Tipovoy_raschet_po_matematike_T_V_Klodina__N_S_Zadorozhnaya_N_V_Danilova

РОСЖЕЛДОР Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения

(РГУПС)

Т.В. Клодина, Н.С. Задорожная, Н.В. Данилова

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО МАТЕМАТИКЕ

Методические указания

(1 курс, первый семестр)

Ростов-на-Дону

2011

2

УДК 517.2(07)+06

Клодина Т.В., Задорожная Н.С., Данилова Н.В.

Типовой расчет по математике. 1 курс, первый семестр: методические указания / Т.В. Клодина, Н.С. Задорожная, Н.В. Данилова; Рост. Гос. ун-т путей сообщения. – Ростов н/Д, 2011. - 42 с. Библиогр.: 4 назв.

Предлагаемый типовой расчет охватывает содержание разделов, изучаемых студентами в курсе «Высшая математика» в первом семестре первого курса: линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости, аналитическая геометрия в пространстве, введение в математический анализ, дифференциальное исчисление.

Приведенные задания подразделяются на две группы: задачи класса «В» предназначены для хорошо и отлично успевающих студентов и класса «А» для остальных студентов.

Составлены задания с образцами решения. Практические задания разделены на 30 вариантов, предназначенных для индивидуального выполнения студентами в процессе работы над курсом. Они способствуют выработке у слушателей необходимых практических навыков в использовании теоретических положений при решении задач.

Типовой расчет выполняется студентами самостоятельно в течение всего семестра и подлежит защите.

Учебное пособие предназначено для студентов первого курса строительного факультета и факультета ДСМ РГУПС.

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, профессор В.Б. Зеленцов (РВИ РВ), канд. техн. наук, доцент Кручинина Е.В. (РГУПС).

3

Задание 1.

Решить систему уравнений по формулам Крамера (задача класса “ А»); методом Гаусса и матричным способом (с нахождением обратной матрицы) (задача класса «В»).

Варианты для самостоятельного решения.

	3x + 4 y + 2z = 8			2x − y + 5z = 4				5x + 8 y − z = 7
	2x − 4 y − 3z = −1			5x + 2 y + 13z = 2
								2x − 3y + 2z = −3
№1			№		− y	+ 5z = 0	№
	x + 5 y + z = 0		2	3x			3	x + 2 y + 3z = 1
	7 x − 5y	= 34		3x + y + z = 5				x + y − z = 1
		= −36						8x + 3 y − 6z = 2
	4 x + 11y			x − 4 y − 2z = 9
			№				№			− y + 3z = −3
№4	2x + 3 y + 4 z = −20		5	− 3x + 5 y + 6z = 7			6	− 4x
	2x − y + 5z = 4			4x − 3 y + 2z = 8				x + y − z = −2
	5x + 2 y + 13z = −23
	3x − y + 5z = 0		№	2x + 5 y − 3z = 11			№	4x − 3 y + z = 1
									2x + y		− 5z = 1
№7			8	5x + 6 y − 2z = 13			9
	3x + 2 y + z = 5			7 x − 5 y		= 31		4x − 3 y + 2z = 9
	2x + 3 y + z = 1				+ 4 y	+ 11z = −43		2x + 5 y − 3z = 4
				4 x
№			№		+ 3 y	+ 4 z = −20	№
10	2x + y + 3z = 11		11	2x			12	5x + 6 y − 2z = 18
	x + y + z = 4			2x − y − z = 4				x + y − z = 1
					+ 4 y − 2z = 11
	2x − 5 y + 3z = 1			3x				8x + 3 y − 6z = 2
№	2x + 7 y − z = 8		№	3x − 2 y − 4z = 11			№	− 4x − y + 3z = −3
13			14				15
	x + y − z = 1			x − 2 y + 3z = 6				7 x + 5 y			= 31
	8x + y − 5z = 7			2x + 3 y − 4z = 20						+ 11z = −43
								4 x
№			№		− 2 y − 5z = 6		№				+ 4 z = 20
16	4x + y − 3z = 3		17	3x			18	2x + 3 y
	4x − 3 y + 2z = 9			x − 2 y + 3z = 6				3x + 4 y + 2z = 8
	2x + 5 y − 3z = 14			2x + 3 y − 4z = 20				2x − 4 y − 3z = −1
№	5x + 6 y − 2z = 18		№	3x − 2 y − 5z = 6			№	x + 5 y + z = 0
19			20				21
	x + y + 2z = −1			3x + y + z = 21				x − 4 y − 2z = −3
						− 2z = −16					+ z = 5
	2x − y + 2z = −4			x − 4 y				3x + y
№	4x + y + 4z = −2		№	− 3x + 5 y + 6z = 41			№	3x − 5 y − 6z = −7
22			23				24
	x + y − z	= −2		x + 2 y		+ 4z = 31		x + 2 y			+ z = 4
						+ 2z − 20
	4x − 3 y + z = 1			5x + y				3x − 5 y + 3z = 1
№	2x + y − z = 1		№	3x − y + z = 10			№	2x + 7 y − z = 8
25			26				27

