kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Прямая в пространстве и на плоскости

ТЕМА 11. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ И НА ПЛОСКОСТИ.

1.	Прямая в пространстве
1.1.	Общие уравнения прямой
Рассмотрим систему уравнений первой степени
	A1x + B1y + C1z + D1	= 0,	(1)
	A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Каждое из уравнений этой системы является уравнением плоскости. Если эти плоскости не параллельные (т. е. нормальные векторы не коллинеарны), то система (1) определяет прямую линию как линию пересечения двух плоскостей, т. е. как множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы (1). Уравнения (1) называют общими уравнениями прямой.

Пример 1.

Построить прямую, заданную общими уравнениями

x + y + z − 3 = 0, 3x − 3y − z + 3 = 0.

Решение. Чтобы построить прямую, достаточно знать две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Точка пересечения прямой с координатной плоскостью называется следом прямой. Координаты следа M1 заданной прямой на плоскости Oxy получим из уравнений прямой, полагая z = 0. Это дает y = 2, x = 1 как решения системы. Итак, получили координаты точки M1(1, 2, 0). Аналогично, полагая в уравнениях прямой x = 0, получим координаты следа M2 прямой на плоскости Oyz : M2(0, 0, 3). Зная точки M1 и M2 , строим проходящую через них прямую (чертеж сделать самостоятельно).

1.2.Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой

Положение прямой	в пространстве		вполне определяется заданием какой-либо
ее фиксированной точки	M1 и вектора
		s, параллельного этой прямой или лежащего

на ней. Вектор s называется направляющим вектором этой прямой, а его проекции на координатные оси направляющими коэффициентами прямой.

Пусть прямая L задана ее точкой M1(x1, y1, z1) и направляющим вектором s = mi + nj + pk, имеющим направляющие коэффициенты m, n, p.

Рассмотрим произвольную точку M (x, y, z) на прямой L и радиус-векторы OM = r

и OM 1 = r1;

OM = OM 1 + M1M .

Вектор M1M , лежащий на прямой L, коллинеарен направляющему вектору s, поэтому M1M = t · s, где t – скалярный множитель, называемый параметром, может принимать любое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Уравнение

	=				(2)
r		r	1 + ts

1

называется векторным уравнением прямой; оно показывает, что каждому значению

параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой.

6z

M

1

1

q

M1

q

YH

s

H

HHH

r

-

r1

O

y

x

Запишем уравнение (2) в координатной форме. Замечая, что

= OM = xi + yj + zk,

r

1

= OM 1 = x1i + y1j + z1k,

r

= tmi + tnj + tpk,

ts

получим	+ nt,	(3)
y = y1
x = x1	+ mt,
z = z1 + pt.

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой. При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка M (x, y, z) перемещается по прямой.

Пример 2.

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M1(1, −2, 3) и параллельной вектору s = (2, 4, −5) . Найти точку P прямой, которой соответствует значение t = 2.

Решение. Воспользуемся формулами (3). Так как в данном случае x1 = 1, y1 = −2, z1 = 3, m = 2, n = 4, p = −5, то параметрические уравнения прямой имеют вид

x = 1 + 2t,

y = −2 + 4t,

z = 3 − 5t.

При t = 2 получаем

x = 1 + 2 · 2 = 5,

y = −2 + 4 · 2 = 6,

z = 3 − 5 · 2 = −7.

На прямой фиксирована точка P (5, 6, −7).

2

1.3.Канонические уравнения прямой

Из уравнений (3) выразим параметр t :

t = x − x1 , m

и получим уравнения

x − x1

m

t =		y − y1		, t =			z − z1
		n					p
=	y − y1		=		z − z1	,		(4)
		n			p

которые называются уравнениями прямой, проходящей через данную точку параллельно вектору s , или каноническими уравнениями прямой.

В частном случае, когда направляющий вектор s единичный, т. е.

s = cos α · i + cos β · j + cos γ · k,

уравнения (4) принимают вид

x − x1	=	y − y1	=	z − z1	.	(5)
cos α		cos β		cos γ

Направляющими коэффициентами здесь являются направляющие косинусы вектора s.

Пример 3.

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M1(5, −3, 8) перпендикулярно плоскости 4x + 7y − 8z − 3 = 0.

