kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Дифференцируемость функций

ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ТОЧКЕ.

1.Дифференцируемость и полный дифференциал ФНП

Рассмотрим приращение функции u = f(x; y) в точке M(x; y); соответствующее приращениям аргументов x è y :

u = f(x + x; y + y) f(x; y):

Определение 1. Функция u = f(x; y) называется дифференцируемой в точке M(x; y); если ее приращение в данной точке можно представить в виде

u = A x + B y + 1 x + 2 y;

(1)

здесь A è B не зависящие от x è y некоторые числа, а 1( x; y) è 2( x; y)зависящие от x è y бесконечно малые функции при x; y ! 0:

(Обратите внимание на аналогию с определением дифференцируемости для функции одной переменной).

Замечание 1. Часто 1 x + 2 y обозначают через O( ); ò. å. 1 x + 2 y =

p

O( ); ãäå = x2 + y2; ( ! 0):

Первые два слагаемых в выражении (1) называются главной линейной частью приращения функции в точке (x; y) (линейные относительно x è y ).

Определение 2. Дифференциалом функции двух переменных называется главная линейная часть ее приращения.

Дифференциал функции u = f(x; y) обозначается символом du: Таким образом, дифференциал функции u = f(x; y) определяется формулой

du = A x + B y:	(2)
Частным дифференциалом по x функции u = f(x; y)	называется главная линей-

ная часть частного приращения xu = f(x + x; y) f(x; y) . Аналогично определяется

частный дифференциал по y .

Теорема 1 Если функция f(x; y) дифференцируема в точке (x; y); то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Если функция f(x; y) дифференцируема в точке (x; y); òî, êàê

следует из соотношения (1), lim x!0; y!0 u = 0; а это значит, что функция f(x; y) непрерывна в точке (x; y) по определению. Теорема доказана.

Докажем необходимое условие дифференцируемости функции в точке.

1

Теорема 2 Если функция f(x; y)		дифференцируема в точке (x; y); то данная функ-
ция имеет частные производные по		x	è y	в данной точке и коэффициенты A è B
главной линейной части приращения функции вычисляются по формулам
A =	@f(x; y)		;	B =	@f(x; y)	:
	@x
					@y

Доказательство. По условию теоремы функция u = f(x; y) является дифференцируемой в точке (x; y): Это значит, что ее приращение может быть представлено в виде

(1). Так как приращения аргументов x è y являются произвольными, то положим в равенстве приращение аргумента y равным нулю, т. е. y = 0: Тогда (1) принимает вид

xu = A x + 1 x:

Символом xu мы обозначим частное приращение функции u; щению аргумента x; равному x; и приращению аргумента y;

(3)

соответствующее прираравному нулю:

xu = f(x + x; y) f(x; y):

Разделим правую и левую части равенства (3) на x и перейдем к пределу при x ! 0 :

	lim	xu	=	lim (A + 1):	(4)
		x
	x!0			x!0

Функция 1 по условию теоремы является бесконечно малой, т. е. она стремится к нулю, когда x ! 0: Коэффициент A îò x не зависит. Вычисляем пределы в равенстве (4)

	и получаем	xu			f(x + x; y) f(x; y)		@f(x; y)
	A = lim		=	lim		=			:
		x			x			@x
	x!0			x!0

Таким образом, коэффициент A равен частной производной по переменной x функции u в точке (x; y): Проведя аналогичные рассуждения по отношению к независимой переменной y; получим для коэффициента B выражение

B = f(x; y): @y

	Тем самым теорема доказана.
	Как следствие теоремы получим простую формулу для вычисления дифференциала.
	Для этого подставим в выражение (2) вместо коэффициентов A è B их выражения через
	частные производные:	@f			@f
	du =		x +			y:	(5)
					@y
		@x
	Приращения независимых переменных x è y;					как и для одного переменного, будут
	dx è dy:
	Действительно, полагая u = x; ò. å. f(x; y) x; получаем
	du = dx = 1 x + 0 y è dx = x:
	Аналогично, полагая u = y; ò. å. f(x; y) y;			получаем
	du = dy = 0 x + 1 y è dy = y:

