Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Кривые второго порядка

.pdf
Скачиваний:
48
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
140.39 Кб
Скачать

ТЕМА 13. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат.

В общем случае это уравнение имеет следующий вид:

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

(1)

при этом предполагается, что хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю. Любая линия второго порядка представляет либо окружность, либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу. Другие случаи линий второго порядка называются

вырожденными.

1.Окружность

Простейшей кривой является окружность. Ее уравнение, как известно, имеет вид:

(x − a)2 + (y − b)2 = R2.

(2)

Это уравнение второй степени относительно x и y. Следовательно, окружность есть кривая второго порядка.

Пример 1.

Написать уравнение окружности радиуса R = 6 с центром в точке N (2, −3). Решение. После подстановки значений a = 2 , b = −3 , R = 6 в уравнение (2)

получаем (x − 2)2 + (y + 3)2 = 36 .

Пример 2.

Найти координаты центра и радиус окружности

x2 + y2 − 6x + 10y − 15 = 0.

Решение. В данном уравнении выделим полные квадраты, прибавляя и вычитая соответствующие числа. Получаем

(x2 − 6x + 9) + (y2 + 10y + 25) − 9 − 25 − 15 = 0,

(x − 3)2 + (y + 5)2 = 49.

Сравнивая это уравнение с уравнением (2), находим

a = 3, b = −5, R = 7.

Замечание 1. В уравнении окружности отсутствует член с произведением текущих координат, а коэффициенты при квадратах текущих координат равны между собой.

1

1.1.Эллипс

Определение 1. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим фокусы через F1 и F2, расстояние между ними 2c, а постоянную величину, равную сумме расстояний от каждой точки эллипса до фокусов, через 2a (по свойству треугольника 2a > 2c ).

Построим декартову систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 оказались на оси абсцисс, а начало координат совпало с серединой отрезка F1F2. В выбранной таким образом системе координат фокусы имеют координаты: левый фокус F1(−c, 0) и правый

F2(c, 0).

Выведем уравнение эллипса.

Пусть M (x, y) – произвольная точка рассматриваемого множества. По определению эллипса сумма расстояний от этой точки до фокусов F1 и F2 равна 2a :

|F1M | + |F2M | = 2a.

 

Но |F1M | = p(x + c)2 + y2, |F2M | = p(x − c)2 + y2. Следовательно,

 

p(x + c)2 + y2 + p(x − c)2 + y2 = 2a.

(3)

Это и есть уравнение рассматриваемого множества. Но оно имеет неудобный для исследования вид. Преобразуем его к более простой форме:

p p

(x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2.

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

p

x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2,

4

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 − cx = a (x − c)2 + y2,

 

 

 

 

 

2

2

 

2

 

2

2

2

2

2

2

2

,

a − 2a cx + c

x = a x − 2a cx + a c

 

+ a y

 

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2).

 

 

 

Из условия 2a > 2c следует

a2 − c2

> 0. Введем обозначение

a2 − c2 = b2 (a > b) и

перепишем последнее уравнение в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2x2 + a2y2 = a2b2

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

x2

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

= 1.

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

a2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По определению эллипса, координаты любой его точки удовлетворяют уравнению

(3). Но уравнение (4) является следствием уравнения (3). Следовательно, ему также удовлетворяют координаты любой точки эллипса. Координаты точек, не лежащих на эллипсе, уравнению (4) не удовлетворяют. Таким образом, уравнение (4) есть уравнение эллипса. Оно называется каноническим уравнением эллипса.

2

Пользуясь каноническим уравнением, можно установить форму эллипса.

Уравнение эллипса содержит четные степени x и y. Это значит, что если какаянибудь точка M (x, y) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат также точки M1(x, −y); M2(−x, y) и M3(−x, −y), симметричные точке M (x, y) относительно осей координат. Таким образом, эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии – оси координат. Оси симметрии будем называть осями эллипса, а точку их пересечения – центром эллипса. Ось, на которой расположены фокусы эллипса, называется фокальной осью.

Определим форму эллипса в первой четверти. Для этого решим уравнение (4) относительно y :

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

y =

 

 

a

 

− x .