Решение. Поскольку вектор N = (4, 7, −8) перпендикулярен плоскости 4x + 7y − 8z − 3 = 0, то, в силу условия, он будет параллелен искомой прямой. Возьмем на прямой текущую точку M (x, y, z). Тогда векторы M1M = (x −5, y + 3, z −8) и N – коллинеарны. Используя условие коллинеарности векторов, получаем искомое уравнение

x − 5	=	y + 3	=	z − 8	.
4
	7			−8

1.4.Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Чтобы перейти от общих уравнений прямой к каноническим, нужно найти какуюлибо точку M1(x1, y1, z1) на прямой и направляющий вектор s прямой.

Пусть прямая L задана общими уравнениями (1)

A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Координаты точки M1 на прямой L получим из системы уравнений (1), придав одной из координат произвольное значение.

Так как прямая L перпендикулярна нормальным векторам N 1 = (A1, B1, C1) и N 2 = (A2, B2, C2), то за направляющий вектор s прямой L можно принять векторное произведение этих векторов N 1 × N 2 :

s = N 1 N 2

=

.

A1

B1

C1

×

i

j

k

A2

B2

C2

3

Пример 4.

Привести общие уравнения прямой

2x + 3y − z + 8 = 0, x − 3y + 2z + 1 = 0

к каноническому виду.

Решение. Запишем уравнение прямой в канонической форме:

x − x1	=	y − y1	=	z − z1	.
m		n		p

Точку M1 на прямой найдем, положив в общих уравнениях прямой, например, z1 = 0 :

x1

− 3y1 + 1 = 0.

2x1 + 3y1 + 8 = 0,

уравнений, получим x1

= −3

,

y1

= −

2 .

Решив эту систему

2

3

Итак, M1 −3, −

3

, 0 .

вектор прямой s возьмем векторное произведение векторов N 1

За направляющий

=

(2, 3, −1) и N 2 = (1, −3, 2) :

s = N 1 × N 2 =

2

3

−1 = 3i − 5j − 9k.

i

j

k

1

3

2

−

Поэтому m = 3, n =

−

5, p = 9.

−

Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид

x + 3

=

y + 32

=

z − 0

.

3

−5

−9

Замечание 1. Точку M1 на прямой можно выбрать произвольно, поэтому в уравнениях (3) и (4) при разных выборах M1 окажутся различные числа x1 , y1 , z1 для одной и той же прямой. Координаты направляющего вектора определяются с точностью до постоянного множителя.

1.5.Уравнения прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая L проходит через точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2). Составим канонические уравнения этой прямой. За направляющий вектор прямой s примем вектор

M1M 2 :

s = M1M 2 = (x2 − x1)i + (y2 − y1)j + (z2 − z1)k.

Следовательно, m = x2 − x1, n = y2 − y1, p = z2 − z1. Из уравнений (4) имеем

x − x1	=	y − y1	=	z − z1	.	(6)
x2 − x1		y2 − y1		z2 − z1

Уравнения (6) называются уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.

4

Пример 5.

Составить канонические уравнения диагоналей параллелограмма, три вершины которого находятся в точках A(2, 4, 6), B(−3, 5, 4), C(8, −6, 2).

Решение. Задача сводится к составлению уравнения прямой, проходящей через две точки. Напишем уравнения диагонали AC . По формуле (6) получаем

x − 2

=

y − 4

=

z − 6

,

x − 2

=

y − 4

=

z − 6

8 − 2

−6 − 4

2 − 6

6

−10

−4

или

x − 2

y − 4

z − 6

=

=

.

−5

3

−2

Поскольку точка D не дана, то уравнения диагонали BD напишем как уравнения прямой, проходящей через точки B и S, где S – точка пересечения диагоналей. Так как S является серединой отрезка AC , то ее координаты равны полусуммам соответствующих координат концов, т. е. S(5, −1, 4). Уравнения диагонали BD принимают вид

x + 3

y 5

z

4

(

x + 3

=

y − 5

,

=

−

=

−

или

8

−6

5 + 3

1

5

4

−

4

− −

z − 4 = 0.

Замечание 2. Если при подстановке координат точек в уравнения (6) один или два знаменателя обращаются в нуль, то нужно приравнять нулю соответствующий числитель. (Все три знаменателя не могут быть равны нулю одновременно, так как точки M1 и M2 различны).

1.6.Угол между двумя прямыми

Пусть в пространстве даны две прямые L1 и L2 :

(L1) x − x1 = y − y1 = z − z1 , (L2) x − x2 = y − y2 = z − z2 .
m1	n1	p1	m2	n2	p2

За угол между двумя прямыми принимают один из двух смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из этих смежных углов равен углу ϕ между направляющими векторами s1 и s2 данных прямых. Так как

s

1 = m1i + n1j + p1k и

s

2 = m2i + n2j + p2k,

то

(

1,

2)

cos ϕ =

s

s

|

1| · |

2|

s

s

или

m1m2

+ n1n2 + p1p2

cos

ϕ =

.

