kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Правила дифференцирования функций

ЛЕКЦИЯ 7. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ВЫВОД ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.

1.Правила дифференцирования

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием функции.

Утверждение 1. Если u = u(x), v = v(x) имеют производные в точке x , то u ±v, u · v, uv (v(x) =6 0) также имеют производные в точке x , причем имеют место формулы:

1.(u ± v)′ = u′ ± v′;

2.(u · v)′ = u′v + v′u;

3.u ′ = u′v − v′u . v v2

Доказательство. Докажем первую формулу. Пусть

y = u ± v ,

u,

v, y

приращения функций u, v, y в точке x, соответствующие приращению

x 6= 0. Тогда,

очевидно,

y = y(x + x) − y(x) = [u(x + x) ± v(x + x)] − [u(x) ± v(x)] =

= [u(x + x) − u(x)] ± [v(x + x) − v(x)] = u ± v.

Таким образом,

y

=

u

±

v

.

x

x

x

Осталось перейти к пределу при

x → 0 :

lim

y

lim

u

lim

v

= u′ + v′,

0

x =

0

x

±

0

x

→

x

→

x

→

x

т.е. y′ = u′ ± v′, что и требовалось доказать.

Докажем вторую формулу. Пусть

y

= uv,

u,

v,

y

приращения функций

u, v, y в точке x,

соответствующие приращению

x 6= 0, тогда

y = (y + y) − y = (u + u)(v + v) − uv = uv + u v + u v

и

y

u

v

u

=

v +

u +

v.

x

x

x

x

x → 0 и

Применяя известные правила предельного перехода и учитывая, что при

v → 0 как приращение непрерывной функции, найдем

lim

y

=

lim

u

v + u lim

v

+ lim

u

lim

v = u′v + uv′,

x

x→0

x

x→0

x

x→0

x

x→0

x→0

что и требовалось доказать.

1

Докажем третью формулу. Пусть функция y задана как частное двух функций u и

v ( v 6= 0 ):

y =

u

.

v

Докажем, что

y′

=

u′v − uv′

.

v2

Действительно,

u+Δu

u

u

v

y

=

v+Δv

− v

=

v u − u v

=

v

x

− u x

.

xv(v + v)

x

x

v(v + v)

Применяя известные правила предельного перехода и учитывая, что при

x → 0 и

v → 0, получим

y

v lim

u

−

u

lim

v

x

x

lim

=

x→0

x→0

,

x→0

x

v(v +

lim

v)

или

x→0

u′v − uv′

y′

=

,

v2

что и требовалось доказать.

Пример 1. Найти производную y = 4x3 − 2x2 + 3x − 10 .

Решение. Применяя правила вычисления производной (u + v)′ = = u′

+ v′ ; (cu)′ =

cu′ ; c′ = 0 , получим

y′ = (4x3 − 2x2 + 3x − 10)′ = 4(x3)′ − 2(x2)′ + 3(x)′ − (10)′ =

= 12x2 − 4x + 3.

Пример 2. Найти y′, если y = (2x + 3)(1

−

x).

Решение. Применяя правила вычисления производной (u · v)′ = u′v + v′u , получим

y′ = (2x + 3)′(1 − x) + (1 − x)′(2x + 3) = 2(1 − x) − 1(2x + 3) = −4x − 1.

Пример 3.

Найти y′, если y =

2 − 3x

.

2 + x

u ′

u′v v′ u

Решение. Применяя правила вычисления производной v

=

2

, получим

v−

y′ =

(2 − 3x)′(2 + x) − (2 − 3x)(2 + x)′

=

−3(2 + x) − (2 − 3x)

=

(2 + x)2

(2 + x)2

= −

8

.

(2 + x)2

√

− 1

.

Пример 4.

Найти производную y =

x

2√x

Решение.

(√

− 1)′2√

− (2√

)′(√

− 1)

y′ =

x

x

x

x

=

(2√x)2

√

√

1

x

2

x

1

2√

2√

1)

1

1 + √

1

=

x ·

−

x

−

=

−

x

=

.

4x

3/2

4x

4x

2

2.Производная сложной функции

Установим правило, позволяющее найти производную сложной функции y = f [u(x)] при условии, что существуют производные составляющих ее функций u = u(x) , y = f (u) в точках x и u, соответственно.

Утверждение 2. Пусть функция u = u(x) имеет производную в точке x , а функция y = f (u) имеет производную в соответствующей точке u = u(x) . Тогда сложная функция y = f [u(x)] имеет производную в указанной точке x , причем для ее производной в этой точке справедлива формула

(f (u))′ = f ′(u) · u′ или yx′ = yu′ · ux′ .

(1)

Доказательство. Пусть x приращение переменной x , тогда ему соответствует приращение u = u(x+Δx)−u(x), в точке x, а также приращение y = f (u+Δu)−f (u) в точке u = u(x). Так как функция y = f (u) имеет производную, то имеем

y = f ′(u)Δu + α(Δu)Δu,

(2)

где α(Δu) → 0 при u → 0. Поскольку функция u = u(x) также имеет производную, то она непрерывна, следовательно, при x → 0 приращение u → 0, а значит, и α(Δu) → 0. Деля последнее равенство на x =6 0 и переходя к пределу, получим

lim

y

=

lim (f ′(u) + α(Δu))

·

lim

u

=

0

0

x

x

→

x

x

→

0

x

→

f ′

u

lim

u

f ′

u

u′.

=

) ·

0

x =

) ·

(

x

→

(

Так как lim

0

y

= y′

=

{

f (u(x)) ′

, то

{

f (u(x))

′ = f ′(u)

·

u′, или

x

→

x

x

}x

}

yx′ = yu′ · u′x.

