Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

gos / Гетманов2

.pdf
Скачиваний:
22
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
1.34 Mб
Скачать

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

4.1.Дискретное преобразование Фурье

4.1.1.Оценивание параметров полигармонических моделей и задачи спектрального анализа

Пусть y(i) y(Ti) – наблюдения действительного дискретизован-

ного сигнала, представляющего собой сумму гармонических (узкополосных) составляющих, i 0, 1,..., N 1, N – число наблюдений, T – интервал дискретизации. Рассмотрим для подобного сигнала на ограниченном временном интервале модельную полигармоническую функцию вида

L

 

 

 

yM (c, Ti) (al cos lTi bl sin lTi),

i 0, 1,..., N 1.

(4.1.1)

l 1

 

 

 

Вектор параметров для этой модели

сТ (a ,..., a , b ,..., b ,

 

1

L 1

L

1,..., L ) имеет размерность 3L . Будем полагать,

что имеет место

случай, когда L – число составляющих в сигнале – известно из априорных сведений.

Для решения задачи оценивания параметров модели (4.1.1) необходимо сформировать функционал S(c, y) , являющийся мерой бли-

зости наблюдений и модели, который записывается известным образом:

N 1

S(c, y)

i 0

 

L

 

2

 

 

 

y(i) al cos lTi bl sin lTi .

(4.1.2)

 

l 1

 

 

 

Оценивание оптимального вектора параметров полигармонической модели с сводится к решению задачи минимизации сформированного функционала

с arg{min S(c, y)},

с

T (a ,..., a

L

, b ,..., b , ,..., ) .

c

 

1

1

L 1

L

 

 

 

 

 

 

Нахождение оптимального вектора параметров с осуществляется на основе решения достаточно сложной задачи поиска минимума функционала S(c, y). Проблемы определения минимума функцио-

нала (4.1.2) обусловлены спецификой модели (4.1.1), представляю-

107

щей собой сумму синусоидальных функций, нелинейно зависящих от частотных параметров 1,..., L . В силу указанных особенностей модели функционал S(c, y) является многоэкстремальным.

Применим технологическое упрощение в задаче минимизации рассматриваемого функционала, заключающееся в разделении параметров, входящих в модель (4.1.1) линейно и нелинейно. Нелинейные параметры фиксируются и находятся частично оптимальные линейные параметры с помощью решения соответствующей системы линейных уравнений. Вычисляется значение частично оптимального функционала при фиксированных нелинейных параметрах и частично оптимальных линейных параметрах. Далее производится поиск минимума частично оптимального функционала по нелинейным параметрам, позволяющий получить окончательное решение.

Поясним методику реализации предлагаемого технологического

упрощения. Положим, что Т ( 1,..., 2L ) (a1,..., aL , b1,..., bL ) - вектор размерности (2L, 1), состоящий из параметров, входящих в

модель линейно; T ( 1,..., L ) – вектор размерности (L, 1), со-

стоящий из нелинейных параметров. Введём векторную базисную функцию ( , Ti) размерности (2L, 1), состоящую из синусои-

дальных функций

T ( , Ti) (cos 1Ti,..., cos LTi, sin 1,..., sin LTi).

Модель полигармонического сигнала в таком случае можно будет записать в виде скалярного произведения

yM ( , , Ti) T ( , Ti).

Оптимизируемый функционал S( , , y) оказывается квадратичной формой от линейных параметров :

N 1

 

S( , , y) ( y(i) T ( , Ti))2.

(4.1.3)

i 0

Фиксируем частотные параметры сonst для функционала (4.1.3) и на первом этапе оптимизации находим частично оптимальные ли-

нейные параметры ( ) из решения системы линейных уравнений

( ) arg{ min

S( , , y}.