2

(v =6 0):

В результате получим выражение для полного дифференциала:

du = @f@xdx + @f@y dy

	èëè	@u		@u
	du =		dx +		dy:
		@x		@y

Очевидно, что полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов:

	@u		@u
du = dxu + dyu; dxu =		dx; dyu =		dy:
	@x		@y

Замечание 2. Åñëè u = f(x1; x2; :::; xn);						то, по аналогии,
	@u			@u			@u
du =		dx1	+		dx2 + ::: +			dxn:
	@x1			@x2			@xn

Замечание 3. В формуле (1) отбросив члены с бесконечно малыми 1 è 2; полу- чим приближенное равенство u A x + B y:

Если учесть равенство (2), то u du; а из равенства (5) получаем

u @f@x x + @f@y y:

Эта формула, записанная в виде

f(x + x; y + y) f(x; y) + @f@x x + @f@y y;

используется в приближенных вычислениях.

Для того чтобы функция двух переменных была дифференцируема в данной точке, на нее, в отличие от функции одной переменной, надо наложить более жесткие требования, чем существование частных производных в этой точке.

Теорема 3 Если в некоторой окрестности точки (x; y) существуют производные

fx0 (x; y) è fy0 (x; y) функции u = f(x; y) и эти производные непрерывны в самой точке (x; y); то функция f(x; y) дифференцируема в этой точке.

(Без доказательства.)

Замечание 4. Для любых двух дифференцируемых функций v è u справедливы

равенства:

d(u v) = du dv; d(u v) = udv + vdu;

d u = vdu udv v v2

3

Пример 1. Найти частные дифференциалы и полный дифференциал функции

z = sin2 x + cos2 y

Решение. Найдем частные производные функции:

@x@z = 2 sin x cos x; @y@z = 2 cos y sin y:

Тогда частные дифференциалы равны

dxz = sin 2xdx; dyz = sin 2ydy;

а полный дифференциал равен

dz = sin 2xdx sin 2ydy:

2.Геометрический смысл дифференциала ФНП. Дифференциалы высших порядков

Пусть N0 точка поверхности

z = f(x; y): Рассмотрим на поверхности другую пере-

менную точку N: Проведем секущую прямую N0N; а через точку N0 плоскость (рис.

4).

PPPP

\

P

\

.

\

a

r

\

r

a

a

a

J

a N

P

N0

'P

J

. a

J

P

P

J

P

J

J

P

J

P

Ðèñ. 1

Определение 3. Плоскость, проходящая через точку N0 , называется касательной

плоскостью к поверхности в точке

N0; если угол между секущей N0N è ýòîé ïëîñ-

костью ' стремится к нулю, когда расстояние

jN0Nj стремится к нулю, каким бы

образом точка N на поверхности ни стремилась к точке N0:

Определение 4. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, прохо-

дящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в этой точке.

Теорема 4 У поверхности, заданной уравнением z = f(x; y); ãäå f(x; y) ôóíê-

ция дифференцируемая в точке M0(x0; y0) , существует касательная плоскость в точке N0(x0; y0; f(x0; y0)) и задается уравнением

zêàñ f(x0; y0) = fx0 (x0; y0)(x x0) + fy0 (x0; y0)(y y0):

(6)

4

касательной плоскости проведем пря-

(Без доказательства).

Замечание 5. По виду уравнения касательной плоскости к поверхности (6), заданной уравнением z = f(x; y); в точке N0 можно записать уравнение нормали:

x x0		=	y y0		=	z z0		:
f0	(x0; y0)		f0	(x0; y0)			1
x			y

Теперь пусть функция z = f(x; y) дифференцируема в точке M0(x0; y0): Это значит, что поверхность, заданная уравнением z = f(x; y) , имеет в точке N0(x0; y0; z0) , ãäå z0 = f(x0; y0) , касательную плоскость. Ее уравнение можно записать в виде (6). Полагая x

x0 = x; y y0 = y; получим
zêàñ f(x0; y0) = fx0 (x0; y0) x + fy0 (x0; y0) y:	(7)

Изобразим поверхность и касательную плоскость на чертеже, а также точки с коор-

динатами M0

(x0

; y0) è M(x0 + x; y0

+ y)

и их образы на поверхности( N0

è N ) è

касательной плоскости( N0 è N1 ).