(7)

pm12 + n12 + p12pm22 + n22 + p22

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны соответственно условиям коллинеарности и перпендикулярности их направляющих векторов s1 и s2.

5

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых запишутся

соответственно так:

m1

n1

p1

L1||L2

=

=

,

m2

n2

p2

L1 L2

1 ·

1 = m1 · m2 + n1 · n2 + p1 · p2 = 0.

s

s

Пример 6.

Найти угол между двумя прямыми:

x − 5

=

y + 3

=

z − 6

,

x − 2

=

y − 4

=

z + 1

.

7

−8

2

−8

11

−7

Решение. Первая

прямая

имеет

направляющий

вектор

1 = (7, 2, −8) и

s

2 = (11, −8, −7) вторая. В соответствии с формулой (7) получаем

s

cos ϕ = 11 · 7 + (−8)2 + (−7)(−8)

=

117

= 1 .

√

√

√

√

√

121 + 64 + 49 49 + 4 + 64

234

117

2

Следовательно, ϕ = 45o .

Пример 7.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку M1(−4, 0, 2)

перпендикулярно

прямым L1 и L2 :

(L1)

x + 1

=

y + 1

=

z

, (L2)

x − 2

=

y − 3

=

z − 5

.

2

3

4

3

2

2

Решение. Запишем уравнения прямой проходящей через данную точку:

x + 4

=

y − 0

=

z − 2

.

m

n

p

За направляющий вектор s = (m, n, p) искомой прямой можно принять любой вектор,

перпендикулярный векторам

1 = (2, 3, 4) и

2 = (3, 2, 2) данных прямых. В частности,

s

s

вектор

можно положить равным векторному произведению векторов

1 и

2 :

s

s

s

s = s1

s2 =

= 2i + 8j

5k.

2

3

4

×

i

j

k

−

−

3

2

2

Отсюда

m

= 2

,

n

= 8

, p

=

5

−

−

x + 4

=

y

=

z − 2

.

−2

8

−5

2.Прямая на плоскости

2.1.Уравнение прямой, проходящей через данную точку. Общее уравнение прямой на плоскости

Пусть на плоскости Oxy дана прямая l , точка M1(x1, y1) на ней и вектор N = (A, B), перпендикулярный этой прямой. Точка и нормальный вектор вполне определяют положение прямой на плоскости. Выведем уравнение этой прямой.

6

y	6
@
l	@ M			N
	@r
	@I
		@
		@
		@rM1
		@@				-
0		@	@@			x

Возьмем на прямой l произвольную точку M (x, y) с текущими координатами. По условию N M1M и скалярное произведение их равно 0. (N , M1M ) = 0 , или, в координатной форме,

A(x − x1) + B(y − y1) = 0.	(12)
Полученному уравнению удовлетворяют координаты любой точки	M (x, y) прямой l

и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на прямой.

Уравнение (12) является уравнением первой степени относительно x и y и

называется уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору, который называется нормальным вектором прямой.

Справедливо и обратное: любое уравнение первой степени относительно x и y

Ax + By + C = 0

(13)

есть уравнение прямой в плоскости Oxy.

Действительно, в уравнении (13) хотя бы один из коэффициентов A или B не равен 0 (иначе имели бы не уравнение, а тождество C ≡ 0 ). Пусть B 6= 0. Тогда (13) равносильно

уравнению	y + B			= 0.
A(x − 0) + B
		C
Но последнее уравнение есть уравнение	прямой,			проходящей через точку 0, −BC

перпендикулярно вектору N = (A, B). Следовательно, (13) является уравнением прямой. Уравнение (13) называется общим уравнением прямой.

Пример 8.

Составить уравнение прямой, перпендикулярной оси Oy и проходящей через точку

M1(1, −1).

Решение. Искомая прямая перпендикулярна оси Oy, а значит, и вектору j, задающему эту ось. То есть в качестве нормального вектора N можно взять j = (0, 1). Используя формулу (12), получаем 0 · (x − 1) + 1 · (y − (−1)) = 0. Тогда уравнение искомой прямой y = −1.

7

y

6

1
	6			1
			j				x
							-
0				y = −1

r

M1(1, −1)

2.2.Точка пересечения прямых и построение прямой по ее уравнению

Пусть даны две прямые A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0. Требуется найти точку их пересечения. Так как эта точка принадлежит каждой из прямых, то ее

координаты должны удовлетворять обоим уравнениям, и, поэтому, для нахождения точки пересечения нужно решить систему уравнений

A1x + B1y + C1 = 0,

A2x + B2y + C2 = 0.