Из теоремы 3 вытекает правило вычисления сложной функции, являющейся

суперпозицией трех и большего числа функций:
{F [f (ϕ(x)]}′ = F ′[f (ϕ(x)]f ′(ϕ(x))ϕ′(x).	(3)
Пример 5. Найти производную y = (2x2 + 5)2 .
Решение. Обозначим 2x2 + 5 = u , тогда y = u2 . По правилу	нахождения
производной сложной функции получим
y′ = (u2)′u′ = 2uu′ = 2(2x2 + 5) · (2x2 + 5)′ = 8x(2x2 + 5).

3.Вывод производных элементарных функций

Исходя из определения производной, вычислим производные некоторых элементарных функций.

Производные тригонометрических функций

3

1. (sin x)′ = cos x.

α−2

β

α+

β

Действительно, применяя формулу sin α − sin β = 2 sin

· cos

, получим

2

sin(x +

x)

sin x

2 sin

x cos x +

x

(sin x)′ =

lim

lim

2

2

=

x

−

=

x

→

0

x

→

0

x

sin

x

x

2

=

lim

·

lim

0 cos

x

+

= 1

·

cos x = cos x.

2

x

→

0

x

x

→

2

Здесь использованы 1-й замечательный предел, непрерывность функции y = cos x и арифметические действия с пределами.

2.(cos x)′ = − sin x.

Всамом деле,

π

π

π

(cos x)′ = sin

− x ′

= cos

− x ·

− x ′

= sin x · (−1) = − sin x.

2

2

2

3. (tg x)′ =

1

.

cos2 x

Воспользуемся формулой, выражающей производную частного:

(tg x)′ =

sin x

′

=

(sin x)′ cos x − (cos x)′ sin x

=

cos x

cos2 x

=

cos2 x + sin2 x

=

1

.

cos2 x

cos2 x

4. (ctg x)′

= −

1

. Из свойств тригонометрических функций

ctg x = tg( π2 − x).

sin2 x

Используя формулу для производной сложной функции, имеем

(ctg x)′ = tg

π

′

1

π

′

1

x

=

x

=

.

2 −

cos2( π2

− x)

2 −

h

i

−sin2 x

Производные логарифмической, степенной и показательной функций

5. (loga x)′

=

1

loga e.

x

Пусть

y

есть приращение функции

y = loga x,

соответсвующее приращению x

аргумента

x, т. е.

x +

x

x

y = loga(x +

x) − loga x = loga

= loga

1 +

.

x

x

Тогда

loga 1 +

.

y

=

1

x

x

x

x

Умножим и разделим на x выражение, стоящее в правой части последнего равенства:

x = x

x loga 1 +

x

= x loga 1 +

x

x .

y

1

x

x

1

x

x

Обозначим величину

x

через z, z → 0 при

x → 0. Следовательно,

x

y

1

1

=

loga(1 + z) z .

x

x

4

							1	), будем иметь
Пользуясь вторым замечательным пределом ( e = lim(1 + z) z
				z→0
y′ = lim	y		1	1		1
		= lim		loga(1 + z) z	=		loga e.
	x					x
x→0		z→0 x

Заменив loga e = ln1a (свойство логарифмической функции), полученную формулу можно переписать так:

y′ =

1

1

.

x ln a

Частный случай этой формулы: если a = e, то ln a = ln e = 1,

т. е.,

если

y = ln x,

то

y′ =

1

.

x

6. xα = α

·

xα−1.

α

, где α

действительное число, x > 0. Прологарифмировав данную

Пусть y = x

функцию получим ln y

= α ln x.

Возьмем

производную от обеих частей, считая

y

функцией от x, тогда

y′

= α x1

или y′ = αy · x1 . Заменив y на xα

получим

y

y′ = αxα−1.

7. (ax)′ = ax ln a.

Вывод аналогичен степенной функции. Пусть

y

=

ax

( a >

0

,

a

6= 1

), тогда

ln

y

=

y′

x ln a. После дифференцирования получим

= ln a , отсюда y′

= y ln a или y′ = ax ln a.

y

Если a = e, то

(ex)′ = ex.

Рассмотрим примеры.

Найти производную y = tg √

Пример 6.

x.

Решение.

√

1

√

1

1

y′

′

′

.

x

x

= (tg

)

= cos2 √x (

)

=

2√x cos2 √x

Пример 7.

Найти производную y = ln ctg x.

Решение.

1

1

1

y′ = (ln ctg x)′ =

(ctg x)′ =

−

=

ctg x

ctg x

sin2 x

1

2

= −

= −

.

cos x sin x

sin 2x

Пример 8.

Найти производную y = cos3 2x.

Решение.

y′

= (cos3 2x)′ = 3 cos2 2x · (cos 2x)′ = 3 cos2 2x(− sin 2x)(2x)′ =

= −6 cos2 2x sin 2x.

5

4.Таблица производных основных элементарных функций

1.	c′ = 0 (c – const).
2.	(xα)′ = αxα−1.
3.	(ax)′ = ax ln a (0 < a = 1).
3′.	(ex)′ = ex.																6
									1
4.	(log		x)′	=								log					e (x > 0, 0 < a = 1).
		a			1 x											a	6
4′.	(ln x)′ =							.
					x
5.	(sin x)′ = cos x.
6.	(cos x)′ = − sin x.
7.	(tg x)′ =							1						.
						cos2 x
8.	(ctg x)′ =												1					.
							−sin2 x
9.	(arcsin x)′							=								1				.
													√						x2
														1 −1
10.	(arccos x)′							= −√														.
																	2
11.	(arctg x)′ =												1				1 − x
																			.
																	2
											1 + x
12.	(arcctg x)′							= −									1				.
															1 + x2

6