1. Структура систем ЦОС. Структура систем сбора данных
Структура цифровых информационно-управляющих систем (ИУС) для общего случая представлена на блок-схеме
Типовая цифровая ИУС состоит из четырёх составляющих систем: 1) ОУ – объекта управления; 2) ССД – системы сбора данных; 3) СОИ – системы обработки информации; 4) СВУ – системы выработки управления. системы ОУ,
ССД, СОИ и СВУ-прямоугольники; стрелки-направления движения входной и выходной информации. Система ЦОС, являющаяся частью ИУС, состоит из ССД и СОИ и помещена в пунктирный прямоугольник
ОУ – объект управления – характеризуется векторами входных управляющих переменных u1(Ti) (u1(t)) и векторами выходных переменных, которые в ряде случаев определяются как векторы фазовых координат x(t) x( p(t), t), p(t) –
векторные параметрические функции.
. В простейшем случае для статических ОУ связь между входными и выходными переменными определяется модельными нелинейными функциями от нескольких переменных, которые можно представить в скалярном или векторном виде:
|
x1(t) f1( p1(t),..., pq (t), u11(t),..., u1m (t)), |
. . . |
(1.1.1) |
x1(t) f1( p1(t),..., pq (t), u11(t),..., u1m (t)), |
|
x(t) f (x(t), p(t), u1(t)) . |
(1.1.2) |
Связь между векторами управляющих переменных и векторами фазовых координат для динамических ОУ определяется системами модельных дифференциальных уравнений. Для динамических ОУ с сосредоточенными параметрами модельные дифференциальные уравнения в векторном виде представляются следующим образом:
dxdt f (x(t), p(t), u1(t)) .
.
{Необходимо отметить отличия параметрических функций p(t) и управляющих переменных u1(Ti) . Управления u1 (Ti) являются полностью известными; параметрические функции p(t) – некоторые неизвестные функции, относительно которых могут быть сведения только об их самых общих характеристиках.}
ССД – система сбора данных – обеспечивает промежуточное накопление и предварительную цифровую обработку многоканальной информации об объекте управления. На вход системы ССД поступает вектор фазовых координат x(t) x( p(t), t) и вектор управления u2 (Ti) , реализующий настройку ССД. Выходом ССД являются векторы наблюдений y(Ti) фазовых координат, связанные с фазовыми координатами x(Ti) и помеховыми возмущениями w(Ti) , которые обусловливают погрешности в наблюдениях. Наблюдения описываются следующей модельной
зависимостью: y(Ti) h(x(Ti), w(Ti), u2 (Ti)) , |
(1.1.3) |
|
|
где вид модельной функции наблюдения h( , , ) определяется конструкцией ССД. |
|
||
СОИ – система обработки информации – обеспечивает по входной информации-наблюдениям от ССД |
y(Ti) и |
||
вектору управления u3 (Ti), |
который предназначен для настройки алгоритмов СОИ, решение задачи вычисления |
||
оценок фазовых координат |
x (Ti) и оценок параметрических функции p (Ti) , которая, по-существу, |
является |
центральной для ЦОС.
СВУ – система выработки управлений – осуществляет формирование необходимых управляющих воздействий
u1(Ti) для ОУ, u2 (Ti) для ССД и u3 (Ti) для СОИ по информации от СОИ. |
В общем виде можно записать: |
||||||
u1(Ti) u1(x (Ti), p (Ti)), |
u2 (Ti) |
u2 (x (Ti), |
p (Ti)), u2 (Ti) u2 (x (Ti), |
p (Ti)), |
u3 (Ti) u3 (x (Ti), |
||
p (Ti)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Структура ССД существенным образом |
||||
|
|
|
определяет |
возможности |
проведения |
||
|
|
|
ЦОС. ССД состоит из системы датчиков, |
||||
|
|
|
усилителей, |
противомаскировочных |
|||
|
|
|
фильтров, электронных коммутаторов, |
||||
|
|
|
аналого-цифровых преобразователей и |
||||
|
|
|
устройств |
буферной |
памяти. |
||
|
|
|
упрощённой конструкции ССД, цифрами |
||||
|
|
|
отмечены основные элементы системы. |
ССД состоит из системы датчиков,
1
усилителей, противомаскировочных фильтров, электронных коммутаторов, аналого-цифровых преобразователей и устройств буферной памяти.
Датчики назначение которых состоит в преобразовании фазовых координат объекта x(t) в систему
электрических сигналов – выходные напряжения V (t) , в которых содержится информация о параметрах объекта.
