Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Понятие об уравнениях линий и поверхностей

.pdf
Скачиваний:
48
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
119.8 Кб
Скачать

ТЕМА 10. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ. ПЛОСКОСТЬ.

1.Понятие об уравнениях линий и поверхностей

Аналитическая геометрия занимается изучением геометрических образов с помощью

уравнений и неравенств.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть на координатной плоскости Oxy

дана линия l. Возьмем на ней любую точку

M (x, y) и назовем ее текущей. При движении точки M

по линии ее координаты x

и y меняют свои значения, но не произвольным образом. Между

x

и

y существует

зависимость, которую записывают в виде F (x, y) = 0.

 

 

 

 

 

 

y

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

6

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

Рассмотрим также в пространстве

 

 

Oxyz поверхность S

и

на

ней возьмем

 

произвольную точку M (x, y, z) (текущую). При перемещении точки M по поверхности ее координаты также меняются, но не произвольно: между x, y, z существует зависимость

F (x, y, z) = 0.

Определение 1. Уравнение F (x, y, z) = 0

(F (x, y) =

0) называется уравнением

поверхности (линии) в выбранной системе

координат

Oxyz (Oxy), если ему

удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на ней, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на ней.

z

 

 

 

6

 

 

 

 

s

 

 

 

r M (x, y, z)

 

 

 

-

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Аналитическая геометрия решает две основные задачи:

1.Составить уравнение поверхности (линии) по ее свойствам.

2.По заданному уравнению поверхности (линии) выяснить ее форму и расположение

всистеме координат.

Пример 1.

Составить уравнение сферической поверхности с центром в точке C(a, b, c) (окружности с центром в точке C(a, b) ) и радиуса R.

1

Решение. Пусть точка M (x, y, z) – любая точка на сфере ( M (x, y) на окружности), тогда |CM | = R :

p

|CM | = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2.

Составим уравнение

p

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R,

или

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2.

Это и есть уравнение сферической поверхности (сферы). Аналогично уравнение окружности запишется так:

(x − a)2 + (y − b)2 = R2.

Пример 2.

Какое множество точек задается уравнением x = 0 ?

Решение. В пространстве Oxyz это уравнение координатной плоскости Oyz, на плоскости Oxy это уравнение оси Oy.

Пусть F (x, y, z) = 0 и Φ(x, y, z) = 0 – две пересекающиеся по линии L поверхности. Очевидно, все точки M (x, y, z) линии L лежат на обеих поверхностях, и их координаты удовлетворяют уравнениям F (x, y, z) = 0 и Φ(x, y, z) = 0.

Уравнение линии L задается системой двух уравнений пересекающихся поверхностей:

L :

F (x, y, z) = 0, Φ(x, y, z) = 0.

2.Плоскость

2.1.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Нормальный вектор плоскости

Рассмотрим в пространстве R3 плоскость α. Ее положение вполне определяется заданием перпендикулярного этой плоскости вектора N = (A, B, C), и фиксированной точки M1(x1, y1, z1), лежащей в плоскости α. Любой вектор N , перпендикулярный плоскости α, называется нормальным вектором этой плоскости:

N = Ai + Bj + Ck.

2

z6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

!!!M2

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

A

 

 

 

 

 

 

 

!

 

*

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

AA

α

!!!!!

!

 

 

 

 

 

 

 

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выведем уравнение этой плоскости. Возьмем

произвольную (текущую) точку

M (x, y, z) на плоскости α и рассмотрим вектор

M1M = (x − x1, y − y1, z − z1).

При любом положении точки M (x, y, z) вектор M1M N . Поэтому скалярное произведение (M1M , N ) = 0. Запишем скалярное произведение в координатной форме:

(M1M , N ) = A(x − x1) + B(y − y1) + C(z − z1).

Следовательно,

A(x − x1) + B(y − y1) + C(z − z1) = 0.

(1)

Координаты любой точки M (x, y, z) плоскости α удовлетворяют уравнению (1). Координаты точек, не лежащих на плоскости α, этому уравнению не удовлетворяют,

так как (M1M , N ) 6= 0.

Вывод: уравнение (1) – искомое уравнение плоскости α. Уравнение (1) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку. Оно первой степени относительно текущих координат x, y, z.

Пример 3.

 

 

 

 

 

 

 

Составить уравнение

плоскости, перпендикулярной вектору

N = (2, −1, 4) и

проходящей через точку

M1(5, 2, −3) . Лежат ли на этой плоскости точки P (1, 2, −1),

Q(4, 5, 1) и R(−6, 2, −3)?

