gos / шпоры / ТЦУ

1. Математическое описание процесса квантования.

(в лекциях p=τ, u=r)

(t)	Аналоговый
	сигнал

(0) (T) (2T)

t

T	2T	3T	4T 5T	6T
(t)					*(t) (*)
			АЦП
*(t)
					Обозначение
					-функции
					t
T	2T	3T	4T 5T	6T

Т – период дискретности (квант);

Т=const

р– ширина импульса Будем считать, что р 0.

В таком случае нужно переходить к - функции.

(*–квантованный сигнал)

р= площадь -функции.

u*(t) – последовательность единичных

-функций. Площадь импульсов – амплитуда (0), (T), (2T).

1
0		t
T	2T 3T 4T 5T 6T

u*(t) = (t-kT)
k	0

*(t) = (t)u*(t) = (kT) (t-kT)

k 0

*(t) = 0 (kT) (t-kT)

Дискретизацию (квантование) на схемах изображают так:

T

Запишем преобразование Лапласа дискретного по времени сигнала:

(t)

*(t)

E(s)

T

E*(s)

E *(s) L[ *(t)] *(t)e st dt (kT ) (t kT )e st

t kT dt (kT )e skT

0

k 0

0

k 0

E *(s) (kT )e skT

k 0

Вычисление этого преобразования – очень трудоемкий процесс.

Другой способ вычисления – используя преобразование Фурье:

1

2 k

u *(t) (t kT )

e j

t

T

k 0

T k

1

1

2 k

; 0 2

*(t) (t)

e j

T

t

T k

T

1

E *(s)

E(s jk 0 )

T k

Все равно бесконечный ряд. Но здесь ценна физическая трактовка.

1

1

1

E *(s)

T

E(s)

T

E(s jk 0 ) E(s

jk 0 )

k 1

k

В фигурных скобках – ВЧ составляющие.

E * (s) – не существует

E(s)

Таким образом, не существует передаточной функции идеального квантователя

E *(s)

1

E(s) (при условии, что стоит фильтр низких частот)

T

Формула очень грубая, но в первом приближении ее можно теоретически рассматривать.

гр

0

2

Для передачи сигнала без потери информации

2

; гр = 2 fгр

0

T

Теорема Котельникова:

|E(j )|

Непрерывный сигнал

-(3/2) 0

- 0

-(1/2) 0

(1/2) 0

0

(3/2) 0

|E*(j )|

Дискретный сигнал

-(3/2) 0

- 0

-(1/2) 0

(1/2) 0

0

(3/2) 0

2

2.Передаточные функции аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей.

АЦП.

E(t)

E*(t)

* (t) (kT ) (t kT )

E(s) T

E*(s)

k 0

E *(s) L *(t) (kT) (t kT)e st dt (kT) *1*e skT

k 0

0

k 0

E * (s) (kT)e skT

k 0

Применим ряды Фурье:

1

2

u * (t) (t kT)

e j

kt

T

k 0

T k

1

2

* (t) (t)u * (t) (t)

e j

kt

T

Преобразование Лапласа:

T k

L * (t)

1

j

2

kt

E * (s) * (t)e st dt (t)

e

T

e st dt

0

0

T k

1

( s j

2

k )t

1

2

E * (s)

(t) e

T

dt

E(s j

k)

T

T

T

0

k

k

1

E * (s)

E(s j 0 k) , где

0

2

T k

T

E * (s) – не существует

E(s)

Таким образом, не существует передаточной функции идеального квантователя Предположим, что дальше стоит фильтра низких частот, тогда с очень большой натяжкой

E * (s) T1 E(s)

Передаточная функция АЦП W (s)

E * (s)

1

,

АЦП

E(s)

T

δ(t)

δ(t)

но практически ее не существует.

δ*(t)

ЦАП

ЦАП. Нужно поставить НЧ-фильтр с идеальной

1

T

t

прямоугольной частотной характеристикой. Если через него пропустить

сигнал, то останется только центральная часть . В ТУ такой фильтр

0

T

2T

ЦАП держит сигналназывается экстраполятором. Экстраполятор 0-го порядка.

1

На выходе разрывная

t

0

функция

T

Функция должна держать импульс, поданный на вход, весь период

-1

дискретизации.

На выходе получается кусочно-непрерывный сигнал с разрывами 1-го порядка, но он

является аналоговым. На вход подается единичная δ-функция.

