Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Формула Тейлора для функций нескольких переменных

.pdf
Скачиваний:
49
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
171.33 Кб
Скачать
отрезком прямой. Уравнения этого
M0(x0; y0)

ЛЕКЦИЯ 17. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.Формула Тейлора для функций двух независимых переменных

Пусть функция u = f(x; y) имеет в окрестности точки непрерывные част-

ные производные до второго порядка включительно. Возьмем в этой окрестности точку M1(x0 + x; y0 + y): Соединим точки M0 è M1

отрезка в параметрической форме имеют вид:

x = x0 + t x; y = y0 + t y; (0 t 1) ( x = x x0; y = y y0):

Тогда вдоль этого отрезка наша функция u = f(x; y) будет функцией одного переменного

t :

f(x; y) = f(x0 + t x; y0 + t y) = F (t):

Легко заметить, что

f(x0 + x; y0 + y) f(x0; y0) = F (1) F (0):

Используя формулу дифференцирования сложной функции, находим

F 0(t) = x

@f(x0 + t x; y0 + t y)

+ y

@f(x0 + t x; y0 + t y)

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@y

 

 

 

 

 

 

Теперь вычислим вторую производную от функции F (t) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F 00(t) =

@2f

( x)2 + 2

 

@2f

x y +

@2f

( y)2

:

 

 

 

 

 

@x2

@x@y

 

@y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем формулу Маклорена относительно переменной t для функции F (t) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F 0(0)

 

F 00( t)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (t) = F (0) +

 

 

t +

 

 

 

 

t ;

 

 

 

 

0 < < 1:

 

 

 

1!

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

Подставляя в последнюю формулу производные F 0; F 00

 

 

и полагая t = 1;

получим фор-

мулу Тейлора:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x; y) = f(x0; y0) +

1

 

@f(x0; y0)

(x x0) +

@f(x0; y0)

(y y0) +

 

1!

 

@x

 

 

 

 

 

 

 

@y

 

 

 

1

 

@2f(x

0

+ (x

x0); y0 + (y

 

 

 

 

y

))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

(x x0)2 +

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+2

@2f(x0 + (x x0); y0 + (y y0))

(x

 

x

)(y

 

y

)+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x@y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

@2f(x

0

+ (x

 

x0); y0 + (y

 

 

 

y

))

 

 

 

 

 

:

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

(y y0)2

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Пример 1. Задана функция f(x; y) = ax2 + 2bxy + cy2 . Разложить функцию f(x + h; y + k) по степеням h è k .

Решение. Найдем частные производные функции f(x; y) :

 

@f

= 2ax + 2by;

 

@f

= 2bx + 2cy;

 

@x

 

@y

 

 

 

 

 

 

 

@2f

 

= 2a;

@2f

= 2c;

 

@2f

= 2b:

@x2

@y2

 

@x@y

Применим формулу (1):

f(x + h; y + k) = ax2 + 2bxy + cy2 + [(2ax + 2by)h + (2bx + 2cy)k]+ +[2ah2 + 4bhk + 2ck2]=2!

2. Экстремумы ФНП

Пусть заданы функция u = f(~x); ~x = (x1; :::; xn) и точка ~x0 = (x01; :::; x0n) .

Определение 1. Функция u = f(~x) имеет локальный максимум (минимум) в точ- ке ~x0; если существует окрестность этой точки такая, что для любого ~x из этой окрестности имеет место неравенство

f(~x) f(~x0) (f(~x) f(~x0)):

Точку ~x0 будем называть точкой локального максимума (минимума), а соответствующее значение функции f(~x0) максимальным (минимальным) значением функции.

