kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Поверхности второго порядка
.pdfТЕМА 15. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Определение 1. Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, координаты которых x , y , z удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2F yz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, |
(1) |
где A, B, C, D, E, F, G, H, K, L – действительные числа.
Это уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка.
Существует девять классов невырожденных поверхностей второго порядка, канонические уравнения которых можно получить из общего уравнения с помощью преобразований системы координат (параллельного переноса и поворота в пространстве осей координат). В результате этих преобразований получаем следующие канонические уравнения:
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
|
|
= 1 |
(эллипсоид, рис. 1) |
(2) |
||||
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||||
|
a2 |
|
|
b |
2 |
|
|
|
c2 |
|
|
|
||
|
x |
+ |
y |
|
|
− |
z |
= 1 |
(однополостный гиперболоид, рис. 2) |
(3) |
||||
|
a2 |
|
b2 |
|
c2 |
|
||||||||
|
x2 |
+ |
y2 |
|
− |
z2 |
= −1 |
(двуполостный гиперболоид, рис. 3) |
(4) |
|||||
|
a2 |
|
b2 |
|
c2 |
|
||||||||
|
x2 |
+ |
y2 |
|
− |
z2 |
= 0 |
(конус второго порядка, рис. 4) |
(5) |
|||||
|
a2 |
|
b2 |
|
c2 |
|
||||||||
|
x2 |
+ |
y2 |
|
= 2z |
(эллиптический параболоид, рис. 5) |
(6) |
|||||||
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
a2 |
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
y |
|
|
= 2z |
(гиперболический параболоид, рис. 6) |
(7) |
||||||
|
a2 |
b2 |
|
|||||||||||
|
x2 |
+ |
y2 |
= 1 |
|
|
(эллиптический цилиндр, рис. 7) |
(8) |
||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
a2 |
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
y |
|
|
= 1 |
|
|
(гиперболический цилиндр, рис. 8) |
(9) |
||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|||||||||
x2 = 2py |
(параболический цилиндр, рис. 9) |
(10) |
Рис. 1
1
Рис. 2 |
Рис. 3 |
Рис. 4 |
Рис. 5 |
Рис. 6 |
Рис. 7 |
2
Рис. 8 |
Рис. 9 |
Определение 2. Поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой l (мы будем рассматривать прямые, параллельные координатной оси), называется цилиндрической поверхностью.
Линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих эту поверхность – образующей.
|
z |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (x, |
y, z) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
So |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
N |
S |
L |
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим в плоскости Oxy линию L, уравнение которой |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
F (x, y) = 0. |
(11) |
Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz, и
направляющей L. |
|
Покажем, что уравнение этой поверхности есть уравнение (11). Пусть |
M (x, y, z) |
– любая фиксированная точка цилиндрической поверхности. Через точку |
M (x, y, z) |
проведем образующую, точка N – точка пересечения этой образующей с направляющей цилиндрической поверхности. Точки M и N имеют одну и ту же абсциссу и ординату. Но точка N лежит на кривой L и ее координаты x и y удовлетворяют уравнению (11). Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки M (x, y, z), так как оно не содержит z. Координаты любой точки M (x, y, z) цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению (11). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (11) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость Oxy вне кривой L.
Вывод. Уравнение F (x, y) = 0, не содержащее z, если его отнести к системе координат Oxyz, является уравнением цилиндрической поверхности с образующими,
3
параллельными оси Oz, и направляющей L, которая в плоскости Oxy задается тем же уравнением F (x, y) = 0.
Аналогично можно |
показать, что |
уравнение F (x, z) = 0, не содержащее y, и |
уравнение F (y, z) = 0, |
не содержащее |
x, определяют цилиндрические поверхности с |
образующими, параллельными соответственно осям Oy и Ox.
Примерами цилиндрических поверхностей являются эллиптический цилиндр (рис. 7), гиперболический цилиндр (рис. 8) и параболический цилиндр (рис. 9). Их образующие параллельны оси Oz, а направляющими являются соответственно эллипс, гипербола и парабола, лежащие в плоскости Oxy.
Определение 3. Поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку P, называется конической поверхностью.
Линия L называется направляющей конической поверхности, точка P – ее вершиной,
а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность – образующей.
Примером конической поверхности является конус второго порядка (рис. 4). Направляющей для нее является эллипс с полуосями a и b, лежащий в плоскости z = c.