Каждому датчику ставится в соответствие функция преобразования, которая связывает значение величины x(t) со значением напряжения V (t).
Усилители назначение данных усилителей cостоит в обеспечении усиления входных сигналов до стандартного значения: K1V (t) V1(t) , V1(t) V1 , чаще всего V1 1 В. Частотные характеристики передаточной функции для УС должны быть подобраны таким образом, чтобы для входного сигнала V (t) в заданном частотном диапазоне амплитудные и фазовые искажения были незначительными.
Противомаскировочные фильтры На вход аналогового противомаскировочного фильтра подаётся сигнал V1(t),
выходной сигнал фильтра обозначается в виде V2 (t). Низкочастотные аналоговые фильтры (непропускающие высокие частоты) с передаточными функциями ( j ) обеспечивают устранение высокочастотных составляющих в выходном сигнале V2 (t). Как правило, для противомаскировочных фильтров их АЧХ в точке среза
с должны иметь большую крутизну. Вследствие чего в рабочей полосе частот (0, c ) коэффициент усиления фильтра должен быть примерно равен 1, в высокочастотной области ( c , ) коэффициент усиления фильтра должен быть близок к нулю:
( j ) 1 , 0 c ; ( j ) 0 , c .Частота среза c аналогового фильтра обычно регулируется в зависимости от полосы исходного сигнала (его частотных свойств) и заданной частоты дискретизации.
Электронные коммутаторы Электронный коммутатор (мультиплексор) реализует переключение измерительных каналов с частотой дискретизации fd 1/ T , T – интервал временной дискретизации Следует отметить, что использование в ССД электронного коммутатора не является обязательным; его применение диктуется
в ряде случаев требованием уменьшения аппаратурных затрат для снижения числа микросхем АЦП |
для трёх |
|||||||||||
|
|
|
информационных входных каналов, на которые подаются |
|||||||||
|
|
|
напряжения V21(t), V22 (t), V23 (t) , приведён на рис. 1.3.7. |
|||||||||
|
|
|
С временным шагом дискретизации T происходит |
|||||||||
|
|
|
запоминание |
на |
время |
t k |
(время |
коммутации) |
||||
|
|
|
соответствующего кусочно-постоянного напряжения, которое |
|||||||||
|
|
|
предназначено для подачи в устройство дискретизации. Для |
|||||||||
|
|
|
работы электронного коммутатора должно выполняться |
|||||||||
|
|
|
соотношение n tк T. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
АЦП |
|
Аналого-цифровые |
преобразователи |
(АЦП) |
|||||
осуществляют |
преобразование последовательности |
кусочно-постоянных напряжений от мультиплексора |
||||||||||
VМП VМП (t) |
в последовательность цифровых кодов |
у0 y0 (Ti) . Следует отметить существенные параметры |
||||||||||
АЦП для формирования систем ЦОС: 1) tАЦП – время преобразования АЦП аналогового напряжения |
V2i (t) в |
|||||||||||
цифровой код; очевидно, должно выполняться неравенство tАЦП tk ; |
2) LA – число разрядов цифрового кода с |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
выхода АЦП (не считая знака); 3) VАЦП – рабочий диапазон АЦП по входному напряжению; этот параметр |
||||||||||||
|
|
|
y0 (Ti) |
|
||||||||
устанавливается стандартным рядом значений – чаще всего V |
АЦП 1 и 5 В. Последовательность |
с выхода |
||||||||||
АЦП является дискретизованной по времени и по уровню. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ус-во буферной памяти На вход буферного запоминающего устройства (БЗУ) поступают данные от АЦП. БЗУ обеспечивает промежуточное хранение массивов дискретизованных данных. Для БЗУ следует отметить параметры,
существенные при реализации сбора данных: 1) tБЗУ – время ввода одного кода от АЦП в БЗУ; tБЗУ Tn; 2) объем памяти БЗУ – VБЗУ в Кб (Мб), где б – байт. При формировании конкретной системы сбора данных необходим учёт типа памяти БЗУ.
2
2. Аппроксимация наблюдений для линейных моделей, действительный и комплексный случай.
