gos / Гетманов2
.pdfГлава 4. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
4.1.Дискретное преобразование Фурье
4.1.1.Оценивание параметров полигармонических моделей и задачи спектрального анализа
Пусть y(i) y(Ti) – наблюдения действительного дискретизован-
ного сигнала, представляющего собой сумму гармонических (узкополосных) составляющих, i 0, 1,..., N 1, N – число наблюдений, T – интервал дискретизации. Рассмотрим для подобного сигнала на ограниченном временном интервале модельную полигармоническую функцию вида
L |
|
|
|
yM (c, Ti) (al cos lTi bl sin lTi), |
i 0, 1,..., N 1. |
(4.1.1) |
|
l 1 |
|
|
|
Вектор параметров для этой модели |
сТ (a ,..., a , b ,..., b , |
||
|
1 |
L 1 |
L |
1,..., L ) имеет размерность 3L . Будем полагать, |
что имеет место |
случай, когда L – число составляющих в сигнале – известно из априорных сведений.
Для решения задачи оценивания параметров модели (4.1.1) необходимо сформировать функционал S(c, y) , являющийся мерой бли-
зости наблюдений и модели, который записывается известным образом:
N 1
S(c, y)
i 0
|
L |
|
2 |
|
|
|
|||
y(i) al cos lTi bl sin lTi . |
(4.1.2) |
|||
|
l 1 |
|
|
|
Оценивание оптимального вектора параметров полигармонической модели с сводится к решению задачи минимизации сформированного функционала
с arg{min S(c, y)}, |
с |
T (a ,..., a |
L |
, b ,..., b , ,..., ) . |
||
c |
|
1 |
1 |
L 1 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
Нахождение оптимального вектора параметров с осуществляется на основе решения достаточно сложной задачи поиска минимума функционала S(c, y). Проблемы определения минимума функцио-
нала (4.1.2) обусловлены спецификой модели (4.1.1), представляю-
107
щей собой сумму синусоидальных функций, нелинейно зависящих от частотных параметров 1,..., L . В силу указанных особенностей модели функционал S(c, y) является многоэкстремальным.
Применим технологическое упрощение в задаче минимизации рассматриваемого функционала, заключающееся в разделении параметров, входящих в модель (4.1.1) линейно и нелинейно. Нелинейные параметры фиксируются и находятся частично оптимальные линейные параметры с помощью решения соответствующей системы линейных уравнений. Вычисляется значение частично оптимального функционала при фиксированных нелинейных параметрах и частично оптимальных линейных параметрах. Далее производится поиск минимума частично оптимального функционала по нелинейным параметрам, позволяющий получить окончательное решение.
Поясним методику реализации предлагаемого технологического
упрощения. Положим, что Т ( 1,..., 2L ) (a1,..., aL , b1,..., bL ) - вектор размерности (2L, 1), состоящий из параметров, входящих в
модель линейно; T ( 1,..., L ) – вектор размерности (L, 1), со-
стоящий из нелинейных параметров. Введём векторную базисную функцию ( , Ti) размерности (2L, 1), состоящую из синусои-
дальных функций
T ( , Ti) (cos 1Ti,..., cos LTi, sin 1,..., sin LTi).
Модель полигармонического сигнала в таком случае можно будет записать в виде скалярного произведения
yM ( , , Ti) T ( , Ti).
Оптимизируемый функционал S( , , y) оказывается квадратичной формой от линейных параметров :
N 1 |
|
S( , , y) ( y(i) T ( , Ti))2. |
(4.1.3) |
i 0
Фиксируем частотные параметры сonst для функционала (4.1.3) и на первом этапе оптимизации находим частично оптимальные ли-
нейные параметры ( ) из решения системы линейных уравнений
( ) arg{ min |
S( , , y}. |
, const |
|
Записываем выражение для вычисления значений частично оптимального функционала
108
N 1
S( ( ), , y) ( y(i) T ( , Ti))2
i 0
ина втором этапе оптимизации на его основе находим оптимальные
нелинейные частотные параметры путём подпоиска по частотным параметрам для частично оптимального функционала. Необхо-
димо отметить, что функционал S( ( ), , y) является многоэкс-
тремальным. Оптимальные линейные параметры являются функциями оптимальных частотных параметров
arg{min S( ( ), , y)}, |
( ). |
|
|
Описанное технологическое упрощение, очевидно, эффективно лишь при малой размерности вектора нелинейных параметров.
