kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Производная обратной функции

1

f ′(x)

ЛЕКЦИЯ 8. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ. ПРОИЗВОДНЫЕ НЕЯВНЫХ

ФУНКЦИЙ.

1.Производная обратной функции

Утверждение 1. Пусть дана функция y = f (x) для которой существует обратная функция x = f −1(y) и пусть функция y = f (x) имеет отличную от нуля производную f ′(x) в точке x. Тогда обратная функция f −1(y) также имеет производную в соответствующей точке y = f (x), и эта производная равна .

Таким образом, справедлива формула

	{f −1(y)}′			1					(1)
				=				.
						f ′(x)
Доказательство. Пусть	y приращение							переменной	y, ему соответствует
приращение x = f −1(y + y) − f −1(y) обратной функции. Можно показать, ввиду
однозначности самой функции y = f (x), что если								y 6= 0, то	x 6= 0, причем x и y
стремятся к нулю одновременно. Следовательно, имеем
		x	=		1		.		(2)
					y
		y			x

Если x → 0, то знаменатель правой части этого равенства стремится к пределу f ′(x) =6 0, а значит существует предел от правой части этого равенства.

lim	1	=	1		=	1	.
	y		lim	y
x→0						f ′(x)
	x		x→0	x

Следовательно, существует предел и от левой части; он и представляет собой

производную {f −1(y)}′.

′

1

Итак, имеем формулу xy

=

.

yx′

Замечание 1. Обычно

аргумент

функции обозначается

x , в связи

с

этим,

рассматривая функцию f −1

как функцию переменной x , перепишем формулу (1) в виде

{f −1

(x)}′

1

=

.

f ′(y)

Выведем производные обратных тригонометрических функций.

′

1

1. (arcsin x)

=

√

.

1 − x2

Функция y

= arcsin x

является обратной по отношению к функции x

=

sin y.

Поэтому по правилу дифференцирования обратной функции получим

′

1

1

1

1

(arcsin x)

=

=

=

=

,

(sin y)y′

cos y

p

√

1 − sin2 y

1 − x2

1

где −π2 < y < π2 .

1

2. (arccos x)

′

= −√

.

1 − x2

Таким же приемом получим

′

1

1

1

1

(arccos x)

=

= −

=

= −√

.

(cos y)y′

sin y

p

1 − cos2 y

1 − x2

′

1

3. (arctg x)

=

√

.

1 + x2

π <

Функция y

= arctg

x является обратной по отношению к функции x

= tg

y (

−

y < π ).

2

2

1

xy′ =

.

cos2 y

Следовательно,

1

yx′ =

= cos2 y,

′

xy

но

1

cos2 y =

;

1 + tg2 y

так как tg y = x, то окончательно получим:

y′

=

1

.

2

1 + x

Аналогично, выводится

4. (arcctg x)

′

= −

1

.

1 + x2

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Найти производную y = arccos tg x.

Решение.

′

′

1

′

1

1

y

= (arccos tg x)

= −

(tg x)

= −

.

p

p

cos2 x

1 − tg2 x

1 − tg2 x

Пример 2.

Найти производную y = arctg4 x.

Решение.

y′ = (arctg4 x)′ = 4 arctg3 x(arctg x)′

= 4 arctg3 x

1

.

2

1 + x

2.Производная сложнопоказательной функции

Функцию вида

y = u(x)v(x) (u(x) > 0),

где и основание, и показатель степени зависят от x, называют сложнопоказательной. Функцию uv можно представить uv = ev ln u, тогда

y′ = (uv )′ = ev ln u(v ln u)′ = uv uv u′ − v′ ln u .

2

Можно поступить иначе, предварительно прологарифмировав функцию y :

ln y = ln uv = v ln u.

Дифференцируя это тождество по x

и помня, что ln y сложная функция от x,

получим

′

y′

′

1

′

(ln y)

=

= v

ln u + v ·

· u

,

y

u

откуда

v′ ln u + v · u · u′ .

y′ = y

1

Операция, состоящая в последовательном применении к функции f (x) сначала логарифмирования, а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а ее результат

[ln f (x)]′ = f ′(x) f (x)

называется логарифмической производной от функции f (x).