наблюдаемый |
сигнал y(t) |
|
связан с исходным сигналом |
x(t) x( p(t), t) и |
случайным |
помеховым |
||||||||||||||||||||||||
возмущением w(t) через модельную функцию наблюдения h( , ) |
известного вида |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
y(t) h(x(t), w(t)) h(x( p(t), t), w(t)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Действительный случай: |
|
есть |
|
наблюдения |
y(i) y(Ti) |
на |
конечном |
временном |
интервале |
для |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
i 0,1,..., N 1. |
Представим линейную по |
параметрам модельную функцию: |
yM (c, |
Ti) cr r (Ti), |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 1 |
|
i 0,1,..., N 1. |
зависящая |
|
от |
вектора |
параметров |
cT (c ,..., |
c |
) |
, |
T (Ti) ( (Ti),..., (Ti)) |
в |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
m |
|
|
|
1 |
|
|
|
m |
|
|
скалярном виде: yM (c, Ti) cT (Ti). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
функционал |
S(c, y), |
мера |
|
близости |
модели |
и |
наблюдений, |
определяется |
разностями |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y(c, Ti) y(i) cT (Ti). |
|
S(c, y) = |
y2 (c, Ti) ( y(i) cT (Ti))2. |
|
линейности S имеет |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
(из-за |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
квадратич. Форму) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
векторно-матричные переменные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y(0) |
|
|
|
c1 |
|
|
1(T 0), |
2 (T 0), |
|
... |
m (T 0) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Y |
|
y(1) |
, c |
|
c2 |
, X |
|
1(T 1), |
2 (T 1), |
|
... |
m (T 1) |
|
|
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|
. |
|
|
... |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y(N 1) |
|
|
|
cm |
|
1(T (N 1)), |
2 (T (N 1)), ... |
m (T (N 1)) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
где Y – вектор наблюдений размерности (N,1); |
c – вектор параметров модели размерности (m, 1); |
X – |
||||||||||||||||||||||||||||
матрица плана сигнала размерности (N, m). |
Нетрудно видеть, что разность для наблюдений и модели |
|||||||||||||||||||||||||||||
может быть сформирована в векторном виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Y (c) Y Xc . |
|
|
|
|
(2.4.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
На основе введённых векторов и матриц функционал S(c, Y ) |
записывается как скалярное произведение и |
|||||||||||||||||||||||||||||
представляет собой квадратичную форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(c, Y ) Y T (c) Y (c) (Y Xc)T (Y Xc) |
|
(2.4.6) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y T Y Y T Xc cT X T Y cT X T Xc. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
С учётом того, что имеет место равенство YT Xc cT X TY , |
можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(c, Y ) YTY 2cT X TY cT X T Xc. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
=0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
минимальное значение этой квадратичной формы достигается при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
(X T X ) 1 X T Y. |
|
|
|
|
|
(2.4.7) |
|
|
|
|
|
Представим в виде системы линейных уравнений (в лекциях D=A, d=a)
X T X c X T Y.
Введём обозначения D X T X , b X T Y. Матрица D имеет размерность (m, m); элементы этой матрицы симметричны относительно главной диагонали и определяются как скалярные произведения базисных функций
N 1 |
|
drs r (Ti) s (Ti), |
r, s 1,..., m. |
i 0 |
|
Элементы вектора b X T Y размерности (m,1) – коэффициенты Фурье, вычисляются как взвешенные
суммы наблюдений
N 1
br r (Ti) y(i) , r 1,..., m.
i 0
Нахождение оптимального вектора параметров c сводится к решению линейной системы уравнений
Dc b.
3
Комплексный случай: Рассмотрим решение задачи оценивания параметров линейных моделей для
комплексных сигналов. Введём комплексные наблюдения |
y(i) y1(i) jy2 (i) |
и комплексную модель |
||||||||||||||
сигнала |
cT (Ti), определяемую |
|
комплексным вектором |
параметров |
cT (c ,...,c ) |
и |
комплексной |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
m |
|
|
базисной |
функцией T (Ti) ( (Ti),..., (Ti)), |
с c |
jc |
, |
(Ti) |
(Ti) j |
(Ti), |
r 1,..., m, |
||||||||
|
|
1 |
m |
r |
1r |
|
2r |
|
r |
|
1r |
|
|
2r |
|
|
i 0,1,..., N 1. Функционал с |
использованием |
суммы |
произведений |
сопряженных |
комплексных |
|||||||||||
множителей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(c, Y ) ( y(i) cT (Ti))*( y(i) cT (Ti)). |
|
|
(2.4.8) |
|
|
||||||||||
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексную разность функции наблюдения и модели |
Y (c) Y Xc. |
Воспользовавшись введёнными |
векторно-матричными переменными, но в комплексной форме, представим функционал S(Y , c) (2.4.8)
S(Y , c) Y *T (c) Y (c) (Y Xc)*Т (Y Xc).