Вычислительные трудности оптимизации сформированного функционала происходят от того, что для достижения достаточно высокой точности подгонки модели к наблюдениям осуществляется подпоиск многоэкстремального функционала по частотным нелинейным параметрам. Проблемы решения задачи оценивания параметров полигармонической модели многократно увеличиваются, если оказывается неизвестным число гармонических (узкополосных) составляющих в наблюдениях сигнала.
Оценивание параметров полигармонических моделей применяется для решения одного из вариантов задачи спектрального анализа – определения оценок амплитуд и частот составляющих в наблюдениях.
4.1.2. Дискретное преобразование Фурье для действительных сигналов
Один из возможных путей, радикально упрощающий задачу оценивания параметров для полигармонических моделей, состоит в подмене исходной задачи на видоизменённую задачу с линейной моделью, в которой используются синусоидальные базисные функции с фиксированными частотами. Частоты базисных функций располагаются равномерно на частотной оси с достаточно мелким шагом; как правило, число синусоидальных базисных функций в модели должно быть много больше числа частотных составляющих в наблюдениях.
109
Перейдём к рассмотрению дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для действительных сигналов. Так же как и в разд. 4.1.1, y(i) y(Ti) являются наблюдениями действительного дискретизо-
ванного сигнала, i 0, 1,..., N 1, N – число наблюдений, T – интервал дискретизации. В самом общем случае для ДПФ не выдвигается никаких специальных требований к наблюдениям сигнала.
Полигармоническую модель с фиксированными частотами для ДПФ в действительном случае примем в следующем виде:
|
a0 |
N 1 |
|
||
yM (c, Ti) |
|
(ak cos kTi bk sin kTi). |
(4.1.4) |
||
|
|||||
2 |
k 1 |
|
|
||
|
|
|
|
Указанные частоты k для модели (4.1.4) подчиняются соотношениям:
|
|
2 |
k, |
k 1, 2,..., N 1, |
|
2 |
, |
k. |
|
|||||||
k |
|
NT |
|
|
|
|
|
NT |
k |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вектор параметров |
модели cT (a , |
a ,..., a |
N 1 |
, |
b ,..., |
b |
) |
имеет |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
N 1 |
|
|
||
размерность |
(2N 1, 1). |
Оптимизируемый |
квадратичный |
по с |
||||||||||||
функционал S(c, y) |
записывается по аналогии с (4.1.2): |
|
|
|
||||||||||||
|
N 1 |
|
|
a |
|
N 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
S(c, y) |
y(i) |
0 |
|
ak cos kTi bk sin kTi . |
|
(4.1.5) |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
i 0 |
|
2 |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценки параметров c для модели (4.1.4) находятся из решения задачи минимизации функционала
|
|
|
|
|
|
с |
arg{min S(c, y)}. |
|
|
|
|
(4.1.6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для модели (4.1.4) |
введём |
векторную |
базисную |
функцию |
|||||||||||
( , |
Ti) размерности (2N 1, 1) : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Т ( , Ti) ( ( , |
Ti), ( , Ti),..., |
|
|
( , Ti)) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
2N 1 |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
, |
cos |
|
1Ti,..., cos |
|
|
(N 1)Ti , sin |
|
1Ti,..., sin |
|
(N 1)Ti . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
NT |
|
NT |
|
NT |
|
|
|
NT |
|
Обратим внимание на то, что благодаря выбранным частотам данная векторная базисная функция не зависит от интервала дискретизации T:
T |
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
( , i) |
|
, cos |
|
1i,..., |
cos |
|
(N 1)i, |
sin |
|
1i,..., sin |
|
(N 1)i . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
N |
|
|
N |
|
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
110 |
|
|
|
|
|
Модель (4.1.4) и функционал (4.1.5) могут быть представлены с использованием скалярных произведений
|
N 1 |
