Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Поверхности второго порядка

.pdf
Скачиваний:
75
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
420.29 Кб
Скачать

ТЕМА 15. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

Определение 1. Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, координаты которых x , y , z удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2F yz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0,

(1)

где A, B, C, D, E, F, G, H, K, L – действительные числа.

Это уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка.

Существует девять классов невырожденных поверхностей второго порядка, канонические уравнения которых можно получить из общего уравнения с помощью преобразований системы координат (параллельного переноса и поворота в пространстве осей координат). В результате этих преобразований получаем следующие канонические уравнения:

2

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

x

+

y

+

z

 

 

= 1

(эллипсоид, рис. 1)

(2)

 

2

2

2

 

a2

 

 

b

2

 

 

 

c2

 

 

 

 

x

+

y

 

 

z

= 1

(однополостный гиперболоид, рис. 2)

(3)

 

a2

 

b2

 

c2

 

 

x2

+

y2

 

z2

= −1

(двуполостный гиперболоид, рис. 3)

(4)

 

a2

 

b2

 

c2

 

 

x2

+

y2

 

z2

= 0

(конус второго порядка, рис. 4)

(5)

 

a2

 

b2

 

c2

 

 

x2

+

y2

 

= 2z

(эллиптический параболоид, рис. 5)

(6)

2

 

 

2

 

 

a2

 

 

b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

= 2z

(гиперболический параболоид, рис. 6)

(7)

 

a2

b2

 

 

x2

+

y2

= 1

 

 

(эллиптический цилиндр, рис. 7)

(8)

2

 

 

2

 

 

 

a2

 

 

b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

= 1

 

 

(гиперболический цилиндр, рис. 8)

(9)

 

a2

b2

 

 

 

x2 = 2py

(параболический цилиндр, рис. 9)

(10)

Рис. 1

1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

2

Рис. 8

Рис. 9

Определение 2. Поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой l (мы будем рассматривать прямые, параллельные координатной оси), называется цилиндрической поверхностью.

Линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих эту поверхность – образующей.

 

z

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (x,

y, z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

So

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

S

L

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим в плоскости Oxy линию L, уравнение которой

 

 

 

 

 

 

F (x, y) = 0.

(11)

Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz, и

направляющей L.

 

Покажем, что уравнение этой поверхности есть уравнение (11). Пусть

M (x, y, z)

– любая фиксированная точка цилиндрической поверхности. Через точку

M (x, y, z)

проведем образующую, точка N – точка пересечения этой образующей с направляющей цилиндрической поверхности. Точки M и N имеют одну и ту же абсциссу и ординату. Но точка N лежит на кривой L и ее координаты x и y удовлетворяют уравнению (11). Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки M (x, y, z), так как оно не содержит z. Координаты любой точки M (x, y, z) цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению (11). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (11) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость Oxy вне кривой L.

Вывод. Уравнение F (x, y) = 0, не содержащее z, если его отнести к системе координат Oxyz, является уравнением цилиндрической поверхности с образующими,

3

параллельными оси Oz, и направляющей L, которая в плоскости Oxy задается тем же уравнением F (x, y) = 0.

Аналогично можно

показать, что

уравнение F (x, z) = 0, не содержащее y, и

уравнение F (y, z) = 0,

не содержащее

x, определяют цилиндрические поверхности с

образующими, параллельными соответственно осям Oy и Ox.

Примерами цилиндрических поверхностей являются эллиптический цилиндр (рис. 7), гиперболический цилиндр (рис. 8) и параболический цилиндр (рис. 9). Их образующие параллельны оси Oz, а направляющими являются соответственно эллипс, гипербола и парабола, лежащие в плоскости Oxy.

Определение 3. Поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку P, называется конической поверхностью.

Линия L называется направляющей конической поверхности, точка P – ее вершиной,

а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность – образующей.

Примером конической поверхности является конус второго порядка (рис. 4). Направляющей для нее является эллипс с полуосями a и b, лежащий в плоскости z = c.

Форму и свойства поверхности второго порядка устанавливают с помощью метода сечений. Суть этого метода состоит в том, что исследуемая поверхность пересекается плоскостями, параллельными координатным плоскостям. По виду и свойствам линий, получаемых в сечениях, делается вывод о форме и свойствах самой поверхности. Сечения поверхности координатными плоскостями называются главными сечениями.