 

 

 

Решение. Подставляя в уравнение (1) значения A = 2, B = −1,

C = 4, x1 = 5,

y1 = 2, z1 = −3, получим

 

 

 

 

2(x − 5) − (y − 2) + 4(z + 3) = 0.

 

 

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, находим искомое уравнение плоскости:

2x − y + 4z + 4 = 0.

Выясним, лежат ли точки P , Q и R на данной плоскости. Подставляя последовательно координаты этих точек в левую часть последнего уравнения, получим

2 · 1 − 1 · 2 + 4 · (−1) + 4 = 0;

3

2 · 4 − 1 · 5 + 4 · 1 + 4 > 0;

2 · (−6) − 1 · 2 + 4 · (−3) + 4 < 0.

Следовательно, точка P лежит на данной плоскости. Точки Q и R плоскости не принадлежат. Они находятся по разные стороны от нее (в результате подстановки их координат в уравнение плоскости получены числа разных знаков).

Придавая коэффициентам A, B, C уравнения (1) различные значения, получим уравнение любой плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1). Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение

(1) называется также уравнением связки плоскостей, в котором A, B, C могут принимать различные значения.

2.2.Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x, y, z :

Ax + By + Cz + D = 0.

(2)

По крайней мере один из коэффициентов A, B или C не равен 0, так как иначе мы имели бы не уравнение, а тождество D ≡ 0. Положим C =6 0, тогда уравнение (2) перепишем в виде

A(x − 0) + B(y − 0) + C

z + C

= 0.

(3)

 

 

D

 

 

Уравнение (3) равносильно уравнению (2). Сравнивая уравнение (3) с уравнением (1), видим, что оно, а следовательно, и равносильное ему уравнение (2) являются уравнением плоскости, имеющей нормальный вектор N = (A, B, C) и проходящей через точку

M1 0, 0, −DC .

Доказано, что всякое уравнение Ax + By + Cz + D = 0 первой степени относительно x, y, z представляет собой уравнение некоторой плоскости. Уравнение (2) называется

общим уравнением плоскости.

Замечание 1. Плоскость Ax + By + Cz + D = 0 разбивает пространство на два подпространства: Ax + By + Cz + D < 0 для точек одного из них и Ax + By + Cz + D > 0 для точек другого.

2.3.Исследование общего уравнения плоскости

а) Если C = 0, т. е. общее уравнение плоскости имеет вид

Ax + By + D = 0,

то проекция вектора N на ось Oz равна нулю и, следовательно, N Oz. Но N перпендикулярен к плоскости. Следовательно, плоскость α параллельна оси Oz.

Аналогично, уравнению Ax + Cz + D = 0 соответствует плоскость, параллельная оси Oy, уравнению By + Cz + D = 0 – плоскость, параллельная оси Ox.

б) Если D = 0, т. е. уравнение имеет вид

Ax + By + Cz = 0,

4

то заданная плоскость проходит через начало координат. в) Если A = B = 0, т. е. уравнение имеет вид

Cz + D = 0,

то плоскость параллельна оси Ox и оси Oy, а потому параллельна плоскости Oxy. Аналогично, плоскость параллельна плоскости Oxz, если ее уравнение By + D = 0,

и параллельна плоскости Oyz, если ее уравнение Ax + D = 0.

2.4.Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

M (x, y, z) – любая текущая точка плоскости. Векторы M1M = (x−x1 , y −

y1, z − z1),

 

 

 

 

 

 

M1M2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1), M1M3 = (x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1) будут

компланарны тогда и только тогда, когда точка M принадлежит плоскости, проходящей через точки M1, M2, M3. Поэтому их смешанное произведение равно нулю:

(M1M × M1M2, M1M3) = 0.

PPPPPPPP

M1 r PPPP

M

r

 

 

r

M2

XXXXX rM3

XXXXXXX

В координатной форме это уравнение запишется как

 

x2

x1

y2

y1

 

x

x1

y

y1

 

x3 x1

y3 y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z − z1 z2 − z1 z3 − z1

= 0. (4)

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пример 4.

Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1(1, 3, −2), M2(4, −5, 6), M3(−4, 1, 2).