Локальные максимумы и минимумы объединяются общим названием локальный экстремум . Из определения экстремума вытекает, что в достаточно малой окрестности точки ~x0 приращение функции u = f(~x) f(~x0) не меняет знака: u 0 в случае локального

максимума и u 0 в случае локального минимума.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума) Пусть функция u = f(~x) имеет локальный экстремум в точке ~x0: Тогда если существуют частные производные

первого порядка @f

 

 

 

0

 

 

 

 

(i = 1; :::; n) в точке ~x ; то все они обращаются в нуль в этой

точке:

@xi

 

 

 

@f(~x0)

 

 

 

 

 

 

= 0 (i = 1; :::; n):

(2)

 

 

 

 

@xi

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Докажем, что @f(~x0)=@x1 = 0: Зафиксируем переменные x2 =

x02; :::; xn = x0n: Тогда получим функцию u = f(x1; x02; :::; x0n) от одного переменного x1; причем эта функция имеет локальный экстремум в точке x01: Поэтому, в силу необходимого условия экстремума функции одной переменной, заключаем, что производная от этой функции по переменной x1 должна быть равна нулю в точке x01: Но эта производная является частной производной функции f(~x) по переменной x1 в точке x01; ò. å.

@f(x01; x02; :::; x0n) = @f(x0) = 0: @x1 @x1

Аналогично рассматриваются и другие случаи. Теорема доказана.

2

Замечание 1. Условие (2) не является достаточным для того, чтобы в точке ~x0

был экстремум функции f:

 

 

 

 

Пример 2. Функция u = x2y имеет частные производные

@u

=

= 2xy , @u

=

x2; которые обращаются в нуль в точке (0; 0): Однако точка (0; 0)

@x

 

@y

 

не является точкой

экстремума, так как в любой окрестности этой точки u = x2y 0 = x2y принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Определение 2. Точки, в которых существуют непрерывные частные производные от f; удовлетворяющие уравнению (2), будем называть стационарными точками.

Рассмотрим достаточные условия экстремума функции двух переменных. Пусть функция u = f(x; y) имеет в окрестности стационарной точки M0(x0; y0) непрерывные

частные производные.

Формула Тейлора для функции u = f(x; y) в окрестности стационарной точки, с учетом равенства нулю в ней частных производных первого порядка, примет вид

f(x0 + x; y0 + y) f(x0

; y0) = 2

@2f(x

0

@x2

0

 

x2

+

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

+ x; y

 

+ y)

 

 

 

 

@2f x

0 +

x; y

0

+ y)

 

 

 

@2f(x

0

+ x; y

0

+ y)

 

:

+2

(

 

 

 

 

x y +

 

 

 

y2

 

 

@x@y

 

 

 

 

 

 

@y2

 

 

В случае минимума для любых достаточно малых значений x , y правая часть в этой

формуле должна быть положительной, а в случае максимума отрицательной. В силу предположения о непрерывности вторых частных производных для этого достаточно, чтобы выражение

R =

@2f(x0; y0)

x2

+ 2

@2f(x0

; y0)

x y +

@2f(x0

; y0)

y2

@x2

 

@x@y

@y2

 

 

 

 

 

сохраняло постоянным знак для малых по абсолютной величине значений x è y .

Исследуем условия, которые накладываются этим требованием на производные, входящие в R . Обозначим

a11

=

@2f(x0

; y0)

; a12

=

@2f(x0; y0)

=

@2f(x0; y0)

= a21; a22

=

@2f(x0

; y0)

:

@x2

 

@x@y

@y@x

 

 

@y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть a11 è a22 не обращаются в нуль. Тогда R можно переписать в виде

R = a11

x + y a11

 

+ y2 11

a11 12 :

 

 

a12

2

 

a

a22 a2

Отсюда находим, что достаточным условием для максимума будет выполнение неравенств

a11a22 a212 > 0; a11 < 0:

Аналогично, для минимума достаточным условием будет выполнение неравенств

a11a22 a212 > 0; a11 > 0:

3

Обозначим выражение a11a22 a122

через ; тогда

 

 

 

= @2f(x0; y0) @2f(x0; y0)

 

@2f(x0; y0) 2 =

@x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@2f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@2f

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

@x

 

@y

 

 

 

@x@y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x@y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@2f

@x@y : @2f

@y2

Таким образом, имеет место следующее правило исследования дифференцируемых функ-

ций двух переменных на экстремум в стационарных точках:

1)

вычислить определитель

 

a12

a22

;

 

=

 

 

 

a11

a12

 

 

 

 

 

имеет

 

2) åñëè > 0 , то функция u = f(x; y)

в точке (x0; y0) экстремум, причем в

 

 

 

 

 

 

этой точке будет максимум, если a11 < 0

и минимум, если a11 > 0;

3)

åñëè < 0 , то функция u = f(x; y) в точке (x0; y0) экстремума не имеет;

4)

при равенстве нулю определителя

для исследования стационарной точки на

экстремум необходимо обратиться к непосредственной проверке знакопостоянства прира-

щения u в окрестности этой точки.

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию u

2=

x3

3x + y2:

Решение. Находим частные производные: @u

= 3x

 

, @u

к нулю, получаем систему уравнений

 

@x

3

@y = 2y . Приравнивая их

 

 

 

 

 

 

3

x2

3 = 0;

 

 

 

 

 

2y = 0;

 

 

 

 

из которой находим стационарные точки ( 1; 0): Исследуем их на экстремум. Вычислим частные производные второго порядка:

u00xx = 6x; u00xy = 0; u00yy = 2:

Для точки (1; 0) имеем a11 = u00xx(1; 0) = 6 > 0 ,

=

 

0 2

 

= 12 > 0;

 

 

 

 

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значит, в этой точке локальный минимум

u =

u(1; 0) =

2:

 

Для точки ( 1; 0) a11 = 6 < 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

0 2

 

= 12 < 0;

 

=

 

 

 

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому экстремума в этой точке нет.

 

 

 

 

 

21 x2 +

21 y2 + xy + 1:

Пример 4. Найти экстремум функции u = x2y2 +

Решение. Вычисляем частные производные первого порядка и составляем систему

для определения стационарных точек:

 

 

 

 

 

 

2x2y + y + x = 0:

 

 

2xy2

+ x + y = 0;

 

 

4

Эта система имеет единственное решение x = 0; y = 0: Вычислим частные производные

второго порядка:

uxx00 = 2y2 + 1; uxy00 = 4xy + 1; uyy00 = 2x2 + 1:

 

Следовательно,

Тогда

u00xx(0; 0) = u00xy(0; 0) = u00yy(0; 0) = 1:

= 11 11 = 0;

И экстремум по полученному достаточному признаку мы найти не можем. Перейдем к непосредственному отысканию экстремума. Найдем приращение функции

u = u(x; y) u(0; 0) = (xy)2 + 12x2 + 12y2 + xy:

Преобразуем выражение u следующим образом u = (xy)2 + 12 (x + y)2: Видим, чтоu 0 и обращается в нуль только в точке (0; 0): Следовательно, функция u имеет в

точке (0; 0) минимум. Этот минимум равен u = u(0; 0) = 1:

3.Нахождение наибольших и наименьших значений ФНП

Пусть задана функция u = f(~x) , имеющая непрерывную производную на множестве G;

представляющем собой замкнутую ограниченную область, т. е. область, к которой присоединяется граница. Тогда стационарные точки могут быть внутренними и граничными.

Если точка ~x внутренняя, то f(~x) имеет в ней локальный экстремум. Поэтому, чтобы

найти наибольшее (наименьшее) значение функции, необходимо найти ее стационарные точки, вычислить значения функции в этих точках и сравнить их со значениями функции на границе G: Наибольшее из этих значений и будет наибольшим значением функции на

G; а наименьшее наименьшим.

 

 

 

 

 

 

Пример 5.

Найти наибольшее значение функции u = 1 x + x2 + 2y в замкнутой

области G; ограниченной прямыми x = 0 , y = 0 , x + y = 1 .

y

 

 

 

 

 

Решение.

Находим частные производные u0 =

 

6

 

 

 

 

 

 

2x

 

1 , u0

 

x

 

 

 

 

 

= 2 = 0 , значит, стационарных точек внутри

 

 

 

 

 

 

 

y

6

 

 

 

 

 

 

 

области нет.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим функцию на границе.