PPP

PP

z

6

P

.

N

N0

PPdz

f

N(rr(1(

dz

grr

PP

N2

P

y0

+ y y0

y

O

-

x

r

r

x

0

M0

x0

+ x

M

Ðèñ. 2

В равенстве (7) слева стоит разность аппликат точек касательной плоскости, соответствующих точкам M0(x0; y0) è M(x; y); а справа полный дифференциал функции

z	= f(x; y)	в точке (x0; y0)	(см. (5)). Таким образом, полный дифференциал функции
z	= f(x; y)	в точке (x0; y0)	геометрически означает приращение аппликаты касательной

плоскости к поверхности при переходе из точки (x0; y0) в точку (x; y): Рассмотрим это на чертеже: через точку N1

мую, параллельную MM0: Отрезок N0N2 показывает приращение аппликаты касательной плоскости при переходе от N0 ê N1; т. е. равен dz: На данном рисунке видно, что приращение отрицательно, т. е. дифференциал dz в точке N0 отрицателен.

5

Замечание 6. Дифференциал dz от функции z = f(x; y) называется ее дифферен-

циалом первого порядка. Рассматриваются и дифференциалы высших порядков, а имен-
íî:	d2f = d(df); :::; dk+1f = d(dkf):

Очень важно отметить, что для ФНП сохраняются свойство инвариантности формы

первого дифференциала и нарушение инвариантности формы дифференциала порядка

выше первого. При этом отметим, что формально "независимость"величин x; y; z

будет

проявляться в том, что при дифференцировании по

x; y; z величины dx; dy; dz;

будут

рассматриваться как постоянные, т. е. d(dx) = 0; d(dy) = 0; d(dz) = 0:

Пример 2. . Найти d2u; åñëè du =

@u dx + @u dy:

Решение.

@x

@y

@u

@u

@u

@u

d2u = d(du) = d

dx +

d(dx) + d

dy +

d(dy) =

@x

@x

@y

@y

@2u

@2u

@2u

@2u

=

dxdx +

dydx +

dxdy +

dydy =

@x2

@y@x

@x@y

@y2

@2u

@2u

@2u

=

(dx)2 + 2

dydx +

(dy)2:

@x2

@y@x

@y2

Как видим, дифференциал второго порядка имеет вид иной, чем дифференциал первого порядка (нарушение инвариантности).

Пример 3. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции

z = 2x2 3xy y2

Решение. 1-й способ. Имеем:

@z

@z

= 4x 3y;

= 3x 2y;

@x

@y

поэтому

@z

@z

dz =

dx +

dy = (4x 3y)dx (3x + 2y)dy:

@x

@y

Далее,

@2z

@2z

@2z

= 4;

= 3;

= 2;

@x2

@x@y

@y2

откуда, используя формулу из предыдущего примера, получим

@2z

@2z

@2z

d2z =

dx2 + 2

dxdy +

dy2 = 4dx2 6dxdy 2dy2:

@x2

@x@y

@y2

2-й способ. Дифференцированием находим:

dz = 4xdx 3(ydx + xdy) 2ydy = (4x 3y)dx (3x + 2y)dy:

Дифференцируя еще раз и помня, что dx è dy не зависят от x è y , получаем:

d2z = (4dx 3dy)dx (3dx + 2dy)dy = 4dx2 6dxdy 2dy2:

6

3. Производная сложной функции

Ограничимся рассмотрением функции двух переменных.

