1. Математическое описание процесса квантования.

(в лекциях p=τ, u=r)

Т – период дискретности (квант);

Т=const

р – ширина импульса

Будем считать, что р  0.

В таком случае нужно переходить к -функции.

(*–квантованный сигнал)

р = площадь -функции.

u*(t) – последовательность единичных -функций. Площадь импульсов – амплитуда (0), (T), (2T).

u*(t) =(t-kT)

*(t) = (t)u*(t) =(kT)(t-kT)

*(t) =  ₀^ (kT)(t-kT)

Дискретизацию (квантование) на схемах изображают так:

Запишем преобразование Лапласа дискретного по времени сигнала:

Вычисление этого преобразования – очень трудоемкий процесс.

Другой способ вычисления – используя преобразование Фурье:

;

Все равно бесконечный ряд. Но здесь ценна физическая трактовка.

В фигурных скобках – ВЧ составляющие.

– не существует

Таким образом, не существует передаточной функции идеального квантователя

(при условии, что стоит фильтр низких частот)

Формула очень грубая, но в первом приближении ее можно теоретически рассматривать.

Для передачи сигнала без потери информации

; _гр = 2f_гр

Теорема Котельникова:

2. Передаточные функции аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей.

АЦП.

Применим ряды Фурье:

Преобразование Лапласа:

, где

– не существует

Таким образом, не существует передаточной функции идеального квантователя

Предположим, что дальше стоит фильтра низких частот, тогда с очень большой натяжкой

Передаточная функция АЦП , но практически ее не существует.

ЦАП. Нужно поставить НЧ-фильтр с идеальной прямоугольной частотной характеристикой. Если через него пропустить сигнал, то останется только центральная часть . В ТУ такой фильтр называется экстраполятором. Экстраполятор 0-го порядка.

ЦАП держит сигнал

На выходе разрывная функция

Функция должна держать импульс, поданный на вход, весь период дискретизации.

На выходе получается кусочно-непрерывный сигнал с разрывами 1-го порядка, но он является аналоговым. На вход подается единичная δ-функция.

2. Передаточные функции дискретно-непрерывных устройств управления.

X(s)=G*(s)W(s)

не существует, следовательно, передаточной функции не существует в рамках дискретно-непрерывной модели (л.д.-н.с)

Введем фиктивный ключ (при этом теряем информацию в межтактовые моменты времени).

Перейдем к рассмотрению эквивалентной дискретной модели:

X*(s)=G*(s)W*(s), где ,

Определим передаточную функцию W*(s) дискретной системы

x*(t) = x(t) u*(t)

u*(t) = (t-kT) – последовательность -функций

X*(s) = L[ x*(t) ]

U*(s) = L[ u*(t) ]

X(s) = L[ x(t) ]

- осуществляем преобр. в пространство изображений

- подставляем вместо s (s – λ)

Функция дробно-рациональная , следовательно, можно использовать теорию вычетов

Пример

Осуществим расчет дискретной передаточной функции:

Формула работает только, если нет кратных полюсов(!)

W*(s) – трансцендентная относительно переменной Лапласа