Baskakov_Integraly,zavisyaschie_ot_parametra_2013

η
∫ f (x, y) dx	(2.3)

a

существует как собственный интеграл Римана.

Определение 2.3. Сходящийся на множестве Y интеграл

∫b f (x, y) dx называется равномерно сходящимся на этом множест-

a

ве, если для любого ε > 0 найдется такое ηε (a, b) , что для всех y Y и всех η (ηε , b) выполняется неравенство

∫b	f (x, y) dx	<ε .
η

Замечание. Приведенное определение дано для случая (2.2), (2.3). В более общем случае назовем точку ξ (a, b) «особой», если

для некоторого y0 Y (или для нескольких, или для всех y Y ) функция g(x) = f (x, y0 ) является неограниченной в любой сколь угодно малой окрестности точки ξ. Кроме того, назовем «особой» точку a, если a =−∞ или f (x, y0 ) неограниченна в любой право-

сторонней окрестности точки a. Аналогично, точка b – особая, если b = +∞ или f (x, y0 ) неограниченна в любой левосторонней окре-

стности точки b. Обозначим через E множество всех точек ξ, которые для функции f (x, y) являются особыми. Пусть E состоит из конечного числа точек ξ1 , ..., ξn (случай, когда E состоит из бесконечного числа точек, нами рассматриваться не будет). Пусть для

определенности ξ1 < ξ2		<... < ξn и a < ξ1 ,	ξn = b . В этом случае оп-
ределение 2.3 заменяется на 2.3′.			множестве Y интеграл
	Определение 2.3′.	Сходящийся на
∫b	f (x, y) dx называется равномерно сходящимся на этом множест-
a

ве, если для любого ε > 0 найдутся такие η1 , ζ1 , η2 , ζ2 , …, ηn−1 ,

ζn−1 , ηn , что

a < η1 < ξ1 < ζ1 < η2 < ξ2 < ζ2 <... < ηn−1 < ξn−1 < ζn−1 < ηn < b

11

и для всех η

, ζ

, …,

η

т−1

, ζ

, η

n

, удовлетворяющих неравенству

1

1

n−1

a < η < η

< ξ <ζ

<ζ < η <... < η < η

n

<b ,

1 1

1

1

1

2

n

выполняется соотношение

ξ1

ζ1

b

∫ f (x, y) dx

+

∫

f (x, y) dx

+... +

∫ f (x, y) dx

< ε

η1

ξ1

ηn

для всех y Y .

Однако, как уже отмечалось, относительно функции f (x, y) во

всех последующих теоремах этого раздела предполагаем выполненными условия (2.2), (2.3).

Теорема 2.1 (признак Вейерштрасса). Если существует такая неотрицательная функция ϕ(x) , определенная на промежутке

[a, b)		и интегрируемая				по Риману			на каждом отрезке [a, η] ,
η (a, b) , что выполняются условия:
1)		f (x, y)		≤ ϕ(x)	при всех x [a, b)				и всех
						y Y ;			(2.4)
2) интеграл
						∫b ϕ(x) dx			(2.5)
						a
сходится; то интеграл ∫b						f (x, y) dx		равномерно сходится на множе-
стве Y.					a
Доказательство.					Из условия			f (x, y)			≤ϕ(x) вытекает в силу

признака сравнения ([1], с. 403) сходимости несобственных интегралов, что при всяком y Y сходится интеграл

∫b f (x, y) dx ,

a

а потому и интеграл

12

∫b f (x, y) dx

a

также сходится при всяком y Y (если интеграл абсолютно схо-

дится, то он и просто сходится [1, с. 408]). В силу условия (2.5) для любого ε > 0 найдется такое ηε (a, b) , что при η (ηε , b) будет

выполнено

∫b ϕ(x) dx < ε,

η

и потому, интегрируя неравенство

f (x, y) ≤ϕ(x)

от η до b, получаем

∫b f (x, y) dx ≤ ∫b ϕ(x) dx < ε.