, const

 

Записываем выражение для вычисления значений частично оптимального функционала

108

N 1

S( ( ), , y) ( y(i) T ( , Ti))2

i 0

ина втором этапе оптимизации на его основе находим оптимальные

нелинейные частотные параметры путём подпоиска по частотным параметрам для частично оптимального функционала. Необхо-

димо отметить, что функционал S( ( ), , y) является многоэкс-

тремальным. Оптимальные линейные параметры являются функциями оптимальных частотных параметров

arg{min S( ( ), , y)},

( ).

 

 

Описанное технологическое упрощение, очевидно, эффективно лишь при малой размерности вектора нелинейных параметров.

Вычислительные трудности оптимизации сформированного функционала происходят от того, что для достижения достаточно высокой точности подгонки модели к наблюдениям осуществляется подпоиск многоэкстремального функционала по частотным нелинейным параметрам. Проблемы решения задачи оценивания параметров полигармонической модели многократно увеличиваются, если оказывается неизвестным число гармонических (узкополосных) составляющих в наблюдениях сигнала.

Оценивание параметров полигармонических моделей применяется для решения одного из вариантов задачи спектрального анализа – определения оценок амплитуд и частот составляющих в наблюдениях.

4.1.2. Дискретное преобразование Фурье для действительных сигналов

Один из возможных путей, радикально упрощающий задачу оценивания параметров для полигармонических моделей, состоит в подмене исходной задачи на видоизменённую задачу с линейной моделью, в которой используются синусоидальные базисные функции с фиксированными частотами. Частоты базисных функций располагаются равномерно на частотной оси с достаточно мелким шагом; как правило, число синусоидальных базисных функций в модели должно быть много больше числа частотных составляющих в наблюдениях.

109

Перейдём к рассмотрению дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для действительных сигналов. Так же как и в разд. 4.1.1, y(i) y(Ti) являются наблюдениями действительного дискретизо-

ванного сигнала, i 0, 1,..., N 1, N – число наблюдений, T – интервал дискретизации. В самом общем случае для ДПФ не выдвигается никаких специальных требований к наблюдениям сигнала.

Полигармоническую модель с фиксированными частотами для ДПФ в действительном случае примем в следующем виде:

 

a0

N 1

 

yM (c, Ti)

 

(ak cos kTi bk sin kTi).

(4.1.4)

 

2

k 1

 

 

 

 

 

 

Указанные частоты k для модели (4.1.4) подчиняются соотношениям:

 

 

2

k,

k 1, 2,..., N 1,

 

2

,

k.

 

k

 

NT

 

 

 

 

 

NT

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор параметров

модели cT (a ,

a ,..., a

N 1

,

b ,...,

b

)

имеет

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

1

N 1

 

 

размерность

(2N 1, 1).

Оптимизируемый

квадратичный

по с

функционал S(c, y)

записывается по аналогии с (4.1.2):

 

 

 

 

N 1

 

 

a

 

N 1

 

 

 

 

 

2

 

 

S(c, y)

y(i)

0

 

ak cos kTi bk sin kTi .

 

(4.1.5)

 

 

 

 

i 0

 

2

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценки параметров c для модели (4.1.4) находятся из решения задачи минимизации функционала

 

 

 

 

 

 

с

arg{min S(c, y)}.

 

 

 

 

(4.1.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

Для модели (4.1.4)

введём

векторную

базисную

функцию

( ,

Ti) размерности (2N 1, 1) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т ( , Ti) ( ( ,

Ti), ( , Ti),...,

 

 

( , Ti))

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

2N 1

 

 

 

 

1

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

,

cos

 

1Ti,..., cos

 

 

(N 1)Ti , sin

 

1Ti,..., sin

 

(N 1)Ti .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

NT

 

NT

 

NT

 

 

 

NT

 

Обратим внимание на то, что благодаря выбранным частотам данная векторная базисная функция не зависит от интервала дискретизации T:

T

 

1

 

2

 

 

2

 

 

2

 

2

 

 

( , i)

 

, cos

 

1i,...,

cos

 

(N 1)i,

sin

 

1i,..., sin

 

(N 1)i .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

N

 

 

N

 

 

N

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

110

 

 

 

 

 