4

	x − 2 y + 3z = 6		5x + 8 y − z = 7		2x + 3 y + z = 1
	2x + 3 y − 4z = 20		2x − 3 y − 2z = 9		x + y − 4z = 0
№	3x − 2 y − 5z = 6	№	x + 2 y + 3z = 1	№	4x + 5 y − 3z = 1
28		29		30

Задание 2.

Даны вершины треугольной пирамиды: A, B,C и D . Требуется найти:

1)длину ребра AB ;

2)площадь грани ABC ;

3)угол между ребрами CB и CD ;

4)объем пирамиды ABCD ;

5)уравнение плоскости ABC.

6)уравнения высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ;

7)уравнения стороны AB ;

8)длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC .

Варианты для самостоятельного решения.

№1	A (3;-1;5);	B (4;2;3); C (0;-1;1);	№2	A (4;-1; 2 ); B (2; 3;-5 ); C (4;0;3);
	D (-2;1;3)			D (6; 1;-1 )
№3	A (0;-3;2); B (3;2;1); C (5;-1;0);		№4	A (1; 2; 0); B (3;-1;0)
	D (1;0;-1)			; C (01;2); D (4;-3 ;5 )
№5	A (1; 2; 0);	B (3; -1; 6); C (0; 4; -1);	№6	A (5;3 ;-2 ); B (0 ;4 ;6); C (7 ;0 ;-1 );
	D (5; 0; 1)			D (1;4 ;0 )
№7	A (0; 3; -1); B (5; 6; -1); C (2; -1; 0);		№8	A (4;2 ;-3 ); B (0 ;1 ;5 ); C (3 ;-1 ; 0);
	D (1; 0; -1)			D (6;0 ;-3 )
№9	A (1; 2; -5);	B (4; 3; 0); C (3; 0; -2);	№10	A (3;0 ;-2 ); B (5 ;-2 ;3 ); C (4 ;-1 ;0 );
	D (0; 2; -1)			D (0; 2; 1)
№11	A (1; 2; 3);	B (0;4; 5); C (-3; -1; 0);	№12	A (2; 4; 3); B ( 1;0 ;-1 ); C ( 2;2 ;-3 );
	D (2; 5; -1)			D (0;7 ;-1 )
№13	A (3; 5; 0);	B (2; -1; 1); C (0; 3; 4);	№14	A (-2;1 ;3 ); B (4 ;2 ;3 ); C ( 3;-1 ;5 );
	D (5; 2; 1)			D (1;0 ;2 )
№15	A (6; 1; -1);	B (4; 0; 3); C (2; 3; 0);	№16	A (1;0 ;-1 ); B ( 5;-1 ;0 ); C (3 ;2 ;1 );
	D (4; -1; 2)			D (0;-3 ;2 )
№17	A (5; 3; -4);	B (0; -1; 2); C (1 ;2 ;0);	№18	A (6;0 ;3 ); B (3 ;-1 ;0 ); C (5 ;1 ;2 );
	D (5; 6; -1)			D (4; 2 ;0 )
№19	A (1; -2; 5);	B (2 ;-1 ;1 ); C (3 ;4 0);	№20	A (-1;2 ;0 ); B (3 ;0 ;-2 ); C (4 ;3 ;0 );
	D (0; 3; 1)			D (7; 2; -1)
№21	A (3; 3; 0); B (2; -1; 5); C (0 ;4 ;-2 );		№22	A (6; 0;-3 ); B (0 ;1 ;5 ); C (4; 2; 3);
	D (1;-1 ; 3)			D (2; 4; 0)
№23	A (1; 0; 2);	B (3; -1; 5); C (4 ;-2;3 );	№24	A (0; 7;-1 ); B (2 ;2 ;3 ); C (1; 0; -1);
	D (0; 2; -1)			D (2; 4; -3)
№25	A (5; 2; 1); B ( 0; 3; 4); C (2 ;-1 ;2 );		№26	A (4;-3 ;5 ); B (0 ;-1 ;2 ); C (1 ;2 ;0 );
	D (3; 5; 0)			D (3;5 ;7 )