Решение. Пусть M (x, y, z) – текущая точка плоскости. Тогда векторы M1M , M1M2, M1M3 лежат в одной плоскости, а значит, являются компланарными. Используя условие

компланарности векторов, имеем (M1M × M1M2, M1M3) = 0. Запишем векторы в координатной форме:

M1M = (x − 1, y − 3, z + 2), M1M2 = (3, −8, 8), M1M3 = (−5, −2, 4).

Тогда последнее равенство примет вид

 

 

= 0.

 

3

8

8

 

x − 1

y − 3

z + 2

 

 

5

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим

(x 1)

 

2

4

 

(y 3)

 

5

4

+ (z + 2)

 

 

5

2

= 0,

− ·

 

8

8

 

− − ·

 

3

8

 

 

·

 

3

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x − 1) · (−32 + 16) − (y − 3) · (12 + 40) + (z + 2) · (−6 − 40) = 0,

−16(x − 1) − 52(y − 3) − 46(z + 2) = 0,

или

8(x − 1) + 26(y − 3) + 23(z + 2) = 0.

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим искомое уравнение плоскости

8x + 26y + 23z − 40 = 0.

2.5.Уравнение плоскости “в отрезках”

Пусть плоскость, соответствующая уравнению (2)

Ax + By + Cz + D = 0,

отсекает на координатных осях отрезки a, b,

c.

Точки Ao(a, 0, 0), Bo(0, b, 0), Co(0, 0, c)

лежат на плоскости, следовательно,

координаты этих точек удовлетворяют уравнению (2). Подставив в (2) координаты точек A, B, C, будем иметь систему

 

 

 

 

Aa + D = 0,

 

 

Bb + D = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

Cc + D = 0.

 

z

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Co(0, 0, c)

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

y

 

 

S

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

!!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!!! Bo(0, b, 0)

 

!!

 

 

 

 

!!

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ao(a, 0, 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Из системы найдем:

 

D

 

 

D

 

 

D

A = −

 

, B = −

, C = −

 

 

 

 

a

 

b

c

6

и, подставив их значения в (2), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

D

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x −

 

 

y −

 

 

 

 

 

z + D = 0

 

 

 

 

a

b

 

 

c

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

+

= 1.

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

c

 

Уравнение (5) называется уравнением плоскости „в отрезках“.

Пример 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через точки M1(1, −2, 6),

M2(5, −4, −2)

и отсекающей равные отрезки на осях x и y.

Решение. Уравнение плоскости ищем в виде (5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+

y

+

z

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

c

 

 

По условию a = b , поэтому уравнение можно записать так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+

y

+

z

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

c

 

 

Подставляя координаты точек M1

 

и M2 в последнее уравнение, получим

 

1

+

−2

+

6

= 1,

 

5

+

−4

+

−2

= 1,

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

a

 

 

c

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

или

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

= 1,

 

+

= 1.

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

Решая полученную систему уравнений, находим c = 2 , a = 12 . Следовательно, искомое уравнение имеет вид

x

+

y

+

z

= 1

или 4x + 4y + z − 2 = 0.

 

 

 

1/2

1/2

2

2.6. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Рассмотрим две плоскости α1 и α2, заданные соответственно уравнениями

1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и (α2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Под углом между двумя плоскостями понимают один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Угол ϕ между нормальными векторами N 1 = (A1, B1, C1) и N 2 = (A2, B2, C2) плоскостей α1 и α2 равен одному из указанных смежных двугранных углов:

cos ϕ = (N 1, N 2) ,

|N 1| · |N 2|

или, в координатной форме,

 

 

 

 

 

 

 

cos ϕ =

 

A1A2 + B1B2

+ C1C2

.

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pA12 + B12 + C12pA22 + B22 + C22

 

 

 

7

Две плоскости α1 и α2 :

а) параллельны друг другу тогда и только тогда, когда их нормальные векторы N 1 и N 2 коллинеарны.

Поэтому условие параллельности двух плоскостей запишется так:

 

 

 

 

A1

 

B1

 

C1

 

 

N 1||N 2 или

=

=

;

(7)

A2

B2

C2

б) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда их нормальные векторы

N 1 и N 2 перпендикулярны:

N 1 N 2.

Условие перпендикулярности двух плоскостей запишется так:

 

(N 1, N 2) = 0 или A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

(8)

Пример 6.

Найти угол между двумя плоскостями

11x − 8y − 7z + 5 = 0, 7x + 2y − 8z − 3 = 0.