1

 

 

 

 

 

1) Пусть x = 0; тогда

 

@@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = 1 + 2y; 0 y 1:

 

 

 

@

-

 

 

 

 

 

 

o

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

На отрезке [0; 1]

функция стационарных точек также

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 1

 

 

не имеет, т. к. @u@y

= 2 6= 0 . Находим значения на концах

 

 

 

отрезка: u(0) = u1 = 1 , u(1) = u2 = 3 .

2) Пусть y = 0; тогда

u = 1 x + x2; 0 x 1:

5

Далее, u0

= 2x

 

1 = 0 ïðè x =

1

; ò. å.

x =

1

 

Вычислим

 

x

 

 

2

 

 

2

стационарная точка.

 

1

значение функции в этой точке и на границе (в точках x = 0; x = 1 ). Получим u(

2 ) =

u3 = 43

, u(0) = u4 = 1 ,

u(1) = u5 = 1 .

 

 

 

 

 

 

 

3) Пусть x + y = 1; тогда

u = 1 x + x2 + 2(1 x) = 3 3x + x2; 0 x 1:

Òàê êàê u0x = 3 + 2x = 0 в точке x = 32 ; которая не принадлежит отрезку [0; 1]; то в рассматриваемом промежутке стационарных точек нет. А на концах отрезка u(0) = u6 =

3; u(1) = u7 = 1:

Сравниваем все полученные значения функции на частях границы: u1 = u4 = u5 =

u7 = 1 , u2 = u6 = 3 , u3 = 34 . Следовательно, наибольшее значение функции u(x; y) равно 3 и достигается в точке (0; 1) ,а наименьшее значение достигается в точке области

(12 ; 0) и равно 34 :

4. Условный экстремум ФНП

Рассмотрим в пространстве двух переменных функцию u = F (x; y) = x2 + y2: Легко ви-

деть, что с геометрической точки зрения эта функция представляет собой квадрат расстояния точки P (x; y) от начала координат в прямоугольной системе XOY: Очевидно,

что она не имеет наибольшее значение в R2: Но если ее рассматривать только для точек (x; y); например эллипса

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

1 = 0 (b > a);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

b2

è P1(0; b):

то ясно, что она достигает наибольшего значения в точках P0(0; b)

 

 

y

 

6

 

 

 

 

 

 

Таким образом, функция u = F (P ); рассмат-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

риваемая во всей плоскости R2 не имеет наиболь-

 

 

 

 

P0(0; b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шего значения, но эта же функция при условии,

 

 

 

 

r

r

 

 

 

 

что точка P находится, например, на эллипсе,

 

 

 

 

 

P (x; y)

 

принимает наибольшее значение два раза.

 

 

 

 

 

 

x

 

 

.

O

 

 

 

-

 

 

 

 

Такая ситуация приводит к задаче об отыска-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нии экстремума функции при условии, что ее ар-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гументы удовлетворяют некоторым дополнитель-

 

 

 

 

P1(0; b)

 

 

 

 

ным ограничениям. Это и есть задача нахождения

 

 

Ðèñ.r

2

 

 

 

 

условного экстремума, т. е. найти экстремум при

 

 

 

 

 

 

каком-то условии (в нашем случае на эллипсе).

 

В рассмотренном примере точки P0(0; b) è P1(0; b) являются точками условного

локального максимума.

 

 

 

 

 

 

 

æà.

Нахождение условного экстремума производится путем введения множителей Лагран-

 

Чтобы найти условный экстремум функции, например, u = f(x; y) при наличии урав-

нения связи '(x; y) = 0; составляем функцию Лагранжа:

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x; y; ) = f(x; y) + '(x; y);

(3)

где неопределенный множитель Лагранжа, и ищем обычный экстремум функции

(3).