yM (c, Ti) сТ ( , i), |
S(c, y) ( y(i) сТ ( , i))2. (4.1.7) |
i 0
Введем на основе материалов разд. 2.4 векторно-матричные обозначения для вектора наблюдений Y размерности (N, 1), вектора
параметров с размерности (2N 1, 1) и матрицы плана сигнала X размерности (N, 2N 1) :
|
|
|
|
|
|
y(0) |
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
T ( ,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
( ,1) |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
y(1) |
|
, |
|
|
|
, |
|
|
X |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
aN 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
y(N 1) |
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
T ( , N 1) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bN 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
cos |
2 |
1 0,..., |
cos 0 |
0, |
sin |
|
2 |
1 1,..., |
sin 0 |
0 |
|
||||||||
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
N |
|
N |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
, |
cos |
2 |
1 1,..., |
cos 0 |
1, |
sin |
2 |
1 1,..., |
sin 0 1 |
, |
||||||||||
2 |
N |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
, |
cos 0 1,..., |
cos 0 (N 1), |
sin 0 1,..., |
sin 0 |
(N 1) |
|
||||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 0 |
2 (N 1) N . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оптимизируемый квадратичный по с функционал S(c, Y ) за-
пишется с помощью векторно-матричных обозначений в виде скалярного произведения, тождественно совпадающего с функциона-
лом (4.1.5), (4.1.7)
S(c, Y ) (Y Xc)T (Y Xc).
Оценки параметров модели с , соответствующие задаче минимизации (4.1.6), могут быть вычислены с помощью формулы (2.4.7)
с (X T X ) 1 X TY.
Рассмотрим скалярные произведения синусоидальных базисных функций l ( , Ti), l 0,..., 2N 1. Благодаря предложенному рас-
111
положению частот в модели введённые базисные функции являются ортогональными
N 1 |
|
|
|
|
|
|
( , Ti) l |
2 |
( , Ti) 0, |
l1, l2 1,..., 2N 1 и |
l1 l2. |
|
l |
|
|
|
|
i 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом можно убедиться, если произвести вычисления скалярных произведений для базисных функций на основе использования табличных формул для тригонометрических сумм. В самом деле, вычислим скалярные произведения базисных функций для разных индексов
|
N 1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
N 1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
cos |
|
ri 0, |
|
sin |
ri 0, |
r 1,..., N 1, |
|
|
||||||||||||||
|
i 0 |
2 |
|
|
|
N |
|
i 0 |
2 |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|||||||
N 1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
N 1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
N 1 |
2 |
|
2 |
|
|||||
cos |
ri cos |
si 0, |
sin |
ri sin |
si 0, |
cos |
ri sin |
si 0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
i 0 |
N |
|
|
N |
|
|
|
i 0 |
|
|
N |
|
N |
i 0 |
N |
N |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
r, |
s 1,..., |
N 1, r s. |
|
|
|
|
Вычислим скалярные произведения базисных функций для одинаковых индексов:
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
l |
( , Ti) l ( , Ti) l2 , |
|
l 1,..., 2N 1, |
||||||||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
N 1 |
1 |
|
1 |
|
N |
|
|
N 1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
N |
|
|||
02 |
|
|
, l2 |
cos |
li cos |
li |
, l 1,...., N 1, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
i 0 |
2 2 4 |
|
|
i 0 |
|
N |
|
|
N |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
l2 N |
sin |
2 |
li sin |
li |
N |
|
, |
l 1,...., N 1. |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 0 |
N |
N |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вследствие ортогональности введённых синусоидальных базисных
функций матрица D Х Т Х |