С учётом равенства Y*T Xc c*T X *T Y запишем
S(Y , c) (Y Xc)*Т (Y Xc)
|
(Y * X *c* )T (Y Xc) Y *T Y 2Y *T Xc c*T X *T |
(2.4.9) |
|
|
Xc. |
||
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
Минимальное значение этой квадратичной формы (2.4.9) достигается при |
|
||
|
c ( X *T X ) 1 X *T Y. |
(2.4.10) |
|
Оценка с из (2.4.10) может быть найдена с помощью решения системы линейных уравнений (в лекциях
A=D)
|
( X *T X ) c |
X *T Y , |
Dc |
b. |
(2.4.11) |
|
Коэффициенты матрицы D вычисляются в виде скалярных |
произведений |
векторов *r (Ti), |
s (i), |
|||
i 0,1,..., N 1: |
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
drs *r (Ti) s (Ti) , |
r, s 1,..., m. |
(2.4.12) |
|
||
|
i 0 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты вектора b (коэффициенты Фурье) |
вычисляются в виде скалярных произведений векторов |
|||||
*r (Ti), |
y(i), i 0,1,..., N 1: |
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
br *r (Ti) y(i) , |
r 1,..., m. |
(2.4.13) |
|
i 0
Если базисные функции ортогональны, то нахождение параметров модели упрощается. Матрица D будет диагональной с элементами
d |
rr |
2 |
, |
r 1,..., m, d |
rs |
0, |
r s. |
|
r |
|
|
|
|
Оптимальные параметры модели выразятся через коэффициенты Фурье
|
1 |
N 1 |
|
br |
|
|
|
|
сr |
*r |
(Ti) y(i) |
, |
r 1,..., m. |
(2.4.14) |
|||
2 |
||||||||
2 |
||||||||
|
i 0 |
|
|
|
|
|||
|
r |
|
r |
|
|
|
4
3. Модели сигналов на основе действительного и комплексного ряда Фурье.
Действительный случай. Рассмотрим построение моделей сигналов на основе действительного ряда Фурье.
Пусть наблюдения cигнала заданы в виде действительной функции y(t) |
на конечном интервале времени |
|||
0 t T0. {Будем полагать, что для рассматриваемого сигнала y(t) |
выполнены сформулированные |
|||
условия сходимости. } |
|
|
|
|
Выбирается модель для указанного сигнала в форме действительного ряда Фурье следующего вида |
||||
|
|
a0 |
|
|
|
yM (c, t) |
(al cos lt bl sin lt). |
(2.5.1) |
|
|
|
|||
|
2 |
l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
модельные частоты l l, |
2 /Т0 , l 2 l T0 и определяются длиной интервала наблюдения, |
модельные синусоиды располагаются с шагом по частоте , |
который зависит от Т0 . Вектор параметров |
|||||||||
модели имеет бесконечную размерность, |
сT (a , a , a ,....., b , b ,....), |
b 0. |
{Благодаря выбору |
|||||||
|
|
|
0 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
0 |
|
частотного параметра оказывается, что на интервале времени Т0 |
укладывает целое число периодов |
|||||||||
базисных функций cos lt cos lt и |
sin lt sin lt. Вследствие этого, указанные} базисные функции |
|||||||||
являются ортогональными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функционал для решения задачи аппроксимации функции наблюдений y(t) |
на основе сформированной |
|||||||||
модели имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T0 |
|
a |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
S(c, y) |
y(t) |
0 |
(al |
cos lt bl sin lt) dt. |
|
|||||
2 |
|
|||||||||
0 |
|
l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нахождение вектора параметров модели сводится к минимизации указанного функционала, который, очевидно, является квадратичным по с:
с arg{min S(c, y)}, c T |
(a , a , a ,....,b , b ,...). |
||||
c |
0 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Устремим число базисных функций в бесконечность, |
L . |
Естественно, можно сразу записать, опустив |
знак , формулы для оптимальных параметров модели, которые являются известными коэффициентами разложения Фурье:
a |
2 |
T0 |
y(t) cos tdt, |
b |
|
2 |
T0 |
y(t)sin tdt, |
l 0,1, 2,... . |
|
T |
|
T |
|
|||||||
l |
l |
l |
|
l |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
В силу ортогональности базисных функций модели ряда Фурье мощность P сигнала, сформированного на основе ряда Фурье, слагается из мощностей составляющих синусоид Pl , мощность для l-й синусоиды определяется амплитудами
|
|
A2 |
|
|
|
|
P Pl , |
Pl |
l |
, |
Al2 al2 bl2 , |
l 0, 1, 2,... . |
|
2 |
||||||
l 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
