Теория управления

Уравнения динамики и статики объектов управления.

Различные по физической природе объекты управления могут описываться однотипными математическими зависимостями. Построение любой системы управления начинается с изучения объекта управления и составления его математического описания, которое может быть получено экспериментальным, аналитическим или комбинированным путем.

В первом случае уравнения объекта получают путем постановки специальных экспериментов на объекте (метод активного эксперимента) либо статистической обработкой результатов длительной регистрации координат объекта в условиях его нормальной эксплуатации (метод пассивного эксперимента).

При аналитическом описании уравнения объекта получают на основании физико-химических закономерностей протекающих в нем процессов.

Комбинированный путь получения математического описания объектов подразумевает обычно составление уравнений аналитическим путем с последующим уточнением коэффициентов этих уравнений экспериментальным методом.

Уравнения объектов автоматического регулирования в зависимости от описываемого ими режима работы подразделяются на уравнения статики и динамики.

Уравнения динамики описывают неустановившийся или переходный режим в объекте. Выходная координата объекта при этом является функцией времени и в общем виде уравнение динамики будет дифференциальным уравнением, содержащим производные по времени.

Объекты управления называются линейными, если они подчиняются принципу суперпозиции, который заключается в том, что реакция объекта на сумму входных сигналов равна сумме реакций на каждый из сигналов в отдельности. Линейные объекты описываются линейными дифференциальными уравнениями, то есть уравнениями, в которых искомая функция и ее производные содержатся в первой степени.

Уравнение динамики (представляет из себя ОДУ):

_{(другие
обозначения, смысл тот же)}

_{< == >}

a_n*(dⁿx(t)/dtⁿ)+…+ a₁*(dx(t)/dt)+ a₀*x(t)= b₀*g(t)+…+ b_m*(d^mg(t)/dt^m).

Начальные условия: x(0),…, x⁽ⁿ^-1)(0).

Уравнения статики описывают установившийся режим, при котором все координаты объекта остаются неизменными во времени, то есть объект находится в состоянии равновесия. Они представляют собой алгебраические или дифференциальные уравнения, содержащие производные по какому-либо параметру, кроме времени. Существенной особенностью уравнений статики является неизменность координат объекта во времени. g(t)=const=g₀, x(t)=const=x_0.

Если g(t)=const=g₀, то x(t)=const=x₀. Тогда уравнение динамики преобразуется в уравнение статики:

a₀* x₀= b₀* g₀.

2. Передаточные функции объектов и устройств управления.

Классический подход предполагает переход от временной области в область изображений.

Преобразование Лапласа.

L[x(t)]=X(S) – линейный оператор. t – время, S – переменная Лапласа S=σ+jω.

X(S)= ∫x(t)e^-^stdt (интеграл берётся от 0 до ∞).

Задача Коши.

Линеаризация возможна при малых возмущениях.

L[x¹(t)]=S*X(S)-X(0⁺)

…

L[x⁽ⁿ⁾(t)]=Sⁿ*X(S)-S^n-1*X(0⁺)- S^n-2*X²(0⁺)-…-X^n-1(0⁺)

L^-1[X(S)]=1/2πj*∫X(S)e^stdS=x(t) (alpha – j * omega … alpha + j * omega)

a_n*Sⁿ*X(S)+a_n-1*S^n-1*X(S)+…+a₁*S*X(S)+a₀*X(S)=

=b_m*S^m*G(S)+b_m-1*S^m-1*G(S)+…+ b₁*S*G(S)+ b₀*G(S)+M_н_._у_.(S)

(a_n*Sⁿ +a_n-1*S^n-1+…+a₁*S*+a₀)X(S)=(b_m*S^m+b_m-1*S^m-1+…+ b₁*S+ b₀)G(S)+M_н_._у_.(S)

Положим начальные условия нулевыми.

X(S)/G(S)= (a_n*Sⁿ +a_n-1*S^n-1+…+a₁*S*+a₀)/(b_m*S^m+b_m-1*S^m-1+…+ b₁*S+ b₀)

W(S)= X(S)/G(S) – передаточная функция ЛДС – это отношение изображений выходного сигнала к входному при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция характеризует динамические свойства элемента и поэтому является важнейшей его характеристикой. Зная ее можно определить процесс изменения выходной координаты при наличии входного воздействия и заданных начальных условиях.