Рассмотрим метод сечений на примере эллипсоида, уравнение которого

2

2

2

 

x

+

y

+

z

= 1.

2

2

2

a

 

b

 

c

 

Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, так как в его уравнении текущие координаты в четных степенях.

Установим линию сечения эллипсоида плоскостью z = h ( |h| < c ). Для этого решим систему уравнений эллипсоида и плоскости z = h совместно:

 

 

 

 

z = h,

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 + b2 + c2 = 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

= 1 −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

b2

 

c2

 

 

 

 

или

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

a

 

1

c2

 

 

 

 

 

 

b

 

 

1

c2

 

 

 

q

 

h2

 

 

 

 

 

2

 

q

 

 

h2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из последнего уравнения видно, что линия сечения есть эллипс с полуосями

ar

 

 

 

и br

 

 

 

 

1

 

h2

1

 

h2 .

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

c

4

Свозрастанием |h| полуоси эллипса уменьшаются. При |h| = c сечение вырождается

вточку. При |h| > c эллипсоид с плоскостью z = h не пересекается.

Аналогично можно показать, что при пересечении эллипсоида плоскостями x = h (|h| < a) и y = h (|h| < b) также получаются эллипсы. Эллипсоид имеет вид, указанный на рис. 1.

Однополостный гиперболоид, определяемый уравнением (3)

x2 + y2 z2 = 1, a2 b2 c2

имеет три плоскости симметрии – координатные плоскости, так как текущие координаты x, y, z входят в уравнение в четных степенях.

В его сечениях плоскостями x = 0 и y = 0 получаются гиперболы. При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью z = h будет эллипс. Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h. При h = 0 получится эллипс, лежащий в плоскости Oxy и имеющий наименьшие полуоси a и b (рис. 2).

Двуполостный гиперболоид, определяемый уравнением (4)

 

x2

 

y2

z2

 

 

+

 

 

= −1,

 

a2

b2

c2

тоже имеет три плоскости симметрии – Oxy,

Oxz и Oyz.

Пересекая двуполостный гиперболоид координатными плоскостями Oxz и Oyz, получим гиперболы. Если его пересечь плоскостью z = h (при |h| > c ), то в сечении получится эллипс с полуосями, возрастающими с возрастанием |h|. При |h| = c эллипс вырождается в точку, а при |h| < c поверхность с плоскостью z = h, очевидно, не пересекается. Двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных полостей, чем и объясняется его название (рис. 3).

Эллиптический параболоид задается уравнением (6)

2z = x2 + y2 . a2 b2

При его пересечении плоскостями Oxz и Oyz получатся параболы, а при пересечении плоскостью z = h ( h > 0 ) – эллипс. Эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии: Oxz и Oyz, так как x и y входят в уравнение параболоида в четных степенях (рис. 5).

Гиперболический параболоид задается уравнением (7)

2z = x2 y2 . a2 b2

Пересечем эту поверхность плоскостью y = 0. Получим параболу с вершиной в начале координат. Плоскости y = h пересекают гиперболический параболоид по параболам, подобным первой, только их вершины лежат ниже плоскости Oxy. При пересечении поверхности плоскостями x = h получаем параболы, ветви которых направлены вниз, параллельны плоскости Oyz, а вершина поднимается с ростом h вверх. Наконец, линии

5

пересечения поверхности плоскостями z = h =6 0 представляют собой гиперболы. Причем при h > 0 действительной осью является ось, параллельная оси Ox и расположенная в плоскости Oxz, а при h < 0 ось гиперболы параллельна оси Oy (рис. 6).

Определение 4. Поверхностью вращения называется поверхность, получаемая вращением некоторой плоской линии вокруг заданной прямой, называемой осью вращения, лежащей с этой линией в одной плоскости.

Если линия лежит, например, в координатной плоскости Oyz и имеет уравнение

F (y, z) = 0, x = 0,

тогда при вращении ее вокруг оси Oz получается поверхность вращения, уравнение

p

которой имеет вид F (± x2 + y2, z) = 0. При вращении этой желинии вокруг оси Oy получится поверхность вращения, задаваемая уравнением F (y, ± x2 + z2) = 0.