{Благодаря ортогональности данного базиса для рассматриваемой модели возможно представление дискретного спектра мощности в виде бесконечной последовательности равноотстоящих на по оси частот значений Pl . }
Комплексный случай. Пусть произведено наблюдение комплексной |
функции y(t) = |
y1(t)+jy2(t) на |
|||||||
интервале 0 t T0 , модель сигнала представится комплексным рядом Фурье |
|
|
|
||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
yM (c, t) cl e j lt , |
2 /Т0 |
l l. |
(2.5.5) |
|
|
||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Комплексный вектор параметров модели имеет бесконечную размерность cT (...,c |
, c |
, c , c , c ,...). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 1 2 |
Функционал остаточной суммы примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т0 |
|
l |
* |
l |
|
|
|
|
|
S(c, y) |
y(t) |
с l e j lt |
y(t) |
cl e j lt dt. |
(2.5.6) |
|
|
||
0 |
|
l |
|
|
l |
|
|
|
|
5
Так же как и для разд. 2.5.1, ограничимся конечным числом комплексных модельных синусоид, которые составляют модель; пусть число модельных синусоид равняется L. В этом случае вектор базисных функций для модели (2.5.5) имеет размерность (2L 1, 1) и выглядит следующим образом
T (t) e j Lt , e j (L 1)t ,..., e j 1t , e j 0t , e j 1t ,..., e j (L 1)t , e j Lt .
на интервале времени 0 t T0 составляющие базис функции ортогональны.
Оптимальные параметры модели cl , |
обеспечивающие минимум функционала (2.5.6) {после того как |
||||
сделаны необходимые выкладки и предельный переход L определяются следующими интегралами |
|||||
(опущен знак )}: |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
cl |
1 |
0 |
y(t)e j lt dt, |
l . |
(2.5.7) |
T |
|||||
0 |
0 |
|
|
|
{Пусть для рассматриваемой функции сигнала y(t) выполняются сформулированные в разд. 2.5.1 условия сходимости с учётом комплексности. Тогда на оптимальных cl из (2.5.7), очевидно, должно выполняться равенство }
l |
|
y(t) cl e j lt . |
(2.5.8) |
l
Мощность l-й комплексной модельной синусоидальной функции вычисляется интегрированием на интервале 0 t T0 :
y (t) (c |
jc |
)(cos t j sin t), |
y*(t) (c |
jc |
)(cos t |
j sin t), |
||||||
l |
1l |
2l |
|
l |
l |
l |
1l |
|
2l |
l |
l |
|
|
|
|
1 |
T0 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
Pl |
yl (t) yl* (t)dt (c12l c22l ) cl*cl , |
P Pl . |
|
|||||||
|
|
T |
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
l |
|
Благодаря ортогональности используемого комплексного базиса общая мощность сигнала представляется в виде суммы мощностей составляющих как для положительных, так и отрицательных частот.
6
4.Интеграл Фурье. Свойства интеграла Фурье. (ПФ-преоб-е Фурье, ФС-физический смысл)
Интеграл Фурье реализуется на основе рассмотрения комплексного ряда Фурье для бесконечного временного интервала; Симметричен относительно нуля,меняются только фазовые соотношения
временной интервал симметричным T0 /2 t T0 /2, пусть этот интервал расширяется
T0 |
k, |
k 1, |
2,..., |
|
2 |
l |
2 |
l |
l |
. |
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
l |
T0 |
|
2 k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем коэффициенты разложения комплексного ряда Фурье для расширяющегося временного интервала T0 2 k
|
|
1 |
k |
|
j |
l |
t |
|
|
c |
|
|
y (t)e |
|
dt, |
y (t) |
|||
|
|
k |
|||||||
|
|||||||||
l,k |
|
2 k |
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
Подставим выражение cl,k в yk (t)
Устремим k , обозначим lk
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cl,k e j |
|
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
j |
l |
t |
|
1 |
k |
|
j |
l |
|
|
||
: y (t) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
e |
|
k |
|
|
|
y ( )e |
|
k |
|
d . |
|||||
|
|
2 k |
|
|
|||||||||||
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
1
d , l k , получим в пределе y(t)
2
|
1 |
|
|
|
|
|
Сформируем интегралы C( j ) |
|
y(t)e j t dt, |
y(t) |
С( j )e j t d . |
||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Функцию C( j ) называют интегралом Фурье, или преобразованием Фурье для
j j t y( )e d e d .
y(t). прямое и обратное
преоб-е Фурье. Сигнал представляется как во временной области при традиционном анализе, так и в частотной области в виде непрерывных коэффициентов разложений Фурье C( j ), .