размерности (2N 1, |
2N 1) является |
||||||||||||||||
диагональной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N |
0 |
|
0 |
|
|
|
4 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
N |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
N |
|
0 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
||||
D |
|
|
|
|
, |
D 1 |
|
|
|
|
. |
|||||||
2 |
|
|
|
N |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
N |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
N |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор коэффициентов Фурье b X T Y размерности (2N 1, 1) представляет собой набор скалярных произведений вида
bT N 1 1
i 0 2
N 1
i 0
N 1 |
|
2 |
|
N 1 |
|
2 |
|
|||
y(i), y(i) cos |
1 i,..., |
y(i) cos |
(N 1) i , |
|||||||
|
|
|||||||||
i 0 |
|
N |
i 0 |
|
N |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
N 1 |
|
2 |
|
|
|
||
y(i)sin |
|
1 i ,…, y(i)sin |
|
( N 1) i . |
||||||
N |
N |
|||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
Оптимальные параметры модели для ДПФ выразятся через коэффициенты Фурье
с D 1b, |
c |
bl |
, |
l 0,..., 2N 1. |
(4.1.8) |
|
|||||
|
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
Основываясь на (4.1.8), запишем формулы, определяющие оптимальные параметры для модели (4.1.4) и являющиеся коэффициентами ДПФ для случая действительных наблюдений и действительной модели:
|
2 |
N 1 |
|
|
2 |
N 1 |
|
2 |
|
|
|
||
a0 |
y(i), |
ak |
y(i) cos |
ki, |
k 1,..., N 1, |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
N i 0 |
|
|
N i 0 |
|
N |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
N 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
bk |
y(i)sin |
ki, |
k 1,..., |
N 1. |
(4.1.9) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
N i 0 |
|
|
N |
|
|
|
|
|
В формулах (4.1.9) опущен знак оптимальности « ». В соответствии с (4.1.9) ДПФ осуществляет линейное преобразование вектора наблюдений сигнала ( y(0), y(1),..., y(N 1)) размерности (N, 1) в
вектор параметров модели (a0 , a1,..., aN 1, b1,..., bN 1) размерности
(2N 1, 1).
4.1.3. Дискретное преобразование Фурье для комплексных сигналов
Обобщим ДПФ, предложенное в разд. 4.1.2, для комплексных
сигналов. Пусть |
y(i) y1(i) jy2 (i) – |
комплексные наблюдения, |
i 0, 1,..., N 1. |
Введём комплексную |
модель для наблюдений в |
точках i 0, 1,..., N 1
N 1
yM (c, Ti) c (k)W ki .
k 0
113
Для этой модели c(k) c1(k) jc2 (k) – комплексные параметры,
W – корень N-й степени из единицы, W ki – комплексные базисные функции, k 0, 1,..., N 1, i 0, 1,..., N 1:
W e j |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
N |
cos |
j sin |
, W ki cos |
ki j sin |
ki, |
|||||
|
|
|
N |
|
N |
|
N |
N |
||
|
|
|
|
k, i 0, |
1,..., N 1. |
|
|
|
|
Функционал S(c, Y ) – мера близости комплексных наблюдений и
модели, запишется с помощью суммы комплексно-сопряженных сомножителей
N 1 |
|
N 1 |
* |
N 1 |
|
|
|
S(c, Y ) |
y(i) c(k)W ki |
y(i) c(k)W ki |
. (4.1.10) |
||||
i 0 |
|
k 0 |
|
|
k 0 |
|
|
Введём комплексные векторно-матричные переменные – вектор комплексных наблюдений Y размерности (N, 1), вектор c комплексных параметров модели размерности (N, 1) и комплексную матрицу плана сигнала X размерности (N, N):
|
|
|
y(0) |
|
c(0) |
|
|
|
|
Y |
|
y(1) |
, c |
c(1) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y(N 1) |
|
c(N 1) |
|
|
|
|
|
W 0 0 |
W1 0 |
W ( N 1) 0 |
|
|
|||
|
|
|||||||
X |
W1 0 |
W11 |
W ( N 1) 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W 0 ( N 1) |
W1 ( N 1) |
W ( N 1)( N 1) |
|
|
С учётом сопряжённости, основываясь на (2.4.9), запишем выражение для оптимальных оценок параметров
с ( X *Т X ) 1 X *Т Y.
Матрица D X *T X и вектор коэффициентов Фурье b X *T Y выразятся с использованием комплексных сопряжений. Коэффициенты ДПФ находятся из системы Dc b, с D 1b.