5

№27	A (5;0; 1); B (0 ;4 ;-1 ); C (3 ;-1 ;6 );	№28		A (1;4 ;0 ); B ( 7;0 ;-1 ); C (0 ;4 ;6 );
	D (1; 2; 0)			D (5;3 ;-2 )
№29	A (-1; 2; 0)№ B (-2;0;3); C ( 0;3; 4);	№30		A (2; 5;-1 ); B (-3 ;-1 ;0 ); C (0 ;2 ;3 );
	D (-5; 2; 7)			D (4;0 ;-5 )

Задание 3.

Даны вершины треугольника ABC . Найти:

1)длину стороны AB ;

2)уравнения сторон AB и AC , их угловые коэффициенты;

3)угол В в радианах;

4)уравнение высоты CD и ее длину;

5)уравнение медианы AE ;

6)координаты точки пересечения высоты CD и медианы AE .

Варианты для самостоятельного решения.

№1	A(−4;6), B(8;−10), C(11;11)	№2	A(− 2;1), B(10;10), C(8;−4)
№3	A(−6;8), B(6;−8),C (9;13)	№4	A(− 1;0), B(11;9), C (9;−5)
№5	A(−8;10), B(4;−6), C (7;15)	№6	A(− 4;−1), B(8;8), C (6;−6)
№7	A(−10;4), B(2;−12),C (5;9)	№8	A(− 3;−3), B(9;6), C(7;−8)
№9	A(−2;7), B(10;−9), C (13;12)	№10	А
			(− 3;0), B(9;9), C (7;−5)
№11	A(−5;9), B(7;−7),С(10;14)	№12	A(− 5;−2), B(7;7), C (5;−7)
№13	A(−3;11), B(9;−5),C (12;16)	№14	A(− 5;1), B(7;10), C(5;−4)
	A(−7;13), B(5;−3),C (8;18)
№15		№16	A(8;−6), B(10;8), C(− 2;−1)
	A(−11;12), B(1;−4),C (4;17)
№17		№18	A(8;−8), B(− 2;−3), C (10;6)
№19	A(−9;5), B(3;−11), C (6;10)	№20	A(4;−4), B(− 6;−1), C (6;10)
№21	A(−2;9), B(7;−3), C (13;14)	№22	A(− 3;7), B(12;4), C (3;−5)
№23	A(7;−6), B(2;12), C (3;−11)	№24	A(5;13), B(6;10), C (− 10;4)
№25	A(2;−11), B(3;4), C(7;20)	№26	A(11;−4), B(− 8;12), C (− 7;13)
№27	A(6;−12), B(5;1), C (7;−16)	№28	A(16;3), B(11;−7), C (− 9;11)
№29	A(3;−9), B(− 6;11), C(3;−9)	№30	A(− 10;8), B(− 15;−7), C(6;−4)

Задание 4.

Задачи класса «В». Дано уравнение линии второго порядка:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + F = 0 .

Требуется:

1) привести общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду;

6

2)исследовать, будут ли пересекаться эта линия и прямая y = kx + b , если да, то найти координаты точек их пересечения;

3)сделать чертеж.

Варианты для самостоятельного решения.