ФC C( j ) :Преоб-е Фурье C( ) -предельная функция коэффициентов комплексного ряда Фурье.
Функция C( ) в общем случае является комплексной функцией частоты и допускает следующие представления:
|
|
|
|
|
C( ) C ( ) jC ( ), |
|
|
C( ) |
|
C( j ) |
|
e j ( ) , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
где C1( ) и C2 ( ) – действительные и мнимые части; |
C( j ) |
, |
– модуль и фаза преобразования |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Св-ва: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Линейность. Пусть функция y(t) представляет собой взвешенную сумму функций |
ys (t), для которых |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
заданы их преобразования Фурье Cs ( j ) : y(t) s ys (t), |
|
|
|
Cs ( j ) F [ys |
(t )]преоб. |
-е Фурье C( j ) для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(t) вычисляется |
как |
взвешенная |
сумма |
|
преобразований |
|
|
Фурье |
|
Cs ( j ) : |
|
C( j ) F[ y(t)], |
|||||||||||||||||||||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C( j ) sCs ( j ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Сдвиг Пусть – |
масштабирующий |
множитель, |
|
|
преобразующий функцию y(t) |
|
в y(t) y( t), и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
C( j ) F[ y(t)]. C |
( j ) -? |
С( j ) |
|
|
y(t)e j t dt, |
С |
( j ) |
|
|
y( t)e j t dt. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пусть: t1 t, dt dt1 |
, сделаем подстановку в C |
( j ) и выразим C( j ) |
через C( j ) : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
y(t1)e j |
t1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
j |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
С |
( j ) |
|
|
|
|
|
|
dt1, |
C |
( j ) |
|
С |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. СдвигПусть задано преобразование Фурье для функции |
|
y(t): C( j ) F[ y(t)]. Введём запаздывание |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(сдвиг по времени) для функции y(t), |
сформируем y(t) y(t ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t )e j t dt |
y(t )e j (t )e j dt, |
|
|
( j ) C( j )e j . |
|
||
C |
( j ) |
C |
|
|||||||
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
преобразование Фурье для функции y(t), умноженной на e j 0t , сдвигается по частоте |
y(t) y(t) e j 0t , |
C( j ) C( j( 0 )).
4. Прео-е Фурье от комплексной синусоиды y(t) e j 0t требует предварительного определения -функции. { Импульсной -функцией называется такая функция, которая удовлетворяет следующим двум условиям:
1) |
(x) 0 |
для x 0 и (x) для x 0; |
|
|
|
|
|
2) |
(x) 1 |
для любого 0. |
Импульсная -функция может рассматриваться как предел обычной функции (х) при 0. Например,
(x) 1/ 2 для |
|
х |
|
и (x) 0 для |
|
х |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для -функции устанавливается важное равенство:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
(x0 ), a x0 b; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) (x x0 )dx |
|
|
|
|
|
b, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
0, x0 a, x0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
если (x) |
|
непрерывна в точке x0 и a b. } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
С учётом сделанного определения можно записать преобразование Фурье для y(t) e j 0t : |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C( j ) |
|
|
1 |
|
|
|
e j 0t e j t dt ( ). |
y(t) |
|
( )e j t d e j 0t . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ФС: если синусоида определена на |
|
|
|
|
интервале, ее энергия бесконечна. След-во в ПФ везде нули. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. ПФ для симметричного единичного импульса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T0 |
|
|
|
|
|
|
|
T0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
T0 /2 |
|
|
|
|
|
1 |
sin (T0 / 2) |
|
sin (T0 |
/ 2) |
|||||
y(t) 1, |
|
|
|
|
|
|
|
y(t) 0, |
|
|
|
|
|
C( j ) |
|
1 e j t dt |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
, |
t |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 T /2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
T0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
T0 |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
T0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Едичный импульс симметричен |
|
преобразование Фурье C( j ) является действительной функцией. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. ПФ для произведения функций y(t) x(t)z(t), |
Cx ( j ), |
Cz ( j ) – ПФ x(t), z(t). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C |
|
|
( j ) |
|
|
|
y(t)e j t dt |
|
|
|
|
|
С |
|
( j )e j 1t d |
|
|
C |
|
( j )e j 2t d |
e j t dt. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
z |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменив порядок интегрирования, с учётом выражения интеграла Фурье для комплексной синусоиды получим
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
d C |
( j ) |
|
C |
( j )d |
|
e j 1t e j 2t e j t dt |
|
d C |
( j ) |
|
C |
( j )d ( ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 x |
1 |
|
z |
2 2 |
|
|
|
1 x |
1 |
|
z |
2 2 |
1 2 |
Cy(w)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cx ( j 1)Cz ( j( 1))d 1. Преобразование Фурье от произведения функций равняется свёртке
преобразований Фурье сомножителей.