6

Необходимые условия экстремума функции (3) записываются в виде системы трех

уравнений с тремя неизвестными x , y è :

 

8

@F

=

@f

+ @' = 0;

 

@x

 

@x

@x

(4)

@F

=

@f

+ @' = 0;

>

@y

 

@y

@y

 

<

'(x; y) = 0:

 

>

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании

изучения знака дифференциала второго порядка функции Лагранжа:

d2F =

@2F

+ 2

@F

dxdy +

@2F

dy2

@x2

@x@y

@y2

 

 

 

 

(при условии, что @'@x dx + @'@y dy = 0; à dx2 + dy2 6= 0 ). А именно, функция f(x; y) имеет условный максимум, если d2F < 0; и условный минимум, если d2F > 0:

Аналогично можно записать необходимые условия для функции n переменных. Пусть u = f(~x) и переменные x1; x2; :::xn связаны m (m < n) уравнениями

 

'i(~x) = 0; i = 1; :::; m:

 

 

 

 

(5)

Функция Лагранжа имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

F (~x; i) = f(~x) +

 

i'i(~x):

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

 

 

 

 

 

Приравнивая к нулю ее частные производные первого порядка, получаем систему

 

8

@f

m

@'i

 

 

 

 

 

 

+ i=1 i

 

 

 

 

 

 

@x1

@x1 = 0;

 

 

 

 

 

 

>

 

P

 

 

 

 

 

 

(6)

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

>

@f

 

 

 

 

 

 

 

>

 

@'i

 

 

 

 

 

 

<

 

+ i=1 i @xn = 0:

 

 

 

 

 

 

>

@xn

 

 

 

 

 

 

>

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Èç m + n уравнений (5) и (6)

определяются неизвестные

x1

; x2; :::; xn

è

1

; 2; :::; m:

:

 

 

 

 

 

Вопрос о существовании и характере условного экстремума в общем случае оставляем

открытым. Это будет решаться на основании вспомогательных соображений.

 

Пример 6. Найти экстремум функции

z = 9 8x 6y

при условии, что аргументы

ее удовлетворяют уравнению x

2

+ y

2

 

 

 

 

 

 

= 25: Геометрически это можно сформулировать

так: найти экстремальные значения аппликаты

z

плоскости

z = 9 8x 6y

для точек

ее пересечения с цилиндром x2 + y2 = 25:

 

 

 

 

 

Решение. Составляем функцию Лагранжа по формуле (3):

 

F (x; y; ) = 9 8x 6y + (x2 + y2 25):

 

Находим ее частные производные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@F

= 8 + 2 x;

 

@F

= 6 + 2 y:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

@y

 

 

7

Записываем систему уравнений (4):

 

8 6 + 2 y = 0

; èëè

8

y = 3

 

 

8 + 2 x = 0

 

:

x = 4

 

Возводя в квадрат

:

 

 

(x +y ) =

 

< x2 + y2 = 25

 

< x2 + y2

= 25:

первое и второе уравнения и затем складывая их, получим 2 2 2 25 , или, с учетом третьего уравнения, 25 2 = 25 , ò. å. 2 = 1: Таким образом, имеем два

решения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = 1

2 =

 

1

 

 

8 x1 = 4 è

8 x2 =

4

Находим частные

 

< y1 = 3

< y2 =

3:

:

 

:

 

 

 

 

производные второго порядка:

 

 

 

@2F

 

@2F

@2F

 

 

 

 

= 2 ;

 

= 0;

 

= 2

 

 

@x2

@x@y

@y2

и вычисляем второй дифференциал d2F :

d2F = 2 dx2 + 2 dy2 = 2 (dx2 + dy2); (dx2 + dy2 =6 0):

Тогда при 1 = 1 получаем d2F > 0 и функция z = 9 8x 6y в точке (4; 3) имеет

условный минимум

zmin = z(4; 3) = 9 8 4 6 3 = 41:

Åñëè 2 = 1; òî d2F < 0 и функция z = 9 8x 6y в точке ( 4; 3) имеет условный

максимум

zmax = z( 4; 3) = 9 8 ( 4) 6 ( 3) = 59:

8