№1	4 y 2 + 16 y − x + 17 = 0,	№2	x2 + y 2 + 6x − 4 y − 23 = 0,
	y = x + 1		y = 2 − x
№3	2x2 + y 2 + 6x − 4 y + 23 = 0,	№4	7 x2 − y 2 + 42x + 2 y + 55 = 0,
	y = x − 2		y = − x
№5	6x2 + 5 y 2 + 12x − 10 y = 0,	№6	4x2 + 9 y 2 + 16x − 18 y − 11 = 0,
	y = 1 − x		y = x + 1
№7	5x2 + 20x − 3 y 2 + 6 y + 2 = 0,	№8	4x2 + 3 y 2 − 8x + 6 y − 5 = 0,
	y = x + 2		y = x − 1
№9	9x2 − y 2 + 2 y − 36x + 26 = 0,	№10	x2 + 7 y 2 + 4x − 14 y + 4 = 0,
	y = x − 2		y = x + 3
№11	x2 − 2 y 2 − 2x − 4 y − 5 = 0,	№12	6x2 + y 2 − 12x + 2 y + 1 = 0,
	y = x − 1		y = x − 2
№13	4x2 − 9 y 2 + 16x + 18 y − 29 = 0,	№14	5x2 + 3 y 2 + 20x − 6 y + 7 = 0,
	y = x + 2		y = x + 3
№15	8x2 + 16x − y + 10 = 0,	№16	x2 + y 2 + 6x − 2 y + 1 = 0,
	y = x + 2		y = − x − 1
№17	4x2 + 3 y 2 + 8x − 18 y + 19 = 0,	№18	9x 2 + y 2 − 36x − 2 y + 28 = 0,
	y = 2 − x		y = x − 2
№19	16x2 + 32 y 2 − x − 18 = 9,	№20	x2 + 5 y 2 − 4x + 10 y + 4 = 0,
	y = x − 3		y = x − 2
№21	7 x2 + y 2 + 42x − 2 y + 57 = 0,	№22	6x2 − 5 y 2 + 12x + 10 y = 0,
	y = − x		y = 1 − x
№23	x2 + y 2 + 4x − 2 y − 20 = 0,	№24	4x2 − 3 y 2 + 8x + 18 y − 35 = 0,
	y = x + 1		y = 2 − x
№25	x2 + 2 y 2 − 2x + 4 y − 1 = 0,	№26	x 2 + 4 y 2 − 4x + 4 y − 2 = 0,
	y = x − 1		y = x + 1

		7
№27	x2 − 5 y 2 − 4x − 10 y − 6 = 0,	№28	4x2 + 8 y 2 − 4x + 18 = 0,
	y = x − 2		y = x − 1
№29	2x 2 + 4 y 2 − 2x + 4 y − 1 = 0,	№30	x2 + y 2 − x − y + 4 = 0,
	y = x + 2		y = x + 1

Задачи класса «А». Построить график квадратичной функции по основным точкам (точкам пересечения с осями координат, координатам вершины и направлениям ветвей).

Варианты для самостоятельного решения.

№ 1	y = 4x − x2	№ 2	y = x2 − 4x + 3	№ 3	y = 4 − x2
№ 4	y = x2 + 3x	№ 5	y = 2x − x 2	№ 6	y = x2	− 5x + 6
№ 7	y = − x2 + 4x − 3	№ 8	y = x2 + x − 6	№ 9	y = x2	− 4x − 5
№ 10	y = ( x + 2)2	№ 11	y = − x2 + 4x − 4	№ 12	y = 1 − x2
№ 13	y = x2 − 7x + 12	№ 14	y = 4x2 − 4x + 1	№ 15	y = 3x − 5x2
№ 16	y = 2x2 − 2	№ 17	y = x2 + 2x − 3	№ 18	y = 3 − 2x2
№ 19	y = − x2 + x + 2	№ 20	y = x2 − x − 12	№ 21	y = ( x + 1)2
№ 22	y = x2 + 5x − 14	№ 23	y = x2 − 10x + 25	№ 24	y = −5x + x2
№ 25	y = x2 − 6x	№ 26	y = − x2 − 2x	№ 27	y = x2	− 2x − 8
№ 28	y = (3 − x)2	№ 29	y = −x2 + 5x − 6	№ 30	y = x2	− 6x + 9

Задание 5.

Вычислить пределы функций. Номера примеров для задач класса «А»: 1, 2, 3, 4;

задач класса «В»: 5, 6, 7, 8, 9.

Варианты для самостоятельного решения.