Решение. Подставляя в формулу (6) значения A1 = 11 , B1 = −8 , C1 = −7 , A2 = 7 ,

B2 = 2 , C2 = −8 , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ϕ =

11

· 7 + (−8) · 2 + (−7) · (−8)

=

117

 

=

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

121 + 64 + 49 49 + 4 + 64

 

234

117

 

2

 

Следовательно, ϕ = 45o .

Замечание 2. Формула (6) определяет один из двух неравных между собой углов, сумма которых равна 180o . Если уравнение второй плоскости написать в виде −7x −2y +

8z + 3 = 0 , то по формуле (6) получим cos ϕ = − 1 , откуда ϕ = 135o .

2

Пример 7.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P (2, −1, −3) параллельно плоскости 5x − 4y + 6z − 3 = 0.

Решение. Так как вектор N = (5, −4, 6) перпендикулярен данной плоскости, он будет перпендикулярен и искомой плоскости, а значит, его можно использовать как вектор нормали для искомой плоскости. Применяя формулу (1), получаем

5(x − 2) − 4(y + 1) + 6(z + 3) = 0.

Раскрыв скобки и приведя подобные, находим искомое уравнение:

 

 

5x − 4y + 6z + 4 = 0.

 

 

Замечание

3.

Уравнение

плоскости,

параллельной

плоскости

Ax + By + Cz + D = 0 , можно искать в виде Ax + By + Cz + D1 = 0 .

8

2.7.Нахождение расстояния от точки до плоскости

Дана точка M1(x1, y1, z1) и плоскость α : Ax + By + Cz + D = 0. Требуется найти расстояние от точки M1 до плоскости α.

``

 

z

 

 

6

 

 

 

 

 

r M1(x1, y1, z1)

 

 

 

 

 

 

 

 

``

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

```

````

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

```

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hhh

 

 

 

K(x0, y0, z0)

hhh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hhhhhhh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расстояние d от точки M1 до плоскости

измеряется длиной перпендикуляра,

опущенного из точки на плоскость: d = |KM 1|.

Так как векторы KM 1 и N коллинеарны, их скалярное произведение

(N , KM 1) = |N | · |KM 1| · cos 0или cos 180= ±|N | · d. N = (A, B, C); KM 1 = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0).

Скалярное произведение в координатной форме запишется так:

(N , KM 1) = A(x1 − x0) + B(y1 − y0) + C(z1 − z0),

или

(N , KM 1) = A(x1 − x0) + B(y1 − y0) + C(z1 − z0) + D − D =

= (Ax1 + By1 + Cz1 + D) − (Ax0 + By0 + Cz0 + D).

Выражение Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, т. к. точка K(x0, y0, z0) лежит на плоскости α

и ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(N , KM 1) = Ax1 + By1 + Cz1 + D,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

±|N | · d = Ax1 + By1 + Cz1 + D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d =

|Ax1 + By1 + Cz1 + D|

=

|Ax1 + By1 + Cz1 + D|

.

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|N |

A2 + B2 + C2

 

 

 

Вывод. Чтобы

найти

 

расстояние

от точки M1

 

до

плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

нужно

 

в левую часть

уравнения вместо

текущих

координат

x, y, z подставить координаты точки M1(x1, y1, z1) и разделить полученное число на |N |, взяв результат по абсолютной величине.

Пример 8.

Вычислить объем куба, одна из вершин которого находится в точке M1(1, 0, −2), а плоскость, в которой находится противоположная грань, имеет уравнение 2x−y +2z −4 = 0.

9

Решение. Найдем длину ребра куба, как расстояние от точки M1(1, 0, −2) до плоскости 2x − y + 2z − 4 = 0 по формуле (9):

d =

|2 · 1 − 1 · 0 + 2 · (−2) − 4|

=

6

= 2.

 

 

 

 

 

p22 + (−1)2 + 22

3

 

Объем куба V = 23 = 8.

2.8.Точка пересечения трех плоскостей

Чтобы найти точку пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями

A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

A2x + B2y + C2z + D2 = 0,

A3x + B3y + C3z + D3 = 0,

нужно решить систему уравнений

A2x + B2y + C2z + D2

= 0,

(10)

A1x + B1y + C1z + D1

= 0,

 

 

 

 

A3x + B3y + C3z + D3 = 0.

Если определитель этой системы

=

A2

B2

C2

= 0,

 

A1

B1

C1

 

 

 

A3

B3

C3

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то система имеет единственное решение, т. е. три плоскости пересекаются в одной точке.

10