 

 

a

 

 

Выражение a2 − x2

должно быть

неотрицательным, поэтому 0 ≤ x ≤ a. При

возрастании x от 0 до a

величина y уменьшается от b

до 0. Часть эллипса, лежащая

в I четверти, есть дуга, ограниченная точками

B(0, b)

и A(a, 0), лежащими на осях

координат. Воспользовавшись симметрией эллипса, приходим к заключению, что эллипс имеет форму, изображенную на следующем рисунке.

 

 

a

 

 

y

 

6

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

x = −ε

 

 

 

 

 

 

x = ε

 

 

 

 

B(0, b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

A1

 

a,

0)

 

 

 

A

a, 0)

 

(

 

r

 

 

r

( -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B1(0, −b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Из симметрии эллипса следует, что кроме вершин A(a, 0) и B(0, b) эллипс имеет еще две вершины A1(−a, 0) и B1(0, −b). Отрезки AA1 и BB1, соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются большой и малой полуосями эллипса.

Отношение фокального расстояния к длине большой оси называется

эксцентриситетом эллипса и обозначается ε :

ε =

2c

 

=

c

.

(5)

2a

 

 

 

a

 

Так как c < a, то ε < 1. Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Действительно, из выражения a2 − c2 = b2 следует, что

a

2

= 1 − a

= 1 − ε2.

 

b

 

 

c

2

Отсюда видно, что чем меньше ε, тем меньше его малая полуось b отличается от большой полуоси a, т. е. тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси. При b = a получится окружность радиуса a.

3

Две прямые, перпендикулярные к Ox и расположенные на расстоянии

a

от центра,

называются директрисами эллипса:

 

 

 

ε

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = ±

 

.

 

 

(6)

 

 

ε

 

 

Справедливо соотношение

r

= ε, где

r

– расстояние от произвольной точки

 

d

 

 

 

 

 

 

эллипса до фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы.

Замечание 2. Каноническое уравнение эллипса было получено при предположении, что a > b. В случае если a < b, эллипс, задаваемый уравнением (7), будет иметь

следующие числовые характеристики: фокальная ось – ось

Oy;

координаты фокусов

F1(0, −c), F2(0, c); c =

 

 

 

; эксцентриситет ε = bc ; уравнения директрис y = ±εb .

b2 − a2

Пример 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2 + 9y2 = 16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Разделив на 16 обе части уравнения, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

+

 

 

y2

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16/9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

a = 4,

b =

 

 

,

a = 2,

b =

 

,

 

c

 

 

= a − b =

 

 

 

 

,

9

3

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c =

2 5

,

 

 

ε =

c

 

=

 

5

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, имеем

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5

a = 2,

b =

 

,

 

F1(−

 

 

 

, 0),

 

 

F2(

 

 

, 0), ε =

 

.

3

 

3

 

 

 

 

3

 

3

Пример 4.

Написать каноническое уравнение эллипса, симметричного относительно

√ √

координатных осей и проходящего через точки L(3 2, 2 2) , N (6, 0) . Решение. Каноническое уравнение указанного эллипса имеет вид

 

 

 

 

 

x2

+

y2

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим

и b из условия

принадлежности

эллипсу точек L и N. Подставляя

координаты этих точек в данное уравнение, получим

 

 

 

18

+

8

= 1,

 

 

36

+

0

 

= 1.

 

 

a2

b2

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

Из второго уравнения находим, что a2 = 36 . Подставляя найденное значение a2 в первое

уравнение, получаем

1836 + b82 = 1,

откуда b2 = 16 . Таким образом, искомое уравнение будет

x2 + y2 = 1.

36 16

4

2.Гипербола

Определение 2. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Расстояние между фокусами F1 и F2 обозначим 2c, а постоянную величину, равную модулю разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов 2a ( 0 < 2a < 2c ). Как и в случае эллипса, ось абсцисс проведем через фокусы, а за начало координат примем середину отрезка F1F2. Фокусы в такой системе координат имеют координаты

F1(−c, 0) и F2(c, 0).

