координаты этих точек удовлетворяют уравнению (2). Подставив в (2) координаты точек A, B, C, будем иметь систему
|
|
|
|
Aa + D = 0, |
||||
|
|
Bb + D = 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Cc + D = 0. |
||||||
|
z |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Co(0, 0, c) |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|||
|
|
|
S |
|
|
|
||
|
|
S |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
S |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
S |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
S |
|
|
|
||
|
|
|
y |
|||||
|
|
S |
||||||
|
|
|
|
- |
|
|
||
|
|
|
S |
|
|
|||
|
|
!! |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
!!! Bo(0, b, 0) |
||||||
|
!! |
|
|
|
|
|||
!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ao(a, 0, 0) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из системы найдем: |
|
D |
|
|
D |
|
|
D |
A = − |
|
, B = − |
, C = − |
|||||
|
|
|
|
|||||
a |
|
b |
c |
6
и, подставив их значения в (2), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
D |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
x − |
|
|
y − |
|
|
|
|
|
z + D = 0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
a |
b |
|
|
c |
|
||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
= 1. |
|
|
|
(5) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
|
||||||||||||||||||
Уравнение (5) называется уравнением плоскости „в отрезках“. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через точки M1(1, −2, 6), |
||||||||||||||||||||||||||||
M2(5, −4, −2) |
и отсекающей равные отрезки на осях x и y. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Уравнение плоскости ищем в виде (5) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
= 1. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
|
|
|||||||||||||||||
По условию a = b , поэтому уравнение можно записать так: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
= 1. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
c |
|
|
|||||||||||||||||
Подставляя координаты точек M1 |
|
и M2 в последнее уравнение, получим |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
+ |
−2 |
+ |
6 |
= 1, |
|
5 |
+ |
−4 |
+ |
−2 |
= 1, |
|||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
||||||||||||||
или |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= 1, |
|
+ |
= 1. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
Решая полученную систему уравнений, находим c = 2 , a = 12 . Следовательно, искомое уравнение имеет вид
x |
+ |
y |
+ |
z |
= 1 |
или 4x + 4y + z − 2 = 0. |
|
|
|
||||
1/2 |
1/2 |
2 |
2.6. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
Рассмотрим две плоскости α1 и α2, заданные соответственно уравнениями
(α1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и (α2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Под углом между двумя плоскостями понимают один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Угол ϕ между нормальными векторами N 1 = (A1, B1, C1) и N 2 = (A2, B2, C2) плоскостей α1 и α2 равен одному из указанных смежных двугранных углов:
cos ϕ = (N 1, N 2) ,
|N 1| · |N 2|
или, в координатной форме, |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ = |
|
A1A2 + B1B2 |
+ C1C2 |
. |
(6) |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
pA12 + B12 + C12pA22 + B22 + C22 |
||||||||
|
|
|
7
Две плоскости α1 и α2 :
а) параллельны друг другу тогда и только тогда, когда их нормальные векторы N 1 и N 2 коллинеарны.
Поэтому условие параллельности двух плоскостей запишется так:
|
|
|
|
A1 |
|
B1 |
|
C1 |
|
|
|
N 1||N 2 или |
= |
= |
; |
(7) |
|||||||
A2 |
B2 |
C2 |
б) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда их нормальные векторы
N 1 и N 2 перпендикулярны:
N 1 N 2.
Условие перпендикулярности двух плоскостей запишется так: |
|
(N 1, N 2) = 0 или A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. |
(8) |
Пример 6.
Найти угол между двумя плоскостями
11x − 8y − 7z + 5 = 0, 7x + 2y − 8z − 3 = 0.
Решение. Подставляя в формулу (6) значения A1 = 11 , B1 = −8 , C1 = −7 , A2 = 7 ,
B2 = 2 , C2 = −8 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos ϕ = |
11 |
· 7 + (−8) · 2 + (−7) · (−8) |
= |
117 |
|
= |
1 . |
||||||||
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
121 + 64 + 49 49 + 4 + 64 |
|
234 |
117 |
|
2 |
|
Следовательно, ϕ = 45o .
