kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Формула Тейлора

ЛЕКЦИЯ 14. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.

Формула Тейлора

f (x) = f (a) + f ′(a) · (x − a) + . . . + f (n)(a) (x − a)n + Rn n!

очень важна как для теории, так и для практических приложений. В частности, с её помощью можно вычислить приближённые значения функции f (x) , если известны значения этой функции и её производных до порядка n в "начальной"точке x = a и если, кроме того, удаётся оценить остаточный член Rn . Если

	|Rn| < α0,					(1)
то		f (n)(a)
′					n	(2)
f (x) ≈ f (a) + f	(a) · (x − a) + . . . +			· (x − a)
		n!

с погрешностью α0 .

Для оценки погрешности формулы (2) важна форма записи остаточного члена Rn . Распространённой является запись остаточного члена в форме Лагранжа:

f (n+1)(c)

Rn = (n + 1)! · (x − a)n+1, где c лежит между a и x.

Здесь оценка остаточного члена зависит от оценки (n + 1) -й производной функции f (x) . Так, например, если известно, что на отрезке, которому принадлежит рассматриваемое значение x ,

|f (n+1)(t)| < M,

то

	|f (n+1)(c)|		M
|Rn| =		· |x − a|n+1 <		· |x − a|n+1
	(n + 1)!
			(n + 1)!
и, следовательно, в качестве α0		можно взять	любую величину, удовлетворяющую
условию

M
	· |x − a|n+1	≤ α0.
(n + 1)!

Условие (1) можно использовать и для определения числа n , если погрешность α0 задана заранее. Необходимо иметь в виду, что условие (1) определяет погрешность формулы (2). Если же вычислять по формуле (2) приближённое значение f (x) при конкретном числовом значении x , то может оказаться, что слагаемые в этой формуле (по крайней мере, некоторые из них) сами вычисляются приближённо. И тогда погрешность результата вычислений будет представлять собой сумму погрешностей слагаемых и погрешности формулы. Если же вести вычисления всех слагаемых с одинаковой погрешностью α0, которая является и погрешностью формулы, то общая погрешность значения, вычисленного по формуле (2), будет, очевидно, равна

β = (n + 2) · α0.

1

И если заранее задана точность результата α , то необходимо подобрать α0			так, чтобы
обеспечить выполнение неравенства β ≤ α или (n + 2) · α0 ≤ α, откуда
	α		(3)
α0 ≤		.
	n + 2

При достаточно малом числе членов (по крайней мере, при n ≤ 8 ) условие (3) будет заведомо выполняться, если положить

α0 = 10−1 · α.

(4)

Обычно точность вычислений задаётся в виде α = 10−m . Условие (4) показывает, что α0 = 10−(m+1) . Это значит, что вычисления надо производить с одним запасным знаком. Условие (1), которое мы можем использовать для определения числа n , в этом случае

примет вид

|Rn| < 10−1 · α.

Замечание 1. Выше установлено, что один запасной знак обеспечивает требуемую точность, по крайней мере, при n ≤ 8 . Легко заметить, что два запасных знака обеспечивают требуемую точность по крайней мере при n ≤ 98 . Но практически это будет верно и при значительно большем числе членов, так как значения функции и ее производных в точке x = a обычно бывают известны с абсолютной точностью. Поэтому два первых члена в формуле (2) абсолютно точны, следовательно, при одном запасном знаке требуемая точность обеспечивается более чем при 10 членах, при двух запасных знаках более чем при 100 членах и т. д.

Если в формуле Тейлора положить a = 0 , то она запишется в виде

f (x) = f (0) + f ′(0) · x + f ′′(0) ·

x2

+ . . . + f

(n)(0) ·

xn

+ Rn.

(5)

n!

2!

Этот частный случай формулы Тейлора иногда называют формулой Маклорена.

Запишем разложение по формуле Тейлора функций ex, sin x, cos x, ln(1 + x) :

x

x

x2

x3

xn

(6)

e = 1 +

+

+

+ . . . +

+ Rn,

1!

2!

3!

n!

−∞ < x < +∞,

sin x =

x

−

x3

+

x5

−

x7

+ . . . + (−1)n+1 ·

x2n−1

+ Rn,

(7)

(2n − 1)!

1!

3!

5!

7!

−∞ < x < +∞,

cos(x) = 1 −

x2

+

x4

−

x6

+ . . . + (−1)n+1 ·

x2n−2

+ Rn ,

(8)

(2n − 2)!

2!

4!

6!

−∞ < x < +∞,

ln(1 + x) = x −

x2

+

x3

−

x4

+ . . . + (−1)n+1 ·

xn

+ Rn ,

(9)

2!

3!

4!

n!

−1 < x ≤ 1.

Пример 1. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом, в форме Лагранжа, вычислить e0.1 с точностью до 0.001 .

2

Решение. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции f (x) = ex имеет вид

x

x2

xn

e = 1 + x +

+ . . . +

+ Rn ,

2!

n!

где Rn =

xn+1

θx

Отсюда

· e , 0 < θ < 1.

(n+1)!

x

x2

xn

(10)

e ≈ 1 + x +

+ . . . +

.

2!

n!

Значение x = 0.1 принадлежит отрезку [0; 0.5] , следовательно, 0 < θx < 0.5 и eθx < e0.5 < 2;

	xn+1		θx		2 · xn+1
|Rn| =		· e		<		.
	(n + 1)!				(n + 1)!

При заданной погрешности α условие (5) будет заведомо выполняться, если мы положим

2 · xn+1/(n + 1)! < 10−1 · α, откуда

xn+1

(n + 1)! < 0.5 · 10−1α.

Запись условия, определяющего n , в виде (11) удобна, потому последовательно слагаемые в (10) по формулам

xk

uk = k! (k = 1, 2, . . .),

имеем возможность одновременно видеть, достигнута ли требуемая выполнено ли условие (5).

Полагая α = 0.001 , получим из (11) условие

xn+1

< 0.5 · 10−4

(n + 1)!

и при x = 0.1 имеем

u0 = 1 = 1.0000,

u1 =

0.1

= 0.1 = 0.1000,

1!

u2

=

(0.1)2

=

0.01

= 0.0050,

2!

2

u3

=

(0.1)3

=

0.001

= 0.0002,

3!

6

(0.1)4

0.0001

< 0.5 · 10−4

u4 =

=

24

4!

(11)

что, вычисляя

точность, т. е.

(12)

e0.1 ≈ 1.1052 ≈ 1.105.

Итак, e0.1 ≈ 1.105 . Здесь условие (11) оказалось выполненным при k = n + 1 = 4, т. е. при n = 3 . Всего сохранено четыре слагаемых. Следовательно, одного запасного знака было достаточно.

3