Базисные комплексные синусоидальные функции W ki ортогональны, и поэтому матрица D диагональна. Вычислим коэффициенты этой матрицы, сформировав тригонометрические суммы, являю-
114
щиеся скалярными произведениями для столбцов комплексной матрицы плана сигнала:
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
||
dks (W ki )*W si |
W (s k )i , |
k, s 0,..., N 1. |
|||||||||||||
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
||
Для индексов s k имеем |
dkk N, для |
s k следует, |
что dks 0. |
||||||||||||
Тогда нетрудно видеть, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
y(i)W |
0 i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
y(i)W |
1 i |
|
|||
D 1 |
|
|
|
|
|
, |
T |
|
, |
||||||
|
N |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b X * Y |
i 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(i)W ( N 1)i |
|
|||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
c (k) |
1 |
|
|
b , |
k 0, 1,..., N 1. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dkk |
|
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты ДПФ для случая комплексных наблюдений и комплексной модели запишутся следующим образом:
|
1 |
N 1 |
|
|
|
|
c(k) |
y(i)W ki , |
k 0, 1,..., |
N 1., |
(4.1.11) |
||
|
||||||
|
N i 0 |
|
|
|
где так же, как и в (4.1.9), опущен знак оптимальности.
Вычислим остаточную сумму для оптимальных коэффициентов комплексного ДПФ. Подставим под знак суммы (4.1.10) полученные выражения для коэффициентов с(k) :
N 1 |
|
|
N 1 |
1 |
N 1 |
|
* |
|
|||
S(c, Y ) |
y(i) |
|
|
|
y(s)W si W ki |
|
|||||
|
|
||||||||||
i 0 |
|
|
k 0 |
|
N s 0 |
|
|
|
|||
|
N 1 |
1 N 1 |
|
|
|
|
|
||||
y(i) |
|
|
y(s)W si W ki . |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
k 0 |
|
N s 0 |
|
|
|
|
|
Рассмотрим отдельно выражение в скобках под знаком суммы, переставим порядки суммирования, учитывая, что
N 1 |
N 1 |
W k (i s) N для s i, |
W k (i s) 0 для s i, |
k 0 |
k 0 |
115
N 1 |
1 |
N 1 |
|
|
1 |
N 1 |
N 1 |
|
y(i) |
|
|
y(s)W ksW ki |
y(i) |
|
y(s) W k (i s) |
||
|
|
|||||||
k 0 |
|
N s 0 |
|
|
N s 0 |
k 0 |
y(i) N1 y(i) N 0.
Нетрудно видеть, что имеет место равенство S(c , Y ) 0. Остаточ-
ная сумма для функционала (4.1.10) на оптимальных коэффициентах ДПФ равняется нулю – предлагаемая тригонометрическая модель с нулевой погрешностью аппроксимирует наблюдения. Благодаря этому обстоятельству можно записать формулы прямого и обратного дискретного преобразования Фурье, физический смысл которых очевиден
|
1 |
N 1 |
|
N 1 |
|
c(k) |
y(i)W ki , |
k 0, 1,..., N 1, |
y(i) c(k)W ki , |
||
|
|||||
|
N i 0 |
|
k 0 |
i 0, 1,..., N 1.
Приведём показательную форму для комплексного ДПФ. Опре-
|
|
|
|
|
и фазы (k) составляющих ДПФ в зависи- |
|||||||
делим амплитуды |
с(k) |
|
||||||||||
мости от дискретного номера k: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
c(k) c (k) jc (k), |
c(k) |
|
c(k) |
|
e j k , |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
с(k) |
|
(c2 |
(k) c2 (k))1/2 |
, |
(k) arctg(c (k)/c (k)), k 0, 1,..., N 1. |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
Результаты вычисления составляющих ДПФ можно графически изображать в виде амплитудного и фазового спектров. Для удобств изображений амплитудных спектров применяется логарифмический масштаб:
L с(k) 20log10 c(k) .
Вполне правомерно введение зависимости от частоты для составляющих спектра ДПФ. Шаг дискретности по частоте для составляющих определяется интервалом наблюдения NT, 2 / NT ,
f 1/ NT. Составляющие спектра – амплитуды и фазы модельных комплексных синусоид – располагаются равномерно по оси частот,
|
с(k) |
|
|
|
c( k ) |
|
, |
|
с(k) |
|
|
|
c( fk ) |
|
, |
(k) ( k ), (k) ( fk ) , где так |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
же, как и разд. 4.1.2, k k, |
fk f k, k 0, 1,..., N 1. |
Рассмотрим пример вычисления амплитудного и фазового спектра ДПФ для сигнала в виде единичного прямоугольного импульса:
116