Теорема 5 Если функции x(t)

è y(t)

дифференцируемы в точке t;

а функция u =

f(x; y) дифференцируема в точке

(x; y);

ãäå

x = x(t) y = y(t) , то сложная функция

u = f(x(t); y(t)) также дифференцируема в точке t;

причем в этой точке

du

=

@u

dx

+

@u

dy

:

(8)

dt

@x dt

@y dt

Доказательство. Пусть приращению t переменной t в данной точке t соответствуют приращения x è y переменных x è y :

x = x(t + t) x(t); y = y(t + t) y(t):

Приращениям x è y переменных x è y соответствует приращение функции u :

u = f(x + x; y + y) f(x; y):

Так как эта функция дифференцируема в точке (x; y); ãäå x = x(t); y = y(t); òî

u = fx0 x + fy0 y + 1 x + 2 y;

(9)

ãäå 1 è 2 бесконечно малые при x ! 0

è y ! 0: Разделим (9) на t :

u

= f0

x

+ f0

y

+ 1

x

+ 2

y

:

(10)

t

t

x t

y t

t

По условию lim

x

=

dx

lim

y

=

dy

t: Кроме того, так как x(t) è

y(t)

t

dt ,

t

dt в точке

t!0

t!0

дифференцируемы в точке t;

то они непрерывны в этой точке, а, значит, при t ! 0 ìû

имеем x ! 0; y ! 0 и, как следствие, 1 ! 0; 2 ! 0:

Таким образом, при t ! 0 существует предел выражения, стоящего в правой части

du

= lim

u

равенства (10), а следовательно, существует

dt

t , причем

t!0

du = f0 dx

+ f0 dy ;

dt

x

dt

y

dt

что и требовалось доказать.

Замечание 7. Если функции x ; y

зависят от нескольких переменных, например

îò äâóõ:

x = (t; ); y = (t; );

то фиксируя сначала ; а затем t;

на основании (8) получаем

@u

=

@u @x

+

@u @y

;

@t

@x @t

@y @t

(11)

@u

=

@u @x

+

@u @y

:

@

@x @

@y @

7

Правило. Производная от сложной функции по каждой независимой переменной равняется сумме произведений частных производных этой функции по всем ее промежуточным аргументам на производные последних по íåçàвисимой переменной.

Пример 4. Найти производные от функции z = 2 x 2 ïî u è v; åñëè x = u sin v;

x +y

y = u cos v:

Решение. Имеем по формулам (11):

@z

@z @x

@z @y

=

+

=

@u

@x

@u

@y @u

=

(x2 + y2) 2x2

sin v +

2xy

cos v =

(x2 + y2)2

(x2 + y2)2

=

(u2 cos2 v u2 sin2 v) sin v

2u2 cos2 v sin v

=

u4

u4

=

cos 2v sin v 2 cos2 v sin v

=

u2

= sin v(cos2 v sin2 v 2 cos2 v) =

sin v

;

u2

u2

@z

=

@z

@x

+

@z @y

=

@v

@x @v

@y @v

=

y2 x2

u cos v

2xy

(

u sin v) =

(x2 + y2)2

(x2 + y2)2

=

u3 cos 2v cos v + 2u3 sin2 v cos v

=

u4

=

cos v

(cos2 v sin2 v + 2 sin2 v) =

cos v

:

u

u

4. Производная неявной функции

Пусть дано уравнение	F (x1	; x2; :::; xn; u) = a;	(12)
связывающее n + 1 величину, одну из которых, скажем			u , мы хотим считать неявной
функцией остальных ( a постоянная).

Теорема 6 (существования неявной функции) Если уравнение (12) обращает-

ся в тождество при x

1 =

x0

; :::; x

n

= x0

; u = u0; ò. å. F (x0

; :::; x0 ; u0)

a; è åñëè

1

0

n

0 0

1

n

в некоторой окрестности точки M(x1

; :::; xn; u

) функция F (x1; :::; xn; u)

непрерывна и

имеет непрерывные частные производные, при этом F 0

(M) = 0; то уравнение (12) в

окрестности точки M

u

60

0

0 , и притом

имеет решение u = f(x1; :::; xn);

a f(x1; :::; xn) = u

единственное. Причем функция f(x1

; :::; xn) непрерывна и имеет непрерывные частные

производные.