8
5.Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова. Кажущиеся частоты и протимаскировочная фильтрация.
Положим, что задан исходный непрерывный сигнал y(t), t , который является в общем случае комплексным и определённым в бесконечных временных пределах. Для данного сигнала производится дискретизация во времени, где T – интервал дискретизации; y(Ti) – дискретные значения непрерывного сигнала; fd 1 T – частота дискретизации, Гц; d 2 fd – круговая частота дискретизации. При фиксированном временном интервале T, дискретизация осуществляется равномерно для моментов времени ti Ti. {Дискретизация может производиться неравномерно для произвольных моментов времени ti и её результатом служит соответствующая последовательность дискретных значений непрерывного сигнала y(ti ). Здесь} будем рассматривать только равномерную дискретизацию во времени; пренебрежём погрешностями, возникающими из-за дискретизации по уровню.
Задача восстановления непрерывного сигнала y(t) по его дискретным значениям y(Ti) задача интерполяции. Восстановление сигнала здесь состоит в том, что по бесконечной последовательности дискретных значений сигнала y(Ti), i , необходимо найти значения непрерывного сигнала для промежуточных моментов времени t Ti.
Исходный сигнал y(t) принадлежит к некоторому заданному классу функций; допустим, что можно
подобрать, у базисные функции i (t, T ), |
t , i . В качестве восстановленного сигнала |
y (t) для y(t) примем предел |
|
N |
|
y(t, N) y(Ti) i (t, T ), y (t) |
lim y(t, N ). |
i N |
N |
|
|
Задача восстановления может считаться успешно решённой, если будет выполнено равенство |
|
y (t) y(t). |
(3.4.1) |
{Возможность восстановления сигнала по его дискретизованным значениям зависит от частотных свойств сигнала и выбранной частоты дискретизации. Высокая частота дискретизации, очевидно, позволит осуществить восстановление сигнала; для низкой частоты дискретизации восстановление в ряде случаев
проблематично. } |
|
|
|
|
|
|
|
Появление |
|
«кажущихся» |
частот |
||
|
Неправильно |
|
выбранная частота |
|||
|
дискретизации, |
которая |
не |
|||
|
согласована |
|
|
с |
частотными |
|
|
свойствами сигналов, приводит к |
|||||
|
появлению |
|
|
так |
называемых |
|
|
«кажущихся» |
|
|
|
частотных |
|
|
составляющих. Разберём пример, в |
|||||
котором дискретизации подвергается непрерывный синусоидальный сигнал |
вида |
y(t) sin 2 f0t с |
||||
периодом T0 1 f0 . На рис. исходный сигнал y(t) изображен сплошной линией. |
|
|
Подвергнем исходный |
|||
|
|
непрерывный сигнал y(t) дискретизации с частотой fd1 4 f0 – четыре точки дискретизации на один период T0 , интервал дискретизации T1 1/ 4 f0 , T1 T0 / 4. Дискретизованные значения исходного сигнала отмечены чёрными жирными точками.Уменьшим частоту дискретизации, примем её равной fd 2 4 / 3 f0 , период дискретизации Td 2 4 / 3T0 , эти точки дискретизации отмечены кругами на пунктирной линии. В первом случае частота дискретизации больше двойной частоты сигнала, дискретизованный сигнал воспринимается как сигнал с периодом Tk1 T0 и его «кажущаяся» частота совпадает с частотой исходного сигнала fk1 f0 . Во втором случае частота дискретизации меньше двойной частоты сигнала, дискретизованный сигнал воспринимается как сигнал с периодом Tk 2 3T0 и его кажущаяся частота меньше частоты исходного сигнала fk 2 1/ Tk 2 f0 / 3. Вследствие неудачного выбора частоты дискретизации имеет место очень сильное искажение информации, «кажущаяся» частота сигнала меньше частоты исходного сигнала, что и видно из рис. 3.4.1.