Форму и свойства поверхности второго порядка устанавливают с помощью метода сечений. Суть этого метода состоит в том, что исследуемая поверхность пересекается плоскостями, параллельными координатным плоскостям. По виду и свойствам линий, получаемых в сечениях, делается вывод о форме и свойствах самой поверхности. Сечения поверхности координатными плоскостями называются главными сечениями.
Рассмотрим метод сечений на примере эллипсоида, уравнение которого
2 |
2 |
2 |
|
||
x |
+ |
y |
+ |
z |
= 1. |
2 |
2 |
2 |
|||
a |
|
b |
|
c |
|
Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, так как в его уравнении текущие координаты в четных степенях.
Установим линию сечения эллипсоида плоскостью z = h ( |h| < c ). Для этого решим систему уравнений эллипсоида и плоскости z = h совместно:
|
|
|
|
z = h, |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 + b2 + c2 = 1, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= 1 − |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
c2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
или |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
a |
|
1 |
− |
c2 |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
1 |
− |
c2 |
|
|||||||||
|
|
q |
|
h2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
q |
|
|
h2 |
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из последнего уравнения видно, что линия сечения есть эллипс с полуосями
ar |
|
|
|
и br |
|
|
|
|
1 |
|
h2 |
1 |
|
h2 . |
|||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
c |
|
|
c |
4
Свозрастанием |h| полуоси эллипса уменьшаются. При |h| = c сечение вырождается
вточку. При |h| > c эллипсоид с плоскостью z = h не пересекается.
Аналогично можно показать, что при пересечении эллипсоида плоскостями x = h (|h| < a) и y = h (|h| < b) также получаются эллипсы. Эллипсоид имеет вид, указанный на рис. 1.
Однополостный гиперболоид, определяемый уравнением (3)
x2 + y2 − z2 = 1, a2 b2 c2
имеет три плоскости симметрии – координатные плоскости, так как текущие координаты x, y, z входят в уравнение в четных степенях.
В его сечениях плоскостями x = 0 и y = 0 получаются гиперболы. При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью z = h будет эллипс. Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h. При h = 0 получится эллипс, лежащий в плоскости Oxy и имеющий наименьшие полуоси a и b (рис. 2).
Двуполостный гиперболоид, определяемый уравнением (4) |
||||||
|
x2 |
|
y2 |
z2 |
||
|
|
+ |
|
− |
|
= −1, |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||
тоже имеет три плоскости симметрии – Oxy, |
Oxz и Oyz. |
Пересекая двуполостный гиперболоид координатными плоскостями Oxz и Oyz, получим гиперболы. Если его пересечь плоскостью z = h (при |h| > c ), то в сечении получится эллипс с полуосями, возрастающими с возрастанием |h|. При |h| = c эллипс вырождается в точку, а при |h| < c поверхность с плоскостью z = h, очевидно, не пересекается. Двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных полостей, чем и объясняется его название (рис. 3).
Эллиптический параболоид задается уравнением (6)
2z = x2 + y2 . a2 b2
При его пересечении плоскостями Oxz и Oyz получатся параболы, а при пересечении плоскостью z = h ( h > 0 ) – эллипс. Эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии: Oxz и Oyz, так как x и y входят в уравнение параболоида в четных степенях (рис. 5).
Гиперболический параболоид задается уравнением (7)
2z = x2 − y2 . a2 b2
Пересечем эту поверхность плоскостью y = 0. Получим параболу с вершиной в начале координат. Плоскости y = h пересекают гиперболический параболоид по параболам, подобным первой, только их вершины лежат ниже плоскости Oxy. При пересечении поверхности плоскостями x = h получаем параболы, ветви которых направлены вниз, параллельны плоскости Oyz, а вершина поднимается с ростом h вверх. Наконец, линии
5
пересечения поверхности плоскостями z = h =6 0 представляют собой гиперболы. Причем при h > 0 действительной осью является ось, параллельная оси Ox и расположенная в плоскости Oxz, а при h < 0 ось гиперболы параллельна оси Oy (рис. 6).
Определение 4. Поверхностью вращения называется поверхность, получаемая вращением некоторой плоской линии вокруг заданной прямой, называемой осью вращения, лежащей с этой линией в одной плоскости.
Если линия лежит, например, в координатной плоскости Oyz и имеет уравнение
F (y, z) = 0, x = 0,
тогда при вращении ее вокруг оси Oz получается поверхность вращения, уравнение
p
которой имеет вид F (± x2 + y2, z) = 0. При вращении этой же√линии вокруг оси Oy получится поверхность вращения, задаваемая уравнением F (y, ± x2 + z2) = 0.