Покажем, как построить прямую по ее уравнению. Для построения прямой достаточно знать две ее точки. Удобнее всего находить точки пересечения прямой с осями координат.

Пример 9.

Построить прямую 2x + 3y − 6 = 0.

Решение. Найдем точку пересечения прямой с осью Ox, для чего полагаем y = 0 в уравнении; получим x = 3. Имеем точку A(3, 0). Для нахождения точки пересечения прямой с осью Oy полагаем в уравнении x = 0; получим y = 2. Имеем точку B(0, 2). Строим точки A и B и проводим прямую через эти точки.

	y		6
	QQQ
			rB(0, 2)
			Q
			QQQ	A(3, 0)
			Qr		-
Пример 10.				QQ	x

Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой 3x − 4y − 12 = 0 от координатного угла.

Решение. Сначала построим искомый треугольник. Для этого найдем точки пересечения прямой с координатными осями. C осью Ox : y = 0, значит, x = 4; с осью Oy : x = 0, значит, y = −3. Получили точки A(4, 0) и B(0, −3). Искомый треугольник AOB – прямоугольный, поэтому его площадь S = 12 |OA| · |OB| = 12 · 4 · | − 3| = 6 (кв. ед).

8

y6

1

1

4 #

-

#

0

x

A(4, 0)

−3

B(0,

−

3)

2.3.Направляющий вектор прямой. Каноническое уравнение прямой

Положение прямой на плоскости вполне определяется заданием точки A(x1, y1) на прямой и вектора s = (m, n), параллельного данной прямой. Вектор s называется

направляющим вектором прямой.

Пусть M (x, y) – произвольная (текущая) точка прямой. Векторы M1M = (x −x1 , y − y1) и s = (m, n) коллинеарны, тогда их координаты пропорциональны:

x − x1	=	y − y1	.	(14)
m		n
Полученному уравнению удовлетворяют	координаты любой точки			M (x, y) прямой

l. Оно называется каноническим уравнением прямой.

Пример 11.

Составить уравнение прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку

M1(1, −1).

Решение. Искомая прямая параллельна оси Oy, а значит, и вектору j, задающему эту ось. То есть в качестве направляющего вектора s можно взять j = (0, 1). Используя

	формулу (14), получаем
	x − 1	=	y − (−1)	.
	0		1

Применяя свойства пропорции, получаем окончательный результат: 1 ·(x −1) = 0 ·(y + 1)
или x = 1.	y
			6
						x = 1
	1
			6			x
						-
	0					1
	−1				r	M1(1, −1)

9

2.4.Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Рассмотрим на плоскости Oxy прямую l, не параллельную оси Oy. Ее положение вполне определяется заданием угла α между осью Ox и прямой l и точки M1(x1, y1).

y

6

l

β

>

0

M1

s

r

α

α

-

O

x

В качестве направляющего вектора возьмем единичный вектор s0 = cos αi + cos βj , составляющий с осью Ox тот же угол α, что и прямая l. Очевидно, cos β = sin α, тогда

s	0 = cos αi + sin αj. Поэтому в уравнении (14) надо положить m = cos α,								n = sin α, тогда
оно запишется следующим образом:
					x − x1	=	y − y1	.
					cos α		sin α
Разрешая это уравнение относительно y − y1, получим
					y − y1 = tg α(x − x1).
Обозначим tg α = k, тогда последнее уравнение примет вид
					y − y1 = k(x − x1).				(15)
	Число k = tg α называется угловым коэффициентом прямой, а								уравнение (15)

– уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. При различных значениях k уравнение (15) определяет пучок прямых с центром в точке

M1(x1, y1).

Пусть прямая, составляющая угол α с осью Ox, пересекает ось Oy в точке B(0, b).

Составим уравнение этой прямой. Полагая в формуле (15) x1 = 0,	y1 = b, получим
y − b = k(x − 0) или
y = kx + b.	(16)

Уравнение (16) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а ордината b

–отрезком, отсекаемым прямой на оси Oy.

Пример 12.

Составить уравнение прямой, параллельной биссектрисе первого координатного угла и отсекающей на оси Oy отрезок, равный 4 единицам.

Решение. Искомая прямая, как и биссектриса первого координатного угла, образует с осью Ox угол α = 45o, поэтому k = tg 45o = 1. Подставляя в уравнение (16) значения k = 1 и b = 4, получаем искомое уравнение y = x + 4.

10