Выведем уравнение гиперболы. По определению гиперболы для любой ее точки M (x, y) имеем

||F1M | − |F2M || = 2a или |F1M | − |F2M | = ±2a.

 

Но |F1M | = p(x + c)2 + y2 и |F2M | = p(x − c)2 + y2, следовательно,

 

p(x + c)2 + y2 p(x − c)2 + y2 = ±2a.

(7)

После упрощений, подобных тем, которые были сделаны при выводе уравнения эллипса, получим следующее уравнение:

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2),

 

где a < c . Полагая c2 − a2 = b2, уравнение (7) приводится к виду

 

 

x2

 

y2

 

 

 

 

= 1.

(8)

 

a2

b2

Уравнение (8) называется каноническим уравнением гиперболы.

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением. Уравнение содержит четные степени текущих координат. Следовательно, гипербола имеет две оси симметрии, в данном случае совпадающие с координатными осями. Оси симметрии гиперболы будем называть осями гиперболы, а точку их пересечения – центром гиперболы. Ось гиперболы, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Исследуем форму гиперболы в I четверти, где

y = ab √x2 − a2.

Здесь x ≥ a, так как под знаком корня должно стоять неотрицательное число. При возрастании x от a до +∞ величина y возрастает от 0 до +∞. Часть гиперболы, лежащая в первой четверти, есть дуга AM.

Достраиваем гиперболу симметрично относительно координатных осей. Точки пересечения гиперболы с фокальной осью называются ее вершинами. Полагая y = 0 в уравнении гиперболы, найдем абсциссы ее вершин: x = ±a. Таким образом, гипербола имеет две вершины: A(a, 0) и A1(−a, 0). С осью Oy гипербола не пересекается.

Действительно, положив в уравнении гиперболы x = 0, получим для y мнимые значения:

y = ± −b2. Поэтому фокальная ось гиперболы называется действительной осью, а ось симметрии, перпендикулярная фокальной оси, – мнимой осью гиперболы.

5

Действительной осью также называется отрезок длиной 2a, соединяющий вершины гиперболы. Отрезок, соединяющий точки B(0, b) и B1(0, −b) , длиной 2b называется мнимой осью гиперболы. Числа a и b называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Рассмотрим часть гиперболы в I четверти, являющуюся графиком функции

y = ab √x2 − a2.

Покажем, что точки этого графика, расположенные на достаточно большом расстоянии от начала координат, сколь угодно близки к прямой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =

b

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для этого рассмотрим две точки M (x, y)

 

на кривой и N (x, Y ) на прямой y = b x и

составим разность между ординатами этих точек:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

− a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y − y = a x − a x2

− a2

= a x − x2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x −

 

 

x +

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

=

b

 

 

x2 − a2

x2 − a2

 

 

=

b

 

 

=

 

ab

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ·

 

 

 

2

2

 

 

a ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + x − a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + x − a

 

x + x − a

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim (Y

y) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точки M и N неограниченно сближаются при неограниченном возрастании абсциссы. Из симметрии гиперболы относительно координатных осей следует, что имеется еще одна прямая y = −ab x, к которой сколь угодно близки точки гиперболы при

неограниченном удалении от начала координат. Прямые

 

b

и

 

b

 

y =

 

x

y = −

 

x

(9)

a

a

6

называются асимптотами гиперболы.

Чтобы построить асимптоты гиперболы, следует построить прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами, параллельными осям Ox и Oy и равными 2a и 2b. Диагонали прямоугольника являются асимптотами гиперболы. Перед построением гиперболы рекомендуется строить ее асимптоты.

Отношение фокального расстояния к длине действительной оси называется

эксцентриситетом гиперболы и обозначается ε :

 

 

 

ε =

2c

 

=

c

.

(10)

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

Для гиперболы c > a , и поэтому, ε > 1.

 

 

 

 

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Из формулы

 

 

 

 

c2 − a2 = b2

 

следует, что

 

= a

− 1 = ε2 − 1.

 

a

2

 

 

b

 

 

c 2

 

 

 

 

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение b/a и тем более вытянут в направлении фокальной оси ее основной прямоугольник.