Логарифмическое дифференцирование может быть применено для отыскания производных не только от функций сложнопоказательного типа. Так, например, для отыскания производной от произведения

y = 2x√x2 + 4 sin2 x

удобно применять логарифмическое дифференцирование, что позволяет быстрее найти результат. Тогда ln y = ln(2x√x2 + 4 · sin2 x).

По свойству логарифмической функции имеем

√

ln y = ln 2x + ln x2 + 4 + ln sin2 x

или

ln y = x ln 2 + 12 ln(x2 + 4) + 2 ln sin x.

Дифференцируя это тождество по x и помня, что в левой части равенства стоит сложная

функция от x,

получим

y′

= ln 2 +

x

+

2 cos x

y

x2 + 4

sin x

или

x

′

= y(ln 2 +

+ 2 ctg x),

y

x2 + 4

или

√

x

′

x

2

2

y

= 2

x

+ 4 · sin

x(ln 2 +

+ 2 ctg x).

x2 + 4

Пример 3.

Найти y′,

если y = (ctg x)x2 .

Решение. Функция является сложнопоказательной. Логарифмируем обе части уравнения:

ln y = ln(ctg x)x2 = x2 ln ctg x.

3

ln2 t

Дифференцируем обе части уравнения:
	y′	= 2x ln ctg x + x2		1		−1	.
	y
				ctg x sin2 x
Тогда			x2
					2
y′ = 2x ln ctg x −					(ctg x)x			.
			ctg x sin2 x

3.Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть зависимость y от x выражена через параметр t, т. е.

x = ϕ(t),

a ≤ t ≤ b.

y = ψ(t),

Это надо понимать так. Для функции x = ϕ(t) существует обратная функция t = ϕ−1(x) , и поэтому можно записать явную зависимость

y = ψ(ϕ−1(x)).

Найдем yx′ через ψt′, ϕ′t. Дифференцируем y как сложную функцию от x. Получим

′

′

′

′

−1

′

ψ′

′

t

yx = ψt

· tx

= ψt

· (ϕ

(x))x =

,

(ϕ

(t) 6= 0).

ϕt′

Короче это можно записать так:

′

yx

=

yt

.

′

xt

Пример 4. Найти

dxdy ,

если x = ln3 t , y = cos2 3t .

dx

dy :

Решение. Функция задана параметрически. Найдем

и

dt

dt

dx

= 3 ln

2

1

=

3 ln2 t

t

,

dt

t

t

dydt = 2 cos 3t(− sin 3t)3 = −3 sin 6t,

тогда

dy

dxdy = dxdt = −t sin 6t .

dt

Пример 5. Найти производную yx′ , если x = a cos t, y = a sin t. Имеем

′		yt′		(a sin t)t′		a cos t
yx	=		=		=		= − ctg t.
		x′		(a cos t)′		a sin t
		t		t		−

4

4.Производные неявных функций

Пусть y = y(x) есть неявная функция от x, т. е. функция задана некоторым уравнением F (x, y) = 0, таким, что F (x, y(x)) ≡ 0. Тогда чтобы найти производную функции y = y(x) , нужно продифференцировать по x обе части уравнения F (x, y(x)) = 0 с учетом того, что y есть функция от x.

Пример 6. Найти производную y ′, если функция y задана уравнением

y2 + x sin y = 0.

Решение. Дифференцируем уравнение по x :

2yy′ + sin y + x cos y · y′ = 0.

Отсюда выразим y′. Получим

sin y

y′ = −2y + x cos y .

Пример 7. Вычислить значение производной неявной функции xy2 = 4 в точке

M (1, 2).

Решение. Найдем производную:
x′y2 + x2yy′		= 0, y′ = −		y
					.
				2x
При x = 1, y = 2, получим		2
′	= −		= −1.
y
		2 · 1

5