ηη

Но ∫b		f (x, y)		dx ≥ ∫b f (x, y) dx , следовательно,

ηη

	∫b	f (x, y) dx	≤ ∫b		f (x, y)		dx ≤ ∫b ϕ(x) dx < ε,		(2.6)
	η		η				η
что и означает равномерную сходимость интеграла								∫b	f (x, y) dx ,
								a

поскольку в (2.6) величина η зависит (посредством ηε ) лишь от ε , но не от y Y .

Теорема доказана.

Теорема 2.2 (критерий Коши равномерной сходимости инте-

гралов). Для равномерной сходимости интеграла ∫b f (x, y) dx по

a

множеству Y необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0

13

нашлось такое ηε (a, b) , что для всех η1 и η2 из интервала (ηε , b) и всех y Y выполнялось соотношение

η

∫2

f (x, y) dx

<ε .

(2.7)

η1

Доказательство. Необходимость. Пусть интеграл ∫b

f (x, y) dx

a

равномерно сходится. Тогда для любого

ε > 0

найдется такое

ηε (a, b) , что при любом η (ηε , b) соотношение

∫b

f (x, y) dx

<ε/ 2

η

справедливо при всяком

y Y .

Но тогда для произвольных η1 и

η2 из интервала (ηε , b) получаем при всяком y Y

η2

b

b

∫ f (x, y) dx

=

∫ f (x, y) dx − ∫ f (x, y) dx

≤

η1

η1

η2

f (x, y) dx

∫b

f (x, y) dx

ε

ε

≤

∫b

+

<

+

= ε

2

η1

η2

2

и необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполнено (2.7). Переходя в (2.7) к супремуму по η2 (η1 , b) , получаем

				η
	η sup(η , b)			∫2		f (x, y) dx			≤ ε ,	(2.8)
		2	1	η1
причем (2.8) выполняется при любом η1 > ηε										и любом y Y . В си-
лу очевидного неравенства
	b							η2
	∫ f (x, y) dx				≤ η sup(η , b)			∫ f (x, y) dx
	η1					2	1	η1

14

получаем

	b				η2
	∫ f (x, y) dx	≤ η sup(η , b)			∫	f (x, y) dx	≤ ε
	η1		2	1	η1
для любого η1 > ηε и любого				y Y ,		что и означает равномерную

сходимость ∫b f (x, y) dx . Теорема доказана.

a

В приложениях часто бывает полезен следующий признак равномерной сходимости интегралов.

Теорема 2.3 (признак Дирихле). Пусть функции							f (x, y) и
g(x, y) определены при			−∞ < a ≤ x < +∞		и y Y \, причем
функция f (x, y) непрерывна по переменной x, а g(x, y)							имеет не-
прерывную по x производную ∂g / ∂x . Если:
1) функция g(x, y)		при каждом y Y монотонна по x и равно-
мерно на множестве Y стремится к нулю при x → +∞ ;
	η
2) интеграл	∫ f (x, y) dx		ограничен	как	функция	переменных
	a
η [a, + ∞) и	y Y	на	множестве	[a, +∞) ×Y ,		то	интеграл

+∞∫ g(x, y) f (x, y) dx равномерно сходится на множестве Y.

a

Доказательство. Рассмотрим случай, когда g(x, y) монотонно убывает. Положим

		η
M =	sup	∫ f (x, y) dx	.
	(η, y) [a, +∞)×Y	a

В силу условия 2 имеем M < +∞ . Воспользовавшись равномерным по y Y стремлением g(x, y) к нулю при x → +∞ , найдем

для произвольного ε > 0 такое ηε > a , что при всяком η> ηε будет

выполнено соотношение		g(η, y)		< ε / 3M	одновременно для всех
y Y . Теперь возьмем	произвольные				η1 и η2 из интервала

15

η

(ηε , +∞) и оценим величину

∫2

g(x, y) f (x, y) dx

интегрированием

η1

по частям:

η2

η2

x

∫g(x, y) f (x, y) dx

=

∫g(x, y) d ∫ f (ξ, y) dξ

=

η1

η1

a

g(x, y) ∫x

η2

η

∂g(x, y) dx

=

f (ξ, y) dξ

− ∫2 ∫x

f (ξ, y) dξ

≤

a

η

η1 a

∂x

η

1

η

≤

g(η2 , y)

∫2

f (ξ, y) dξ

+

g(η1 , y)

∫1

f (ξ, y) dξ

+

a

a

η

ε

ε

+

∫2 ∫x

f (ξ, y) dξ ∂g(x, y) dx

≤

M +

M +

η1 a

∂x

3M

3M

η

∫x

∂g(x, y)

2ε

η

∂g(x, y)

+∫2

f (ξ, y) dξ

dx ≤

+ M ∫2

dx =

∂x

3

η1

a

η1

∂y

2ε

η

∂g(x, y) dx ≤

2ε

ε

=

− M

∫2

+ M

= ε ,

3

η

∂x

3

3M

1

и в силу этой оценки интеграл

∫b g(x, y) f (x, y) dx равномерно по

a

y Y сходится по предыдущей теореме. Аналогично рассматривается случай, когда g(x, y) монотонно возрастает.

Перейдем к рассмотрению свойств равномерно сходящихся несобственных интегралов.

Теорема 2.4. Пусть −∞ < a <b ≤ +∞, функция f (x, y) определена для всех x [a, b) , y Y , и при любом y Y непрерывна по x [a, b) . Тогда если при любом η (a, b) функция f (x, y) на от-

16

резке [a, η] равномерно стремится к функции ψ(x) при y → y0 и интеграл

∫b f (x, y) dx

a

равномерно сходится на множестве Y, то

ylim→y	∫b	f (x, y) dx = ∫b	ylim→y	f (x, y) dx = ∫b ψ(x) dx .
0	a	a	0	a

Доказательство. В силу равномерной по y Y сходимости ин-

теграла ∫b	f (x, y) dx из критерия Коши (теорема 2.2) следует, что
a

для наперед заданного ε > 0 найдется такое ηε (a, b) , что при произвольных η1 , η2 , принадлежащих интервалу (ηε , b) , соотношение

	η
	∫2	f (x, y) dx	<ε	(2.9)
	η1
имеет место одновременно для всех y Y .				Поэтому, переходя в
обеих частях неравенства (2.9) к пределу при				y → y0 (здесь в силу

следствия теоремы 1.1 можно при всяких фиксированных η1 и η2 перейти к пределу под знаком интеграла), получаем

η∫2 f (x, y0 ) dx ≤ ε

η1

и, следовательно, по критерию Коши существования предела функции ([1], с. 121) существует предел, величину которого обозначим A:

	η		b		b
lim	∫	f (x, y0 ) dx =	∫	f (x, y0 ) dx =	lim f (x, y) dx =
η→b−0					∫y→y0
	a		a		a

17

= ∫b ψ(x) dx = A .

		a
Для завершения доказательства теоремы установим, что
ylim→y0	∫b	f (x, y) dx = A .	(2.10)
	a

С этой целью для наперед заданного ε > 0 найдем такое ηε (a, b) ,

что при η (ηε , b)

одновременно для всех y Y будет выполнено

b

η

∫ f (x, y) dx − ∫ f (x, y) dx

< ε / 3

(2.11)

a

a

и, кроме того,

η

∫ψ(x) dx − A

< ε / 3 .