Модель (4.1.4) и функционал (4.1.5) могут быть представлены с использованием скалярных произведений

 

N 1

yM (c, Ti) сТ ( , i),

S(c, y) ( y(i) сТ ( , i))2. (4.1.7)

i 0

Введем на основе материалов разд. 2.4 векторно-матричные обозначения для вектора наблюдений Y размерности (N, 1), вектора

параметров с размерности (2N 1, 1) и матрицы плана сигнала X размерности (N, 2N 1) :

 

 

 

 

 

 

y(0)

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

T ( ,0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

( ,1)

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

y(1)

 

,

 

 

 

,

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

aN 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(N 1)

 

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

T ( , N 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bN 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

cos

2

1 0,...,

cos 0

0,

sin

 

2

1 1,...,

sin 0

0

 

 

1

 

 

 

2

N

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

,

cos

2

1 1,...,

cos 0

1,

sin

2

1 1,...,

sin 0 1

,

2

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

1

,

cos 0 1,...,

cos 0 (N 1),

sin 0 1,...,

sin 0

(N 1)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где 0

2 (N 1) N .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оптимизируемый квадратичный по с функционал S(c, Y ) за-

пишется с помощью векторно-матричных обозначений в виде скалярного произведения, тождественно совпадающего с функциона-

лом (4.1.5), (4.1.7)

S(c, Y ) (Y Xc)T (Y Xc).

Оценки параметров модели с , соответствующие задаче минимизации (4.1.6), могут быть вычислены с помощью формулы (2.4.7)

с (X T X ) 1 X TY.

Рассмотрим скалярные произведения синусоидальных базисных функций l ( , Ti), l 0,..., 2N 1. Благодаря предложенному рас-

111

положению частот в модели введённые базисные функции являются ортогональными

N 1

 

 

 

 

 

 

( , Ti) l

2

( , Ti) 0,

l1, l2 1,..., 2N 1 и

l1 l2.

 

l

 

 

 

i 0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом можно убедиться, если произвести вычисления скалярных произведений для базисных функций на основе использования табличных формул для тригонометрических сумм. В самом деле, вычислим скалярные произведения базисных функций для разных индексов

 

N 1

1

 

 

 

2

 

 

N 1

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

ri 0,

 

sin

ri 0,

r 1,..., N 1,

 

 

 

i 0

2

 

 

 

N

 

i 0

2

 

 

N

 

 

 

 

 

N 1

2

 

 

 

2

 

 

N 1

 

2

 

 

2

 

N 1

2

 

2

 

cos

ri cos

si 0,

sin

ri sin

si 0,

cos

ri sin

si 0

 

 

 

 

 

 

i 0

N

 

 

N

 

 

 

i 0

 

 

N

 

N

i 0

N

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для

r,

s 1,...,

N 1, r s.

 

 

 

 

Вычислим скалярные произведения базисных функций для одинаковых индексов:

 

 

N 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

( , Ti) l ( , Ti) l2 ,

 

l 1,..., 2N 1,

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 1

1

 

1

 

N

 

 

N 1

 

2

 

 

2

 

N

 

02

 

 

, l2

cos

li cos

li

, l 1,...., N 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

2 2 4

 

 

i 0

 

N

 

 

N

2

 

 

 

 

 

 

 

N 1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l2 N

sin

2

li sin

li

N

 

,

l 1,...., N 1.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

i 0

N

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вследствие ортогональности введённых синусоидальных базисных

функций матрица D Х Т Х

размерности (2N 1,

2N 1) является

диагональной:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

0

 

0

 

 

 

4

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

N

 

0

 

 

 

0

2

 

 

0

 

D

 

 

 

 

,

D 1

 

 

 

 

.

2

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

0

0

N

 

 

 

0

0

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

112

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор коэффициентов Фурье b X T Y размерности (2N 1, 1) представляет собой набор скалярных произведений вида

bT N 1 1

i 0 2

N 1

i 0

N 1

 

2

 

N 1

 

2

 

y(i), y(i) cos

1 i,...,

y(i) cos

(N 1) i ,

 

 

i 0

 

N

i 0

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

N 1

 

2

 

 

 

y(i)sin

 

1 i ,…, y(i)sin

 

( N 1) i .