Директрисы гиперболы, как и директрисы эллипса, определяются уравнениями

 

 

 

 

 

a

 

 

x = ±

 

 

.

(11)

ε

Гипербола, уравнение которой

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

y2

 

 

+

 

 

= 1,

(12)

a2

b2

 

называется сопряженной с гиперболой (8). Вершины сопряженной гиперболы находятся

в точках

1

ее

фокальная ось – ось Oy

;

фокусы расположены в точках

B(0, b) и B (0, −b);

2

2

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1(0,

c) и F2(0, c), где c =

 

a

+ b ; эксцентриситет ε =

 

; уравнения асимптот

y =

 

b

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

b

 

 

 

±a x;

уравнения директрис y = ±

ε .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и

директрис гиперболы

 

 

 

9x2 − 16y2 = 144.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Приведем данное уравнение к каноническому виду, для чего необходимо

разделить обе его части на 144. Выполняя деление, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

9

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнивая это уравнение с уравнением (8), заключаем, что a2 = 16 , b2 = 9 . Таким

образом, a = 4 есть действительная полуось,

b = 3 – мнимая полуось. Далее,

c

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

5

 

2

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

a

+ b

= 16 + 9 = 5 , фокусы: F (−5, 0) ,

F (5, 0)

. Эксцентриситет ε = a

=

4 .

Подставляя значения a и b в формулу (9), получим уравнения асимптот:

y = ±34 x.

7

В соответствии с формулой (11) находим уравнения директрис:

x = ±165 .

Пример 6.

Составить каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно

координатных осей, пересекающей ось y и проходящей через две точки: M (24, 5 5), N (0, 5). Найти фокусы этой гиперболы.

Решение. По условию задачи искомая гипербола пересекает ось Oy, поэтому ее уравнение ищем в виде (12):

y2 x2 = 1. b2 a2

Так как точки М и N лежат на гиперболе, то их координаты удовлетворяют уравнению гиперболы.

Подставляя координаты данных точек в это уравнение, получим

125

242

 

 

25

 

 

 

 

 

= 1,

 

= 1.

 

b2

a2

b2

Решая полученную систему, найдем

 

 

 

 

b2 = 25,

a2 = 144.

Таким образом, получаем искомое уравнение

y2 x2 = 1.

25 144

Определим по формуле c2 = a2 + b2 . Имеем

c =

 

= 13 . Фокусы данной

144 + 25

гиперболы лежат на оси Oy : F1(0, −13), F2(0, 13) .

 

 

 

3.Парабола

Определение 3. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы p. Эта величина называется

параметром параболы.

Выведем уравнение параболы. Расположим ось абсцисс так, чтобы она проходила через фокус перпендикулярно директрисе и имела положительное направление от директрисы к фокусу. За начало координат выберем середину перпендикуляра F R,

опущенного из фокуса на директрису. В выбранной таким образом системе фокус имеет

координаты F p2 , 0 . Уравнение директрисы имеет вид

x = −p2 .

8

 

 

N

 

 

Q

 

6 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

Ar M (x, y)

R

2 , 0

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ar

2

 

0

 

p

 

 

 

 

 

 

A F

p

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| {z }

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Директриса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

x

Выберем на параболе произвольную точку M с текущими координатами M (x, y). По определению параболы |N M | = |F M |. Из рисунка ясно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N M

 

=

N Q +

QM

 

=

p

+ x,

 

 

F M

 

 

x

 

 

p

2

+ (y

 

0)2.

|

|

|

 

 

 

|

|

2

 

 

 

|

| |

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

+ x = r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

x

 

 

p

 

2

+ y2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возводя обе части в квадрат, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

p2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + px +

 

 

= x − px +

 

+ y

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 = 2px.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13)

Уравнение (13) называется каноническим уравнением параболы.