3x

2

− 5x + 7

ax − x

1

2

−

;

№1

1)

; 2)

; 3)

lim

lim

+ 3x + 1

x − a

lim

x→∞ 4x2

x→a

x→1 x − 1

x2 − 1

1

3 x+4

4x + 1

x−5

ctg 3 x

4)lim

−

; 6)lim(1

+ sin 2x ) ;

1

; 5)lim

x→∞

x + 1

x→∞ 4x − 1

x→0

2x2 − x + 3

x2

tgx − sin x

7)lim

; 8)lim

; 9)lim

.

x

x→∞

x4 + 1

x→0 3 8 + x − 2

x→0

3

8

№2

2

5x − 7 x ; 2)

5x − 1 − 3

; 3)

1

−

6

1)

lim

;

lim

3x

+ 4

x2 − 4

lim

+ 3

x2 −

x→∞

x→2

x→−3

x

9

2

1−4 x

3x +

5

x+7

3

; 6)lim(1

2

3x)x ;

4)lim

− 2tg

1 +

x −

; 5)lim

x→∞

3

x→∞

3x −

5

x→0

7)lim

x

2

+ 1

; 8)lim

x + 1 − 1

1 − cos 2x

x + 1

x

; 9)lim

x

.

x→∞

x→0

x→0

№3

2x

2

+ 3x − 1 ; 2)

1 + x − 1 − x ; 3)

1

−

12

1)

lim

;

lim

x

lim

2 x3 −

x→∞

5x3 − 7 x + 3

x→0

x→2 x −

8

5

7 x−3

2x − 3 4 x−1

ctg 5 x

4)lim

+

;6)lim(1 − 2x )

;

1

; 5)lim

x→∞

4x +

3

x→∞

2x +

3

x→0

7)lim

2x + 3

; 8)lim

sin 3x

; 9)lim

2x 2

.

x→∞

3

x + x

x→0

x + 9 − 3

1−cos x

x→0

№4

x3 − 3x2 + 5

x

1

4

1)lim

; 2)lim

−

; 3)lim

;

x→∞ 3x

2 − 4x + 7

x→0

1

+ 5x − 1

x→−2

x

+ 2 x2 −

4

4

2 x−1

x + 1

3 x

1

4)lim

+

2

3 x

;

1

; 5)lim

; 6)lim(cos6x )sin

x→∞

5x −

1

x→∞ x −

9

x→0

7)lim

x2 + 1 + 3 x − 1

1 + x −

1 − x

2 − 2cos3 x

x2 − 1 + x

; 8)lim

x

; 9)lim

3x2

.

x→∞

x→0

x→0

№5

5x

3

− 7 x ; 2)lim

2 −

x − 3 ; 3)lim(

x2 + 3 −

x2 + 4x );

1)lim

x→∞ 1 − 2x3

x→7

x2 − 49

x→∞

1−3 x

x

1

x

5

ctg 2 x

; 5)lim

; 6)lim(1 − x )

;

4)lim 1 +

− 7

x→∞

4x − 5

x→∞

x

x→0

7)lim (x2 − 1)(5x − 8); 8)lim

x − 8

; 9)lim(1 − x )tg π x.

x→∞

x3 + 9

x→8 3 x − 2

x→1

2

9

№6

2x2 -1

; 2)lim

x2 - 4

; 3)lim(

x2 + 3x -1 - x);

1)lim

2 - 3x + 2

x→∞ 3x

2 - 4x -1

x→2 x

x→∞

4)

-

2

5 x+4

3x

- 2

1−x

; 6)

(

+

1

lim

1

; 5)

2sin 3x

)x ;

lim

lim 1

x→∞

11x + 7

x→∞

3x

+ 5

x→0

7)lim (2x + 3)3 (3x - 2)2

; 8)lim

1 + sin x -

1 - sin x ; 9)lim sin x - cos x

x→∞

x5 + 7

x→0

x

x→π

1 - tgx

4

№7

2

2

2

2

3x

- 5x + 9

x - 3x -10

x

x + 3

1)lim

-

; 2)lim

x3 + 8

; 3)lim

+ x

;

x→∞

4x3 - 3

x→−2

x→∞

1

1 - x

-

7 x−2

2−5 x

(

)3sec

2

4)

lim

1

4

; 5)

7 x

- 2

; 6)

2 x

;

