Математичне моделювання систем / Лекция 2

Лекция 2

Моделирование и расчет параметров вероятностного графа.

Цель работы: ознакомление с вероятностными графами и методами расчета параметров этих графов.

1. Краткие теоретические сведения.

Рассмотрим технологический объект, состоящий из двух агрегатов. Предположим, что каждый из агрегатов может находиться в одном из двух состояний:

- нормальная работа;

- авария, выход из строя.

Тогда технологический объект можно представить в виде графа:

Р₁

₁

₂

₁

₂

Р₂ Р₃

₃

₄

₄

₃

Р₄

Вершины графа обозначены таким образом, чтобы на первой позиции фиксировалось состояние первого агрегата (1 - исправен, 0 - неисправен). Между вершинами графа проходят дуги, показывающие интенсивности потоки отказов () и потоков восстановления (). Элементами потоков являются интервалы времени. Для потока отказов это интервалы времени между отказами (выходом из строя) соответсвующих агрегатов. Для потока восстановлений это продолжительность ремонта аварийного агрегата.

Рассмотрим примеры потоков между вершинами 1 и 2. В примере потоки будут имеет вид:

Состояние

t₁ t₂ t₃ t₄

1

0

T₁

T₃

T₂

T₄

t

Последовательность значений t₁, t₂, t₃, . . . образует поток отказов. Если определить среднее значение для этого потока n

t = 1/n  t_i

i = 1

то интенсивность потока рассчитывается по выражению:  = 1/t. Аналогично  = 1/Т.

В каждый отдельный момент времени исследуемый технологический объект может находится только в одном из четырех возможных состояний. Рассмотрим задачу расчета вероятностей нахождения технологического объекта в каждом из возможных состояний Р₁-Р₄. Если все вершины графа исследуемого объекта являются достижимыми, то для решения задачи достаточно составить и решить систему финитных вероятностей или систему уравнений Колмогорова.

Для нашего случая все вершины графа достижимы, а система уравнений Колмогорова будет иметь вид:

Правила составления системы уравнений следующие:

1. В системе присутствуют уравнения двух типов.

2. Количество уравнений первого типа на единицу меньше, чем количество вершин в графе.

3. Уравнение первого типа состоит из правой и левой частей.

4. В левой части уравнения вероятность выбранной вершины умножается на сумму интенсивностей потоков, выходящих из этой вершины.

5. В правой части находится сумма произведений вероятностей смежных к выбранной вершин на интенсивности потоков, входящих в выбранную вершину. В качестве выбранной вершины может выступать любая вершина графа, но только один раз.

6. Уравнение второго типа представляет собой балансное уравнение для заданного графа.

В полученной системе линейных уравнений неизвестными параметрами являются параметры Р₁, Р₂, Р₃ и Р₄.

Структуру графа необходимо выбирать со следующими характеристиками:

- все вершины графа должны быть достижимым;

- количество вершин не менее пяти;

- количество дуг не менее шести.

Для выбранного графа произвольно задать потоки отказов и восстановлений. Для этого на графе выделить две группы дуг с примерно равным количеством дуг в каждой группе. Для каждой дуги задать по десять значений потоков. В первой группе значения потоков задавать в интервале 20 - 100 условных единиц времени. Для второй группы - значения в интервале 1-10 условных единиц времени. Все числовые значения по потокам свести в таблицу.

Выполнить расчет интенсивностей всех потоков по графу.

В дальнейшем необходимо составить систему уравнений Колмогорова для выбранного графа и определить значения коэффициентов при неизвестных.

Решить полученную систему линейных уравнений произвольным методом.