Математичне моделювання систем / МоделирСистем ЛабРаб / Лабораторная работа 1 (Дмитриев Валерий Иванович)

7

Лабораторная работа

Тема: Идентификация структуры математической модели объекта (системы) с одним вводом и одним выходом по экспериментальным данным.

Цель работы: выбор структуры математической модели объекта (системы)

1. Постановка задачи.

   1. По варианту исходных данных (см. файл .pdf таблицы данных №2 для параболической регрессии) пар значений входных х_і(t) и выходных у_і(t), наблюдаемых значений величин объекта (t=1…n) в результате пассивного эксперемента, идентифицировать:

- линейное уравнение регрессии первого порядка вида y=ax+b;

- нелинейное уравнение регрессии второго порядка вида параболы y=ax²+bx+c.

Для аппроксимации данных использовать метод наименьших квадратов (МНК).

1. Рассчитать коэффициенты корреляции и корреляционного отношения для численной оценки степени связи экспериментальных данных и идентифицированных уравнений регрессии (см. п.1.1.).

2. На графике в координатах (х, у) построить : экспериментальные данные согласно варианта задания, построить рассчитанные уравнения регрессии (см п. 1.1), рассчитав предварительно значения у_ір(х_і) для значений экспериментальных данных х_{і .} Сделать вывод о правильности рассчитанных уравнений регрессии и их построения.

3. Рассчитать ошибки аппроксимации экспериментальных данных линейным и нелинейным уравнениями регрессии (см п. 1.1) ₁ и ₂ и сделать вывод о наиболее подходящей структуре модели.

4. Используя значения коэффициентов по п.1.2. , сделать вывод подтверждения выбора структуры или неподтверждения. В последнем случае аппроксимируют экспериментальные данные другими зависимостями у= f(х) – логическими, тригонометрическими и т.д. или уточняют выполненные расчеты.

5. Сделать выводы по работе о структуре объекта исследования и полученных результатах.

1. Краткие теоретические положения.

   1. Основные положения метода наименьших квадратов (МНК).

Для аппроксимации экспериментальных данных в работе применяется метод МНК, суть которого в следующем. В результате идентификации управление регрессии располагается на поле корреляции, проходя через совокупность точек с координатами ( x_і , у_і ), таким образом , что реализуется критерий

(1)

где у_і^* - экспериментальные значения по таблице исходных данных варианта;

у_рі – расчетные значения величин у_і по принятому уравнению регрессии для значений .

На рис.1. приведено графическое изображение метода МНК :

У

∆_і=(у^*_і –у_рі)

У₂

у_і^*

у = ах+b

у_рі

У₁

α

b

X₂

X_і

X₁

0

X

Рис. 1 Графическое изображение метода МНК

В линейном уравнении регрессии полученые коэффициенты имеют такой смысл:

- коэффициент b- величина на координате у, отсекаемая уравнением регрессии;

- коэффициент a- характеризует угол наклона линии регрессии к оси координаты х.

a=tg= , =arctg a (2)

Согласно МНК в критерий (1) вместе у_рі подставляют принятое аппроксимирующее уравнение регрессии, так для уравнения у_р =ах+b получим:

(3)

Выполним преобразования функции под знаком суммы и приравниваем критерий F=0:

(4)

Блок-схема решения задачи:

Рисунок 2 – Блок-схема алгоритма решения задачи

Выражение (4) дифференцируют частными производными по a и b:

(5)

Продолжая преобразования (5) получают расчётную систему:

(6)

(7)

Система (7) – система нормальных уравнений, решая её известными методами (методом подстановки, методом Крамера и т.д.) получим выражения для расчета коэффициентов «а» и «b»:

;

(8)

;

2.2 Для параболы, используя метод МНК, аналогично получим выражение для критерия (1):

(9)

Раскрывая последовательно выражение под знаком суммы и приведя подобные, получим выражения для взятия частных производных, согласно (10):

(10)

Полученные выражения сведём в систему:

(11)

.

Решая систему уравлений (11) одним из известных методов (последовательной подстановки, методом Крамера, матричным методом и т.д.) получают значения коэффициентов а, b, с. Метод последовательной подстановки состоит в следующем:

• из 1-го уравления определяют выражения, например, для коэффициента «с»:

(12)

• подставляют это выражение во 2-е уравнение и определяют выражение для коэффициента, например, «b»;

• полученное выражение подставляют в 3-е уравнение и определяют выражение, например, для коэффициента «а»;

• полученное значение коэффициента «а» подставляют во 2-е уравнение и определяют «b»;

• подставляя в 1-е уравнение коэффициенты «а» и «b», определяют значения коэффициента «с».

В результате определяют искомое уравнение регрессии второго порядка y=ax²+bx+c (13).

2.3 Для решения системы (11) методом Крамера, матричным методом необходимо её преобразовать к виду:

А * Х = В, (14)

где А – матрица коэффициентов при неизвестных х_i;

Х – вектор-столбец неизвестных (х₁, х₂, … х_n);

В – вектор-столбец свободных членов системы (11), значений в правой части уравнений (b₁, b₂, … b_m).

Для системы (11) принимают х₁=а, х₂=b, х₃=с. Тогда вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец свободных членов будут:

; (15)

Матрица коэффициентов формируется по расчетным значениям: n = a₁₁, , и т.д. В результате получим:

(16)

Решение системы (11) матричным методом (14) будет в виде:

, (17)

где - транспонированная матрица к матрице А,

- обратная матрица.

2.4 Средняя ошибка аппроксимации экспериментальных данных уравнениями регрессии определяется по выражению (см. п. 1.4):

, (18)

Сравнивая - для уравнения прямой и - для уравнения параболы делают вывод о структуре модели (линейная или нелинейная) по меньшей ошибки аппроксимации.

2.5 Расчет коэффициентов для оценки вида связи экспериментальных данных и рассчитанных уравнений регрессии (см. п. 1.2).

Оценку линейной связи по линейному уравнению выполняют по коэффициенту корреляции:

(19)

где ; ;

средние квадратичные отклонения ; (20)

Оценку нелинейной (криволинейной) связи выполняют индексу корреляции или корреляционному отношению согласно выражения:

(21)

где - значения величины «» по расчётному уравнению регрессии нелинейного вида;

- среднее значение величины «» по выборке экспериментальных данных;

- экспериментальные данные.

Сравнивая и по большему значению коэффициента судят о виде лучшей связи (аппроксимации) – линейной или нелинейной.

3. Содержание отчета по работе.

Отчёт должен содержать:

- исходные данные по варианту задания;

- краткую характеристику метода МНК;

- исходные теоретические положения расчётных выражений и подробные расчёты по п.1.1, п.1.2, п.1.4.;

- графики в координатах (x,y) исходных данных расчитаных уравнений регрессии (на одном графике), сделать вывод визуально о лучшей аппроксимации по п.1.3;

- сделать вывод по п.1.5.;

- выводы по работе по п.1.6.

Исп. литературные источники

1. Гаркавий В.К., Ярова В.В. Математична статистика : навчальний посібник, - К: ВД «Професіонал», 2004,-384 с.

2. Бережна Л.В., Снитюк О.І. Економіко математичні методи та моделі. – К.: Кондор, - 2009, -301с.

3. Гришин А.Ф. Статические модели в экономике/ А.Ф.Гришин, С.Ф.Котов-Дарти, В.Н.Ягунов. – Ростов Н/Д: «Фенікс», 2005. - 344с.

4. Новицький І.В., Ус С.А. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. - Дніпропетровськ : НГУ, РВВ, 2009. -349с.