Например, при вращении гиперболы
yb22 − zc22 = 1,
x = 0
вокруг ее мнимой оси Oz, получим однополостный гиперболоид вращения, уравнение которого
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
z2 |
|||||
|
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
= 1. |
||
|
|
b2 |
b2 |
c2 |
||||||||
Если вращать эту же гиперболу |
вокруг ее действительной оси Oy, получим |
|||||||||||
двуполостный гиперболоид вращения, который задается уравнением |
||||||||||||
|
x2 |
y2 |
|
z2 |
||||||||
|
|
− |
|
+ |
|
= −1. |
||||||
|
c2 |
b2 |
c2 |
Пример 1.
Исследовать форму кривой L, заданной уравнениями
(x − 1)2 + y2 + z2 = 36, y + z = 0.
Определить вид ее проекции на плоскость Oxy.
Решение. Кривая L задана как линия пересечения сферы (x −1)2 + y2 + z2 = 36 с плоскостью y +z = 0 и, следовательно, есть окружность. Так как центр сферы C(1, 0, 0) лежит в плоскости сечения y + z = 0 , то центр окружности совпадает с точкой C, а ее радиус равен радиусу сферы, т. е. R = 6.
Установим форму проекции окружности L на плоскость Oxy. Исключая z из данной системы, получаем (x − 1)2 + 2y2 = 36 , или
(x − 1)2 + y2 = 1. 36 18
Отсюда заключаем, что искомая проекция – эллипс, главные оси которого сонаправлены
√
с осями Ox и Oy, центр находится в точке C1(1, 0), а полуоси равны a = 6 , b = 3 2 .
6
Пример 2.
Построить тело, ограниченное поверхностями:
y = x2,
z = 0,
y + z = 2.
Решение. y = x2 – параболический цилиндр. Его образующие параллельны оси Oz, а направляющей является парабола y = x2, лежащая в плоскости Oxy. z = 0 – плоскость Oxy. Она ограничивает искомое тело снизу. y + z = 0 – плоскость, параллельная оси Ox. Эта плоскость ограничивает тело сверху. Данные плоскости пересекаются по прямой, являющейся решением системы
z = 0,
y + z = 2.
Следовательно, y = 2 – искомая прямая.
Пример 3.
Построить тело, ограниченное поверхностями:
x2 + y2 = 2x,
y = 0,
z = 0,
z = a (a > 0).
Решение. x2 + y2 = 2x – цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Oz (так как в уравнение z не входит). Найдем вид направляющей данного цилиндра. Для этого выделим в уравнении x2 + y2 = 2x полные квадраты:
(x2 − 2x + 1) + y2 − 1 = 0 (x − 1)2 + y2 = 1.
Значит, в плоскости |
Oxy мы имеем окружность с центром в точке (1, 0) и радиусом |
R = 1. |
|
Плоскость y = 0 |
(Oxz) делит цилиндр пополам. Возьмем ту его часть, в которой |
y ≥ 0. |
|
Плоскости z = 0 и параллельная ей z = a ограничивают искомое тело снизу и сверху.
Пример 4.
7
Построить тело, ограниченное поверхностями: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
|
z2 |
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
+ z2 |
= 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
− z |
2 |
z = 0 (z > 0). |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
= 3 – |
||||
Решение. x + y |
|
|
= 1 – однополостный |
гиперболоид; x |
|
|
||||||||
сфера с центром в начале координат и радиусом R = 3 ; z = 0 – плоскость. |
|
|
|
|
||||||||||
В пересечении гиперболоида и плоскости получим окружность |
x2 + y2 |
= 1 с |
||||||||||||
центром в начале координат и радиусом r = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем пересечение однополостного гиперболоида и сферы. Это множество точек удовлетворяет системе
x2 + y2 + z2 = 3, x2 + y2 − z2 = 1.
Откуда находим
x2 + y2 = 2, z = ±1.
Сечения представляют собой окружности x2 + y2 = 2, лежащие в плоскостях z = −1 и z = 1. Так как z > 0, сечение плоскостью z = −1 отбрасываем.
В результате получили тело, ограниченное сверху сферой (до z = 1 ), сбоку однополостным гиперболоидом (0 < z < 1), снизу плоскостью z = 0.
8