Замечание 2. Формула (6) определяет один из двух неравных между собой углов, сумма которых равна 180o . Если уравнение второй плоскости написать в виде −7x −2y +
8z + 3 = 0 , то по формуле (6) получим cos ϕ = − 1 , откуда ϕ = 135o .
√
2
Пример 7.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P (2, −1, −3) параллельно плоскости 5x − 4y + 6z − 3 = 0.
Решение. Так как вектор N = (5, −4, 6) перпендикулярен данной плоскости, он будет перпендикулярен и искомой плоскости, а значит, его можно использовать как вектор нормали для искомой плоскости. Применяя формулу (1), получаем
5(x − 2) − 4(y + 1) + 6(z + 3) = 0.
Раскрыв скобки и приведя подобные, находим искомое уравнение:
|
|
5x − 4y + 6z + 4 = 0. |
|
|
|
Замечание |
3. |
Уравнение |
плоскости, |
параллельной |
плоскости |
Ax + By + Cz + D = 0 , можно искать в виде Ax + By + Cz + D1 = 0 .
8
2.7.Нахождение расстояния от точки до плоскости
Дана точка M1(x1, y1, z1) и плоскость α : Ax + By + Cz + D = 0. Требуется найти расстояние от точки M1 до плоскости α.
`` |
|
z |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
r M1(x1, y1, z1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
`` |
|
N |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
``` |
```` |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
``` |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hhh |
|
|
|
K(x0, y0, z0) |
|||||
hhh |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hhhhhhh |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние d от точки M1 до плоскости |
измеряется длиной перпендикуляра, |
опущенного из точки на плоскость: d = |KM 1|.
Так как векторы KM 1 и N коллинеарны, их скалярное произведение
(N , KM 1) = |N | · |KM 1| · cos 0◦ или cos 180◦ = ±|N | · d. N = (A, B, C); KM 1 = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0).
Скалярное произведение в координатной форме запишется так:
(N , KM 1) = A(x1 − x0) + B(y1 − y0) + C(z1 − z0),
или
(N , KM 1) = A(x1 − x0) + B(y1 − y0) + C(z1 − z0) + D − D =
= (Ax1 + By1 + Cz1 + D) − (Ax0 + By0 + Cz0 + D).
Выражение Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, т. к. точка K(x0, y0, z0) лежит на плоскости α
и ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Имеем |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(N , KM 1) = Ax1 + By1 + Cz1 + D, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда |
|
±|N | · d = Ax1 + By1 + Cz1 + D. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d = |
|Ax1 + By1 + Cz1 + D| |
= |
|Ax1 + By1 + Cz1 + D| |
. |
(9) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|N | |
√A2 + B2 + C2 |
|
|
|
|||||||
Вывод. Чтобы |
найти |
|
расстояние |
от точки M1 |
|
до |
плоскости |
|||||||||||
Ax + By + Cz + D = 0, |
нужно |
|
в левую часть |
уравнения вместо |
текущих |
координат |
x, y, z подставить координаты точки M1(x1, y1, z1) и разделить полученное число на |N |, взяв результат по абсолютной величине.
Пример 8.
Вычислить объем куба, одна из вершин которого находится в точке M1(1, 0, −2), а плоскость, в которой находится противоположная грань, имеет уравнение 2x−y +2z −4 = 0.
9
Решение. Найдем длину ребра куба, как расстояние от точки M1(1, 0, −2) до плоскости 2x − y + 2z − 4 = 0 по формуле (9):
d = |
|2 · 1 − 1 · 0 + 2 · (−2) − 4| |
= |
6 |
= 2. |
||
|
|
|
|
|||
|
p22 + (−1)2 + 22 |
3 |
|
Объем куба V = 23 = 8.
2.8.Точка пересечения трех плоскостей
Чтобы найти точку пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями
A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
A3x + B3y + C3z + D3 = 0,
нужно решить систему уравнений
A2x + B2y + C2z + D2 |
= 0, |
(10) |
A1x + B1y + C1z + D1 |
= 0, |
|
|
|
|
A3x + B3y + C3z + D3 = 0.
Если определитель этой системы
= |
A2 |
B2 |
C2 |
= 0, |
|
|
A1 |
B1 |
C1 |
|
|
|
A3 |
B3 |
C3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то система имеет единственное решение, т. е. три плоскости пересекаются в одной точке.
10