W

(s)

1

1

e sT

1 e sT

Э0

s

s

s

3

X () X (s) s

3. Передаточные функции дискретно-непрерывных устройств управления.

	g(t)	g*(t)		x(t)	X(s)=G*(s)W(s)
			W(s)
	G(s)	T G*(s)		X(s)

не существует, следовательно, передаточной функции не существует в рамках

дискретно-непрерывной модели (л.д.-н.с)

Введем фиктивный ключ (при этом теряем информацию в межтактовые моменты времени). Перейдем к рассмотрению эквивалентной дискретной модели:

g*(t)			x*(t)	X*(s)=G*(s)W*(s), где
		W*(s)				,
G*(s)			X*(s)

Определим передаточную функцию W*(s) дискретной системы x*(t) = x(t) u*(t)

1
0		t
T	2T 3T 4T 5T 6T

u*(t) = (t-kT) – последовательность -функций

k 0

	X * (s)	1	X ()U * (s )d
		2j
	дробно - рациональная функция
	X*(s) = L[ x*(t) ]
	U*(s) = L[ u*(t) ]
	X(s) = L[ x(t) ]
					1
	U * (s) L[u * (t)] L[			(t kT)] 1* e ksT 1 1e sT 1e 2sT ...
					1 e sT
			k 0	k 0

- осуществляем преобр. в пространство изображений

U * (s )

1

X *(s) 2j

			1
						- подставляем вместо s (s – λ)
	1 e sT e T
X ()			1		d
			1 e sT e T

M () D()

Функция дробно-рациональная , следовательно, можно использовать теорию вычетов

4

X* (s) n Re sX ( ) i 1 e 1iT e sT

i1

сумма по всем полюсам

			n							1
W * (s) Re sW ( )
							i			e sT e T
		i 1						1
Пример

Осуществим расчет дискретной передаточной функции:

2

k

1

1

W * (s) Re s

1

1 e sT esiT

i 1

T1

s(s

)

T1

s1 0

s 2

1

T

k

[

1

1

1

1 e sT e0T

T1 0

T1

Re sW (s)

s si

M (s)

D' (s)

s si

T

( )

k(1 e T1 )e sT

T

(1 e sT )(1 e sT e

T1 )

	1				1				]( )
	1						T
					1 e sT e		T1
	T1

		T
	k(1 e T1		)esT			W * (s)
				T
	(esT 1)(esT		e	T1 )

Формула работает только, если нет кратных полюсов(!) W*(s) – трансцендентная относительно переменной Лапласа

5

4.Структурные преобразования ДНС

1) E*(s)=G*(s)-X1*(s), X1(s)= E*(s)W1(s)W2(s), X1*(s)= E*(s)[W1(s)W2(s)]*= E*(s)W1W2*(s) X*(s)= E*(s)W1*(s)

X *(s) G *(s)			W1 *(s)
		1 W W *(s)
		1		2
Ф*(s)=X*(s)/G*(s)
Ф * (s)	W1 * (s)
	1 W W * (s)
1		2

2) E*(s)=G*(s)-X1*(s),

X1*(s) = E*(s)W1*(s)W2W3*(s),

X * (s) G * (s)		W1 * (s)W2 * (s)
	1 W * (s)W W * (s)
	1		2	3

Ф *(s)		W1 *(s)W2 *(s)
	1 W *(s)W W *(s)
	1		2	3

3) (лучше не писать, подозрительно)

X *(s) G *(s) W1 *(s)W2 *(s) 1 W1W2W3 *(s)

ПФ = не существует

6

5. Основы теории z-преобразования.

Z=esT s=σ+jω, s – комплексная переменная.

ReZ= eTσcosωT ImZ= eTσsinωT

z-преобразование используется только для дискретных по времени сигналов. X(z) – z- преобразование сигнала x*(t), если x(t), то предполагается, что сигнал квантуется по времени.

Таким образом основная полоса преобразуется в окружность единичного радиуса. Причем полюса, находящиеся в левой полуплоскости, лежат внутри круга.

Доп. полюса наложатся точно также. Следовательно, вся левая полуплоскость отражается в круг единичного радиуса.

W(s) 3-го порядка, λi – полюса. W*(s) -> появляется полоса 20 . Полюса повторяются, так

как появляется трансцендентная модель.