N

N

 

 

i 0

 

 

 

 

Оптимальные параметры модели для ДПФ выразятся через коэффициенты Фурье

с D 1b,

c

bl

,

l 0,..., 2N 1.

(4.1.8)

 

 

l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

Основываясь на (4.1.8), запишем формулы, определяющие оптимальные параметры для модели (4.1.4) и являющиеся коэффициентами ДПФ для случая действительных наблюдений и действительной модели:

 

2

N 1

 

 

2

N 1

 

2

 

 

 

a0

y(i),

ak

y(i) cos

ki,

k 1,..., N 1,

 

 

 

 

 

 

N i 0

 

 

N i 0

 

N

 

 

 

 

 

2

N 1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

bk

y(i)sin

ki,

k 1,...,

N 1.

(4.1.9)

 

 

 

 

 

 

 

N i 0

 

 

N

 

 

 

 

 

В формулах (4.1.9) опущен знак оптимальности « ». В соответствии с (4.1.9) ДПФ осуществляет линейное преобразование вектора наблюдений сигнала ( y(0), y(1),..., y(N 1)) размерности (N, 1) в

вектор параметров модели (a0 , a1,..., aN 1, b1,..., bN 1) размерности

(2N 1, 1).

4.1.3. Дискретное преобразование Фурье для комплексных сигналов

Обобщим ДПФ, предложенное в разд. 4.1.2, для комплексных

сигналов. Пусть

y(i) y1(i) jy2 (i) –

комплексные наблюдения,

i 0, 1,..., N 1.

Введём комплексную

модель для наблюдений в

точках i 0, 1,..., N 1

N 1

yM (c, Ti) c (k)W ki .

k 0

113

Для этой модели c(k) c1(k) jc2 (k) – комплексные параметры,

W – корень N-й степени из единицы, W ki – комплексные базисные функции, k 0, 1,..., N 1, i 0, 1,..., N 1:

W e j

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

N

cos

j sin

, W ki cos

ki j sin

ki,

 

 

 

N

 

N

 

N

N

 

 

 

 

k, i 0,

1,..., N 1.

 

 

 

 

Функционал S(c, Y ) – мера близости комплексных наблюдений и

модели, запишется с помощью суммы комплексно-сопряженных сомножителей

N 1

 

N 1

*

N 1

 

 

S(c, Y )

y(i) c(k)W ki

y(i) c(k)W ki

. (4.1.10)

i 0

 

k 0

 

 

k 0

 

 

Введём комплексные векторно-матричные переменные – вектор комплексных наблюдений Y размерности (N, 1), вектор c комплексных параметров модели размерности (N, 1) и комплексную матрицу плана сигнала X размерности (N, N):

 

 

 

y(0)

 

c(0)

 

 

 

 

Y

 

y(1)

, c

c(1)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(N 1)

 

c(N 1)

 

 

 

 

W 0 0

W1 0

W ( N 1) 0

 

 

 

 

X

W1 0

W11

W ( N 1) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W 0 ( N 1)

W1 ( N 1)

W ( N 1)( N 1)

 

 

С учётом сопряжённости, основываясь на (2.4.9), запишем выражение для оптимальных оценок параметров

с ( X *Т X ) 1 X *Т Y.

Матрица D X *T X и вектор коэффициентов Фурье b X *T Y выразятся с использованием комплексных сопряжений. Коэффициенты ДПФ находятся из системы Dc b, с D 1b.

Базисные комплексные синусоидальные функции W ki ортогональны, и поэтому матрица D диагональна. Вычислим коэффициенты этой матрицы, сформировав тригонометрические суммы, являю-

114

щиеся скалярными произведениями для столбцов комплексной матрицы плана сигнала:

 

N 1

 

 

 

 

 

 

 

N 1

 

 

 

 

dks (W ki )*W si

W (s k )i ,

k, s 0,..., N 1.