(2.12)

a

В зависимости от η (ηε , b)

выберем столь малое δ = δ(η) > 0 ,

чтобы при всех таких y Y , что

y − y0

< δ, соотношение

f (x, y) −ψ(x)

<

ε

(2.13)

3(η− a)

было выполнено одновременно при всех x [a, η] . С учетом (2.11), (2.12) и (2.13) запишем

b		b	η
∫ f (x, y) dx − A	=	∫ f (x, y) dx − ∫ f (x, y) dx +
a		a	a
η	η		η
+∫ f (x, y) dx − ∫ψ(x) dx + ∫ψ(x) dx − A					≤
a	a		a

bη

≤∫ f (x, y) dx + ∫[ f (x, y) −ψ(x)] dx +

ηa

18

η

ε

η

+

∫ψ(x) dx − A

<

+ ∫

f (x, y) −ψ(x)

dx +

a

3

a

+

ε

<

ε

+

ε

(η−a) +

ε

= ε ,

3

3

3(η−a)

3

чем и доказывается соотношение (2.10), а также с ним и теорема. Теорема 2.5. Пусть функция f (x, y) определена и непрерывна

(как функция двух переменных) на полуоткрытом прямоугольнике

	{(x, y) : a ≤ x <b, c ≤ y ≤ d} ,
где −∞ < a <b ≤ +∞, −∞ < c < d < +∞ . Тогда если интеграл
Φ( y) = ∫b	f (x, y) dx сходится равномерно на [c, d] , то он является
a
непрерывной функцией на этом отрезке.

Доказательство. Пусть y0 – произвольная точка отрезка [c, d] . В силу условий теоремы функция f (x, y) при каждом η (a, b) непрерывна на компакте

{(x, y) : a ≤ x ≤ η, c ≤ y ≤ d} ,

а потому и равномерно непрерывна на нем (теорема Г. Кантора, [1], с. 268); следовательно, при y → y0 функция f (x, y) стремится к

функции f (x, y0 ) равномерно по x [a, η] . Таким образом, выполнены все предположения предыдущей теоремы и

	b	b
lim Φ( y) =	lim f (x, y) dx =	∫	f (x, y0 ) dx = Φ( y0 ) ,
y→y0	∫y→y0
	a	a

что и означает непрерывность функции Φ( y) в точке y0 .

Теорема доказана.

Замечание. Теоремы 2.4 и 2.5 являются аналогами теоремы 1.1 и ее следствия для несобственных интегралов.

Теорема 2.6. Если выполнены предположения теоремы 2.5, то

∫d Φ( y) dy =∫d dy∫b		f (x, y) dx = ∫b dx∫d	f (x, y) dy .
c	c a	a c

19

Доказательство. При всяком η (a, b) имеем по теореме 1.3

d	η	η	d
∫dy∫ f (x, y) dx = ∫dx∫ f (x, y) dy .				(2.14)
c	a	a	c
	η
Функция Φ( y, η) = ∫ f (x, y) dx		непрерывна по y и при η→b −0
	a

равномерно по y [c, d] стремится к своему пределу Φ( y) . Следо-

вательно, по теореме 1.2 в левой части (2.14) можно перейти к пределу под знаком интеграла при η→b −0

		d	η			d
	η→limb−0	∫dy∫		f (x, y) dx = η→limb−0		∫Φ( y, η) dy =
		c	a			c
= ∫d	η→limb−0	Φ( y, η) dy = ∫d Φ( y) dy = ∫d dy∫b					f (x, y) dx ,
c				c		c a
при этом полученный				интеграл	конечен.		Следовательно, при

η→b −0 существует тот же предел и у правой части (2.14), который в силу определения несобственного интеграла равен

∫b dx∫d f (x, y) dy .

a c

Теорема доказана.

Большой интерес представляют теоремы о перестановке порядка интегрирования, когда оба интеграла несобственные.

Теорема 2.7. Пусть функция f (x, y)		определена и непрерывна
на полуоткрытом прямоугольнике
{(x, y) : a ≤ x <b, c ≤ y < d} ,
где −∞ < a <b ≤ +∞, −∞ < c < d ≤ +∞ . Если интеграл
∫b	f (x, y) dx	(2.15)
a

равномерно сходится на любом отрезке [c, η] , η (c, d) , а интеграл

20