Z=esT s=jω

	точки: 1) s=0 2)	0		2	3)	s j	0		4)	s j	0
				T			2				2

|λi |< 1 для всех полюсов в левой полуплоскости, она находятся внутри окружности. Для 2-й полосы полюсы в z-плоскости получаются те же. Проблема трансцендентности снимается.

n

1

W * (s) Re sW (s)

s i

1 e sT e iT

i 1

n

1

W (z) Re sW (s)

s i 1

z 1e iT

i 1

W (z)

M (z)

, где M(z) и D(z) – дробно-рациональные ф-ии

D(z)

Пример

W *(s)

k(1 e T / T1 )est

(est 1)(est e T / T1 )

W * (s)

k(1 e T / T1 )z

(z 1)(z e T / T1 )

Теоремы z-преобразований:

1) Теорема о начальном значении: lim x(kT ) lim X (z) . Если x(t) имеет z-преобрахование, и
k 0	z

предел существует, то выполняется теорема, и начальное значение функции равно пределу. 2) Теорема о конечном значении: Если x(t)->X(z) для любого |zi| < 1 и если функция (1-z-

1)X(z) не имеет полюсов вне единичной окружности, то				lim x(kT ) lim(1 z 1 )X (z) .
				k	z 1
Обратное z-преобразование: x(kT )	1		X (z)z k 1dz
	2 j
			7

6. Методы анализа устойчивости цифровых систем.

Замкнутая система

G(z)		X(Z)
	Ф(z)
1+W(z)=0 => anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0=0
полюса – z1…zn
Система устойчива			для всех полюсов

1)алгебраические критерии. - критерий Гурвица - критерий Шур-Кона

Они оперируют с коэффициентами an, an-1, …, a1, a0. По алгебраическим критериям нельзя определить запасы устойчивости.

2)частотные критерии

Критерий Найквиста для дискретного случая остается практически неизменным, за исключением того, что меняется на :

Для того, чтобы ЛДС была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы ее частотные характеристики в разомкнутом состоянии обладали следующими свойствами: число переходов фазовой характеристики через прямую -180 ( -540, … ) при L() > 0 равнялось m/2 (m-число полюсов в правой полуплоскости в разомкнутом состоянии).

Переход сверху–вниз с минусом, снизу-вверх с плюсом

8

7.	Применение билинейного	преобразования	к передаточным функциям
	разомкнутых систем управления.
пл. s	пл.z	пл.w

z = ej T = cos( T) + jsin T
w j		sin T	jtg	T	j tg 2
	1 cos T			2
						T

Вводится новая плоскость – разворачиваем окружность единичного радиуса в левую полуплоскость.

z1 w

1 w

w z 1 z 1

- псевдочастота (безразмерная величина)

– чисто мнимая переменная, окружность снова разворачивается в левую полуплоскость. Связь псевдочастоты с кр. частотой :

tg T

2

	0	0	0		2	0
		2			T

если , то зависимость линейная

j		j
	пл. S		пл. w

u	u
0	0
0 <+	0 <+

При применении сначала z-, а затем w-преобразования к передаточной функции получим W(w). Появятся типовые звенья, но уже от w, а не от s.

W (w) k(T2 w 1)(...)...(...) w(T1w 1)(...)...(...) ;

s = j w = j

- псевдочастота

9

8.Построение логарифмических амплитудной и фазовых характеристик, записанных относительно псевдочастоты.

j		j
	пл. S		пл. w

u	u
0	0
0 <+	0 <+

Видно, что преобразование нелинейное.

tg	T		T	(при малых T)
	2		2

W (w) w j w( j )

L(),дБ = 20 lg |w(j )| (), рад = arg (w(j )) 0 < +

W(s) W*(s) W(z) W(w)

1

W *(s) T k w(s jk 0 )

Технически мы вернулись в рамки типовых звеньев, но физический смысл в этом искать нельзя.

W (w) k(T2 w 1)(1 w) - всегда появляются НМФ звенья (как минимум, одно).

w(T1w 1)

π 40

	-20 дб/дек	-40 дб/дек
20	π / 2		-20 дб/дек		0 дб/дек
0		с
					k
-20	-π / 2
-40	-π
	НЧ	СЧ		ВЧ
	0.1	1		10

0 0/2 0 +

В первоначально построенной характеристике отсутствует частота среза. Получить ее можно, варьируя k сделать звено устойчивым (на схеме – точечный пунктир).

kk

нk

Критерий Найквиста для дискретного случая остается практически неизменным, за исключением того, что меняется на :

10