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

Для индексов s k имеем

dkk N, для

s k следует,

что dks 0.

Тогда нетрудно видеть, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

0

 

 

 

 

 

y(i)W

0 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 1

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

y(i)W

1 i

 

D 1

 

 

 

 

 

,

T

 

,

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b X * Y

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

1

 

 

 

 

 

N 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(i)W ( N 1)i

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

c (k)

1

 

 

b ,

k 0, 1,..., N 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dkk

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты ДПФ для случая комплексных наблюдений и комплексной модели запишутся следующим образом:

 

1

N 1

 

 

 

c(k)

y(i)W ki ,

k 0, 1,...,

N 1.,

(4.1.11)

 

 

N i 0

 

 

 

где так же, как и в (4.1.9), опущен знак оптимальности.

Вычислим остаточную сумму для оптимальных коэффициентов комплексного ДПФ. Подставим под знак суммы (4.1.10) полученные выражения для коэффициентов с(k) :

N 1

 

 

N 1

1

N 1

 

*

 

S(c, Y )

y(i)

 

 

 

y(s)W si W ki

 

 

 

i 0

 

 

k 0

 

N s 0

 

 

 

 

N 1

1 N 1

 

 

 

 

 

y(i)

 

 

y(s)W si W ki .

 

 

 

 

 

 

k 0

 

N s 0

 

 

 

 

 

Рассмотрим отдельно выражение в скобках под знаком суммы, переставим порядки суммирования, учитывая, что

N 1

N 1

W k (i s) N для s i,

W k (i s) 0 для s i,

k 0

k 0

115

N 1

1

N 1

 

 

1

N 1

N 1

y(i)

 

 

y(s)W ksW ki

y(i)

 

y(s) W k (i s)

 

 

k 0

 

N s 0

 

 

N s 0

k 0

y(i) N1 y(i) N 0.

Нетрудно видеть, что имеет место равенство S(c , Y ) 0. Остаточ-

ная сумма для функционала (4.1.10) на оптимальных коэффициентах ДПФ равняется нулю – предлагаемая тригонометрическая модель с нулевой погрешностью аппроксимирует наблюдения. Благодаря этому обстоятельству можно записать формулы прямого и обратного дискретного преобразования Фурье, физический смысл которых очевиден

 

1

N 1

 

N 1

c(k)

y(i)W ki ,

k 0, 1,..., N 1,

y(i) c(k)W ki ,

 

 

N i 0

 

k 0

i 0, 1,..., N 1.

Приведём показательную форму для комплексного ДПФ. Опре-

 

 

 

 

 

и фазы (k) составляющих ДПФ в зависи-

делим амплитуды

с(k)

 

мости от дискретного номера k:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c(k) c (k) jc (k),

c(k)

 

c(k)

 

e j k ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

с(k)

 

(c2

(k) c2 (k))1/2

,

(k) arctg(c (k)/c (k)), k 0, 1,..., N 1.

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

2

1

 

 

Результаты вычисления составляющих ДПФ можно графически изображать в виде амплитудного и фазового спектров. Для удобств изображений амплитудных спектров применяется логарифмический масштаб:

L с(k) 20log10 c(k) .

Вполне правомерно введение зависимости от частоты для составляющих спектра ДПФ. Шаг дискретности по частоте для составляющих определяется интервалом наблюдения NT, 2 / NT ,

f 1/ NT. Составляющие спектра – амплитуды и фазы модельных комплексных синусоид – располагаются равномерно по оси частот,

 

с(k)

 

 

 

c( k )

 

,

 

с(k)

 

 

 

c( fk )

 

,

(k) ( k ), (k) ( fk ) , где так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

же, как и разд. 4.1.2, k k,

fk f k, k 0, 1,..., N 1.

Рассмотрим пример вычисления амплитудного и фазового спектра ДПФ для сигнала в виде единичного прямоугольного импульса:

116