kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Общие сведения о линейных пространствах

ТЕМА 9. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

1.Понятие линейного пространства

1.1.Определение линейного пространства

Пусть на множестве R для любых его элементов a и b определены операции сложения a + b и умножения на число αa ( α произвольное действительное число), причем сумма и произведение принадлежат R : для любых a, b R a + b R ; если α число, то αa R . Будем считать, что эти операции удовлетворяют следующим восьми условиям:

1.a + b = b + a;

2.(a + b) + c = a + (b + c);

3. В R существует элемент 0 (нулевой элемент) такой, что a + 0 = a для любого

aR;

4.Для всякого a R существует противоположный элемент (−a) такой, что a + (−a) = 0.

Если α и β числа, то:

5.	α(a + b) = αa + αb,	a, b R;
6.	(α + β)a = αa + βa,	a R;

7.(αβ)a = α(βa);

8.1 · a = a.

Такое множество R называется линейным пространством. Примерами линейных пространств могут служить векторы на плоскости или в пространстве, множество матриц одной размерности и т. д.

Элементы линейного пространства, независимо от их природы, будем называть

векторами.

1.2.Линейная зависимость векторов

Система векторов a1, . . . , an из R называется линейно независимой, если равенство

α1a1 + α2a2 + . . . + αnan = 0

( )

выполняется только в том случае, когда все числа α1, . . . , αn равняются нулю. Если же равенство ( ) выполняется хотя бы при одном αi , не равном нулю, то система линейно зависима (сравнить с определением 2). Линейно зависимая система a1, . . . , an обладает тем свойством, что один из векторов может быть линейно выражен через другие.

Например, an = α1a1 + . . . + αn−1an−1, где α1, . . . , αn−1 некоторые числа. Если система линейно независима, то ни один из векторов не выражается линейно через другие.

Пусть теперь линейно независимая система векторов из R такова, что добавление к ней еще одного любого ненулевого вектора делает систему линейно зависимой. Такая линейно независимая система называется максимальной.

Если в R существует одна максимальная линейно независимая система из n векторов, то любая другая максимальная линейно независимая система векторов содержит также n векторов. Число n называется размерностью пространства, а

1

максимальная линейно независимая система векторов базисом.	Будем обозначать
n -мерное пространство, т. е. пространство с базисом, состоящим из	n векторов, через
Rn .

1.3.Координаты вектора в Rn

Пусть a1, . . . , an Rn базис Rn и a Rn . Тогда вектор a может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса: a = α1a1 + . . . + αnan .

Покажем, что такое представление единственно. Действительно, если a = β1a1 + . . . + βnan , то из равенства

α1a1 + . . . + αnan = β1a1 + . . . + βnan

следует (α1 − β1)a1 + . . . + (αn − βn)an = 0 . Если какая-нибудь разность αi − βi =6 0 , то вектор ai линейно выражается через остальные векторы:

1

ai = −αi − βi ((α1 − β1)a1 + . . . + (αi−1 − βi−1)ai−1+ +(αi+1 − βi+1)ai+1 + . . . + (αn − βn)an )

и a1, . . . , an не базис, что противоречит предположению.

Числа α1, . . . , αn называются координатами вектора a в базисе a1 ,..., an и a = (α1, . . . , αn) .

1.4.Арифметическое n-мерное пространство

Рассмотрим множество строк вида

(a1, . . . , an), a1, . . . , an − числа,

и введем на этом множестве операции сложения векторов и умножения вектора на число:

a) (a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn); б) α(a1, . . . , an) = (αa1, . . . , αan).

Можно проверить, что при введении таких операций получается линейное пространство. Векторы (1, 0, . . . , 0) , (0, 1, . . . , 0) ,..., (0, 0, . . . , 1) образуют его базис, а число элементов базиса равно n . Полученное пространство называется арифметическим n -мерным пространством Rn . Ясно, что кроме указанного выше базиса, в Rn существуют и другие. Для их поиска полезно пользоваться следующим критерием линейной независимости.

Пусть даны векторы

a1 = (a11, a12, . . . , a1n ), a2 = (a21, a22, . . . , a2n ), . . . , as = (as1, as2, . . . , asn).

Так как выше мы уже построили базис, состоящий из n векторов, то предположим, что s ≤ n .

Теорема 3 (без доказательства). Векторы a1, . . . , as линейно независимы, если ранг

	a11	. . .	a1n
матрицы	a21	. . . a2n			равен s .
	..	...	..
	.		.
	as1	. . .	asn

Дадим теперь другое определение ранга матрицы.

Определение 8. Рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых строк.

2