3x +

lim

lim cos 4x

x→∞

2

x→∞

7 x

+ 3

x→0

7)lim

x2

; 8)lim

2 -

x - 3

; 9)lim

sin 3x × sin 5x

x2 - 49

2 .

x→∞

10 + x x

x→7

x→0

(x - x2 )

№8

3

4x - 5x + 2

1 - 3x -

1

1

2

-

1)lim

; 2)lim

x

; 3)lim

;

x→∞ 2x3 + 4x - 8

x→0

x→2

x2 - 4 x2 - 3x +

2

5

3 x−7

x2

-1

2 x 2 +1

cos ec 2 x

4)lim

; 5)lim

; 6)lim(2 - cos x )

;

1 -

x→∞

3x + 1

x→∞

x2

+ 3

x→0

7)lim

x

; 8)lim

x - 5

; 9)lim sin 5x × sin 2x .

x→∞

x2 + 1

x→5

x -1 - 2

x→0

tg 2 7 x

№9

9x

2

- 8x + 11

5x

2

- 2x - 3 ; 3)lim( 2x -1 -

2x + 3 )

1)lim

; 2)lim

x→∞

3x4 + 9x2 - 5x + 3

x→1 2x2 + x - 3

x→∞

2

3 x+8

6x _ 7

2−5 x

1 + sin 5x -1

4)lim

-

; 5)lim

; 6)lim

1

+ 9

sin 2x

;

x→∞

9 - 5x

x→∞

6x

x→0

7)lim

2x + 4

; 8)lim(1 + sin 4x )ctg 3 x ; 9)lim arcsin3x × tg 2x .

x→∞

5x -1 + 4x

x→0

x→0

1 - cos x

10

№

4x

3

− 5x

2

+ 2x

−

4

3x

2

+ 4x + 1

)

10

2

1)lim

; 2)lim

; 3)lim(

x

+ 4

9x3

+ 2x − 6

x2 − 1

− x ;

x→∞

x→−1

x→∞

3

2 x+9

4x − 5 2−5 x

(1 + 3tg 2x )

7

4)

lim

1

+

; 5)

; 6)

lim

x

;

lim

x→∞

5 − 3x

x→∞

4x +

9

x→0

№

6 − 4x

7

+

5x

9

x − 7

4

− 1

3x

3

11

x

1)lim

; 2)lim

; 3)lim

−

;

x→∞ 2x

9 + 6x4 − 5

x→7

x + 2

− 3 x→∞

x3

x2 + 1

3

3−4 x

x − 5 2 x+1

sin 2 x

3

; 6)lim(1 + 4x )

;

4) lim 1+

; 5)lim

−

x→∞

2x−5

x→∞ x

3

x→0

x→∞

5

+

−

1 − 2sin x

x

x + 1

x + 2

2

7)lim

; 8)lim

; 9)lim

.

x + 1

x→∞

x→0

sin 4x

x→

π

cos3x

6

№

6

x + x − x

2

3 − x + 4

2x

1

−

;

12

1)

; 2)

; 3)

lim

lim

2x + 1

lim

x→∞

x→5 x2 − 8x + 15

x→2

x

2 − 4 x − 2

3 x+5

x−1

1

2x

−

1

4

4)lim 1 +

; 5)lim

; 6)lim(1 + 3sin x )

x

;

x→∞

2x + 3

x→∞

2x − 3

x→0

π

ctg

x

3 x + x + x

12 − x − 3

2

7)lim

; 8)lim

; 9)lim

.

x − 3

x→∞

1 − 2 x + x

x→3

x→1 1 − x

№

x

7

−

6x

4

+ x

x

2

− x − 2

x

3

− 2

x

2

+ 1

13

1)lim

x5

+ 1 − 9x7

; 2)lim

; 3)lim

−

;

x→∞

x→−1

(x + 1)2

x→∞

x2

x + 1

1

4 x−2

4x − 2

3 x−1

2

2

4)lim

+

; 5)lim

; 6)lim(1 − 3tg

x)x

2

;

1

x→∞

3x + 5

x→∞

4x + 1

x→0

x + x2 +

− 1

x − 1

1 + x

2x sin x

7)lim

; 8)lim

; 9)lim

.

4 x8 − 1

sin 3x

x→∞

x→0

x→0 1 − cos x