Исследуем форму параболы по ее каноническому уравнению. Так как в это уравнение y входит в четной степени, то ось абсцисс является осью симметрии параболы. Вся кривая расположена справа от оси ординат, так как левая часть уравнения неотрицательна и, следовательно, x, стоящий в правой части уравнения, не может быть отрицательным. При x = 0 имеем y = 0, из чего следует, что парабола проходит через начало координат. При неограниченном возрастании x абсолютная величина y также неограниченно возрастает. Ось симметрии параболы называется фокальной осью. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной.

Замечание 3. Если в качестве фокальной оси взять ось Oy, то уравнение параболы примет вид x2 = 2py, фокус будет находиться в точке F (0, p2 ), а уравнение директрисы

– y = −p2 .

 

Пример 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти координаты фокуса и уравнение директрисы

 

параболы

y2 = 12x .

Определить расстояние от точки М(3, 6) до фокуса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Сравнивая уравнение y2 = 12x с уравнением (13), получаем

 

2p = 12 ,

 

 

p

директрисы x

 

 

 

, фокус находится

откуда

p = 6 , 2 = 3 . Следовательно, уравнение

= −3

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

в точке

F (3, 0). Точка M (3, 6) лежит на параболе

 

= 12x , так как ее координаты

удовлетворяют уравнению параболы. Расстояние от точки M

(3

,

6)

до фокуса:

|

F M

| =

p

 

= 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 − 3)2 + (6 − 0)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 8.

9

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (0, 3) и прямой y = −5. Определить точки пересечения этой кривой с осями координат.

Решение. Пусть M (x, y) – произвольная точка геометрического места. По условию |F M | = |N M |, где N – основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую y = −5 (рекомендуется сделать чертеж). Так как

p p

|F M | = x2 + (y − 3)2 и |N M | = (y − (−5))2,

то

p p

x2 + (y − 3)2 = (y + 5)2,

откуда

x2 + y2 − 6y + 9 = y2 + 10y + 25.

Приводя подобные члены, получим уравнение x2 = 16y + 16 , или x2 = 16(y + 1). Это уравнение параболы с вершиной в точке A(0, −1), симметричной относительно оси Oy. Заданные в условии точка и прямая являются соответственно ее фокусом и директрисой.

Для определения точек пересечения c осью Ox необходимо решить систему уравнений

x2 = 16y + 16,

y = 0 (уравнение оси Ox).

Имеем, x1 = −4 , x2 = 4 . Таким образом, M1(−4, 0), M2(4, 0) – две точки пересечения с осью Ox. Полагая в уравнении параболы x = 0 , получаем точку M3(0, −1) – точку пересечения с осью Oy .

Пример 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составить уравнение линии, расстояние от каждой точки которой до точки

A(2, 0)

относится к ее расстоянию до прямой 5x + 8 = 0 как 5 : 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Пусть

 

M (x, y) – произвольная

точка данной

линии, N –

основание

перпендикуляра, проведенного через точку

M к

 

прямой

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

, или x

8 .

 

 

8

5

 

 

+ 8 = 0

 

 

= −5

Расстояния от точки M до точки A и до прямой x = −5

определяются соответственно

формулами |AM | =

 

 

 

 

 

 

 

 

|N M |

 

 

 

 

q

(x − (−

58 ))2

 

 

 

|x + 58 |. По условию

 

 

(x − 2)2 + y2,

=

 

 

=

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

· p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение: |x + 5

|

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· |

 

 

5

|

 

 

 

 

задачи

p(x − 2)8

+ y

 

=

5

,

откуда

4

 

 

 

(x

 

 

2)2 + y2 = 5

 

 

x +

8

 

. Преобразуем это

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

16

 

 

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16(x

− 4x + 4 + y

) = 25(x +

 

x +

 

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16x2 − 64x + 64 + 16y2 = 25x2 + 80x + 64,

9x2 − 16y2 + 144x = 0.

 

 

Выделим полные квадраты в левой части полученного уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9(x2 + 16x + 64) − 16y2 − 9 · 64 = 0,

 

9(x + 8)2 − 16y2 = 9 · 64,

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

(x + 8)2

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

 

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученное уравнение – уравнение гиперболы с центром

в

 

точке

C(−8, 0) и

полуосями a = 8,

b = 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10