Рассмотрим более детально существо проблемы возникновения «кажущихся» частотных составляющих
для дискретной синусоидальной функции y(i) sin(2 f0Ti). Введём частоту Найквиста, |
равную половине |
|||||
частоты дискретизации, fN 1/ 2T. Всегда можно представить |
f0 fN p q, где p |
– целое, |
|
q |
|
1. |
|
|
|||||
Учитывая равенство 2 f0Ti ( p q)i, запишем: |
|
|
|
|
|
|
y(i) sin ( p q)i sin pi cos qi cos pi sin qicos pi sin qi.
9
1) частота Найквиста больше частоты сигнала – |
р 0, тогда f0 / fN 1 и справедливо: y(i) sin qi |
|
sin 2 fk1Ti. Следует, что 2 fk1T q, |
fk1 fN q |
и fk1 f0 – «кажущаяся» частота совпадает с частотой |
исходного сигнала. 2) частота Найквиста меньше частоты сигнала – в частном случае положим p четным, f0 / fN 1, при этом fk 2 fN q f0q / ( p q) и fk 2 f0. Оказывается, что во втором примере «кажущаяся» частота меньше частоты исходного сигнала. Данные примеры позволяют сделать заключение, что для совпадения частоты сигнала и «кажущейся» частоты, частота Найквиста должна быть больше частоты
дискретизуемого сигнала.
Теорема Котельникова
Установим возможность точного восстановления непрерывных сигналов по их дискретным значениям. В
рамках теоремы Котельникова рассматриваются сигналы, принадлежащие к классу сигналов с финит-
ным преобразованием Фурье. Сигнал |
y(t) имеет финитное преобразование Фурье, обозначаемое как |
||||
С f ( j ), если: 1) С f ( j ) 0 для всех |
частот |
|
|
|
; 2) С f ( j ) тождественно не равно нулю для частот |
|
|
, где – верхнее значение частоты сигнала – полоса сигнала. Теорема Котельникова утверждает, что для сигналов с финитным преобразованием Фурье возможно точное восстановление сигнала по дискретным наблюдениям, если круговая частота дискретизации d удовлетворяет строгому неравенствуd 2 , где 2 f p , f p – полоса сигнала, Гц, fd 2 f p .
Представим исходный сигнал y(t) на основе обратного преобразования Фурье, если С f ( j ) – финитное
преобразование Фурье:
y(t) C f ( j )e j t d .
Возьмём , разложим функцию С f ( j ) в комплексный ряд Фурье на данном интервале ( , ) :
|
2 |
|
|
2 |
|
||||
С f ( j ) c fl e j |
|
l , c fl |
1 |
|
C f ( j )e j |
|
l d . |
|
|
2 |
2 |
(3.4.2) |
|||||||
2 |
|||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая введённое соотношение между величинами и , запишем |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) C f ( j )e j t d |
C f ( j )e j t d . |
(3.4.3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справедливо равенство, вытекающее из (3.4.2), (3.4.3), связывающее дискретные значения сигнала и
коэффициенты фурье-разложения |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
2 |
l |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
fl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим коэффициенты фурье-разложения c f l |
|
в выражение для С f ( j ) из (3.4.2): |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
l e j |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
С f ( j ) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
l . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(3.4.4) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
j |
2 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Подставим выражение (3.4.4) в ( 3.4.3) y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
l |
|
|
e |
|
2 |
e j t d . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
l 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
l t |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
Переменим порядок интегрирования и суммирования y(t) |
|
|
|
1 |
|
y |
2 |
e |
|
d . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сделаем замену 2 / 2 T, при этом частота дискретизации окажется равной d |
2 , и переобозначим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
индексы суммирования l i : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin (t Ti) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y(t) |
1 |
y(Ti) e j(t Ti) d . |
e j(t Ti) d |
|
|
Сигнал |
|
y(t) может быть представлен в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t Ti) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
виде разложения по базисным функциям i (t, T ) |
с весовыми коэффициентами y(Ti) : |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (t Ti) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y(t) y(Ti) i (t, |
|
T ), |
|
i (t,T ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t Ti) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в соответствии с теоремой Котельникова сигнал с финитным преобразованием Фурье с полосой при выборе частоты дискретизации d 2 допускает точное восстановление –
выполнение равенства (3.4.1).
Противомаскировочные фильтры Устранение эффекта маскировки (наложения) может быть реализовано двумя способами.
10