Например, при вращении гиперболы

yb22 zc22 = 1,

x = 0

вокруг ее мнимой оси Oz, получим однополостный гиперболоид вращения, уравнение которого

 

 

x2

 

y2

 

 

z2

 

 

 

 

+

 

 

 

 

= 1.

 

 

b2

b2

c2

Если вращать эту же гиперболу

вокруг ее действительной оси Oy, получим

двуполостный гиперболоид вращения, который задается уравнением

 

x2

y2

 

z2

 

 

 

+

 

= −1.

 

c2

b2

c2

Пример 1.

Исследовать форму кривой L, заданной уравнениями

(x − 1)2 + y2 + z2 = 36, y + z = 0.

Определить вид ее проекции на плоскость Oxy.

Решение. Кривая L задана как линия пересечения сферы (x −1)2 + y2 + z2 = 36 с плоскостью y +z = 0 и, следовательно, есть окружность. Так как центр сферы C(1, 0, 0) лежит в плоскости сечения y + z = 0 , то центр окружности совпадает с точкой C, а ее радиус равен радиусу сферы, т. е. R = 6.

Установим форму проекции окружности L на плоскость Oxy. Исключая z из данной системы, получаем (x − 1)2 + 2y2 = 36 , или

(x − 1)2 + y2 = 1. 36 18

Отсюда заключаем, что искомая проекция – эллипс, главные оси которого сонаправлены

с осями Ox и Oy, центр находится в точке C1(1, 0), а полуоси равны a = 6 , b = 3 2 .

6

Пример 2.

Построить тело, ограниченное поверхностями:

y = x2,

z = 0,

y + z = 2.

Решение. y = x2 – параболический цилиндр. Его образующие параллельны оси Oz, а направляющей является парабола y = x2, лежащая в плоскости Oxy. z = 0 – плоскость Oxy. Она ограничивает искомое тело снизу. y + z = 0 – плоскость, параллельная оси Ox. Эта плоскость ограничивает тело сверху. Данные плоскости пересекаются по прямой, являющейся решением системы

z = 0,

y + z = 2.

Следовательно, y = 2 – искомая прямая.

Пример 3.

Построить тело, ограниченное поверхностями:

x2 + y2 = 2x,

y = 0,

z = 0,

z = a (a > 0).

Решение. x2 + y2 = 2x – цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Oz (так как в уравнение z не входит). Найдем вид направляющей данного цилиндра. Для этого выделим в уравнении x2 + y2 = 2x полные квадраты:

(x2 − 2x + 1) + y2 − 1 = 0 (x − 1)2 + y2 = 1.

Значит, в плоскости

Oxy мы имеем окружность с центром в точке (1, 0) и радиусом

R = 1.

 

Плоскость y = 0

(Oxz) делит цилиндр пополам. Возьмем ту его часть, в которой

y ≥ 0.

 

Плоскости z = 0 и параллельная ей z = a ограничивают искомое тело снизу и сверху.

Пример 4.

7

Построить тело, ограниченное поверхностями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

+ y2

 

z2

= 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

+ y2

+ z2

= 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

− z

2

z = 0 (z > 0).

2

+ y

2

+ z

2

= 3 –

Решение. x + y

 

 

= 1 – однополостный

гиперболоид; x

 

 

сфера с центром в начале координат и радиусом R = 3 ; z = 0 – плоскость.

 

 

 

 

В пересечении гиперболоида и плоскости получим окружность

x2 + y2

= 1 с

центром в начале координат и радиусом r = 1.

 

 

 

 

 

 

 

Найдем пересечение однополостного гиперболоида и сферы. Это множество точек удовлетворяет системе

x2 + y2 + z2 = 3, x2 + y2 − z2 = 1.

Откуда находим

x2 + y2 = 2, z = ±1.

Сечения представляют собой окружности x2 + y2 = 2, лежащие в плоскостях z = −1 и z = 1. Так как z > 0, сечение плоскостью z = −1 отбрасываем.

В результате получили тело, ограниченное сверху сферой (до z = 1 ), сбоку однополостным гиперболоидом (0 < z < 1), снизу плоскостью z = 0.

8