8

(Без доказательства).

Пусть условия теоремы выполняются. Найдем выражения для производных неявной функции u .

Если мы подставим в уравнение (12) вместо символа u функцию f(x1; :::; xn); то уравнение обратится в тождество F (x1; :::; xn; f(x1; :::; xn)) a: Следовательно, полный дифференциал функции F (x1; :::; xn; u); где под символом u понимается функция f(x1; :::; xn); равен нулю.

Используя свойство инвариантности, вычислим полный дифференциал и приравняем

åãî ê íóëþ:

@F

@F

@F

dx1

+ ::: +

dxn +

du = 0:

@x1

@xn

@u

Найдем отсюда du :

!

@F

@F

@F

du =

@x1

dx1 + ::: +

@xn

dxn;

= 0:

@u

@u

@u

!

6

@F

@F

Сравнивая последнее равенство с выражением полного дифференциала

::: + @u dxn , получаем производные неявной функции u :

@xn

	@u		@F		@u			@F
		=	@x1	; :::;		=	@xn			:
	@x1		@F		@xn		@F
			@u					@u

du = @u dx1 +

@x1

Особо отметим два частных случая.

1) F (x; y) = 0; y = y(x): Тогда

				dy
				dx
2) F (x; y; z) = 0; z = z(x; y): Тогда
	@z		@F
		=	@x		;
@x			@F
				@z

@F = @F@x :

@y

@F

@y@z = @F@y :

@z

Пример 5. Найти частные производные неявной функции z(x; y);

íèåì

x + 2y + 3z ez = 0:

Решение. По формуле (13) имеем

@z

1

@z

2

=

;

=

@x

3 ez

@y

3 ez

или, выражая ez из условия задачи, можем получить

@z

=

1

;

@z

=

2

:

@x

x + 2y + 3z 3

@y

x + 2y + 3z 3

(13)

заданной уравне-

Замечание 8. Если уравнение поверхности S задано в неявном виде F (x; y; z) = 0; то уравнение касательной плоскости в точке M0(x0; y0; z0)7890 имеет вид

(Fx0 )M0 (x x0) + (Fy0)M0 (y y0) + (Fz0)M0 (z z0) = 0;

уравнение же нормали к S в этой точке будет следующим:

x x0 = y y0 = z z0 :

(Fx0 )M0 (Fy0)M0 (Fz0)M0

9

5. Производная в данном направлении

è

градиент

функции

~

Определение 5. Производной функции z = f(x; y) в данном направлении l = P P1

называется

@z

f(P1) f(P )

=

lim

;

@l

P P1!0

P1P

ãäå f(P ) è f(P1) значения функции в точках P

è P1 .

Если функция z дифференцируема, то справедлива формула

@z

=

@z

cos +

@z

sin ;

(14)

@l

@x

@y

где угол, образованный вектором l ñ îñüþ Ox .

Аналогично определяется производная в данном направлении

l

для функции трех

аргументов u = f(x; y; z) . В этом случае

@u

=

@u

cos +

@u

cos +

@u

cos ;

(15)

@l

@x

@y

@z

где , , углы между направлением l и соответствующими координатными осями.

Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом
направлении.					z = 2x2 3y2 в точке P (1; 0) в направле-
Пример 6. Найти производную функции.
нии, составляющем с осью Ox óãîë 120
Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке P :
	@x = 4x;	@x P = 4;		@y	= 6y; @y P = 0:
	@z		@z	@z		@z

Применяя формулу (14), получаем:

@z@l = 4 cos 120 + 0 sin 120 = 2:

Знак минус показывает, что функция в данной точке и в данном направлении убывает.

Определение 6. Градиентом функции z = f(x; y) называется вектор, проекция-

ми которого на координатные оси являются соответствующие частные производные
данной функции:				@z			@z
			gradz =		i +			j:			(16)
			@x			@y
Производная данной функции в направлении l						связана с градиентом функции следующей
формулой:	@z								l
			= ïl gradz = (gradz;							);	(17)
		@l							jlj

10