4 семестр / Задание №4 Численное решение волнового уравнения
.docЗадание № 4
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Цель работы: изучение разностных схем для численного решения уравнений в частных производных гиперболического типа, численное решение одномерного волнового уравнения.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Распространение волн в одномерном приближении описывается уравнением
с начальными условиями
и краевыми условиями
Здесь х - координата, t - время, a - фазовая скорость волны; функция f(x,t) описывает влияние среды, т.е. поглощение или возбуждение волн в среде.
Для решения воспользуемся неявной трехслойной разностной схемой
(1)
Здесь
а оператор
Разностную схему (1) можно преобразовать к виду
Полученное уравнение решается методом прогонки, как и в выполненных ранее работах. Прогонка строится в два этапа.
Первый этап - вычисление прогоночных коэффициентов по рекуррентным формулам (прямой ход прогонки):
Второй этап - вычисление значений , (обратный ход прогонки):
Вместо схемы (1) можно также воспользоваться более простой явной трехслойной разностной схемой
(2)
которая преобразуется в расчетную формулу
где с - число Куранта.
Данная схема устойчива при выполнении условия Куранта:
Для начала вычислений необходимо, помимо u(x,0), располагать значением u( x, τ ). Поскольку решение u(x, t ) на каждом временном шаге находится с погрешностью O(τ3) значение u( x, t) также необходимо иметь с той же погрешностью O( τ3). Для нахождения воспользуемся рядом Тейлора:
Из исходного уравнения следует, что
и из начальных условий
Окончательно имеем:
Затем из уравнения (1) находим значения u(x,t) в моменты времени t=2τ, 3τ и т.д.
В дальнейшем ограничимся случаем, когда f = 0, т.е. среда (внутренние источники) отсутствует. Таким образом, будут рассматриваться лишь свободные колебания и вынужденные колебания под действием краевой возбуждающей силы. Характерными временами задачи являются:
где T0 - время прохождения волны вдоль системы, τ0 - время прохождения волной шага h. Можно показать, что диапазоны длин волн λ и частот ν, которые могут наблюдаться в рассматриваемой системе, составляют:
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ μ1(x)
1)
2)
3)
4)
5)
ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ μ2(x)
1)
2)
3)
4)
5)
ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ μi(x) (i = 3,4)
(рi = 0.2÷2, νi =1÷10).
1) 2)
3) 4)
5)
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Функции μi (i = 1 до 4) удобно оформить в виде подпрограмм - функций. Для хранения целесообразно отвести три одномерных массива по N+1 элементов в каждом, и после завершения очередного временного шага с помощью оператора цикла переписывать на место , а на место.
Значения l и a можно положить равными 1, а число пространственных шагов N, временной шаг τ и длительность счета Т рекомендуется выбирать из условий:
N=25- 100, τ = (0.2- 0.8) τ0 , Т= (5-10) Т0 .
Для наблюдения за ходом вычислений через каждые M =20 ÷ 100 шагов следует выдавать график .
Для проверки правильности программы рекомендуется предварительно решить тестовую задачу, полагая
Решение этой задачи должно быть близко к стоячей волне вида
Блок-схема программы для явной схемы представлена на рис. 1. В блоке 2 вводятся параметры В цикле 3-4-5 задаются начальные распределения в моменты времени 0 и τ. Цикл 6-15 является основным в программе, в нём с шагом τ осуществляется изменение времени t. В этот цикл вложены циклы 7-8-9 и 12-13-14, в которых соответственно вычисляется значения в текущий момент времени и перезапись массивов для перехода к следующему временному шагу. В блоке 10 анализируется необходимость выдачи промежуточного распределения , которое осуществляется в блоке 11, если это необходимо. В блоке 16 выводятся полученные результаты.
СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
Отчет должен содержать:
-
формулы и параметры для конкретного варианта;
-
текст программы;
-
результаты решения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
-
Каков порядок погрешности разностной схемы (1)?
-
Покажите, что разностная схема (1) безусловно устойчива.
-
Как строится решение разностной схемы (1)?
-
Изобразите расположение узлов ("шаблон"), на котором по-
строена разностная схема (1)?
-
Каков порядок погрешности разностной схемы (2)? 6. Получите условие устойчивости разностной схемы (2). 7. Изобразите расположение узлов, на котором построена разностная схема (2).