Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
87
Добавлен:
28.03.2016
Размер:
84.97 Кб
Скачать

Энергия магнитного поля.

Электрический ток обладает запасом энергии, называемой магнитной.

Магнитная энергия может зависеть только от величины и распределения токов, а таксисе от магнитных свойств среды, заполняющей пространство.

Рассмотрим сначала одиночный неподвижный замкнутый виток проволоки. Пусть в начальный момент сила тока в нем равна нулю. Будем каким-либо способом создавать и наращивать ток в витке . Тогда будет нарастать и магнитный поток через виток Ф. Возникнет электродвижущая сила индукции. Элементарная работа, которую должен совершить внешний источник против электродвижущей силы индукции, будет

Полученное соотношение носит общий характер. Оно справедливо и для ферромагнитных материалов, так как при его выводе относительно магнитных свойств среды не вводилось никаких предположений. Однако если среда не обладает гистерезисом, в частности является пара- или диамагнитной, то работа пойдет только на увеличение магнитной энергии , так что

Предположим, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда причем для неподвижного провода самоиндукция L остается постоянной. Используя это и интегрируя, получим

Для справедливости формулы несущественно, что во время нарастания тока виток оставался неподвижным, так как энергия зависит от состояния системы, но не от способа, каким было достигнуто это состояние

Формула для произвольного числа витков. Предположим, что все витки неподвижны, будем увеличивать токи в них. Тогда для элементарной работы против электродвижущей силы индукции будет:

Магнитная энергия в конечном состоянии представится интегралом:

, где текущее значения соответствующих величин

Для упрощения расчета будем наращивать все токи одновременно и притом так, чтобы они оставались пропорциональными друг другу. Таким образом, в любой момент будет соблюдаться соотношение - переменная величина, не зависящая от i. В начальном состоянии , в конечном . Так как при отсутствии ферромагнитных материалов магнитные потоки связаны с токами линейно, то для них справедливы такие же соотношения, т. е. . Таким образом

или после интегрирования

Локализация магнитной энергии в пространстве.

Выражение для магнитной энергии можно преобразовать в другую форму, которая соответствует иному представлению о месте нахождения энергии. Покажем это на примере длинного соленоида, по поверхности которого циркулирует ток с линейной плотностью . Пренебрегая краевыми эффектами, можно написать для поля Н внутри соленоида . Пусть S – площадь поперечного сечения соленоида. Тогда , получим

Если - магнитная энергия, приходящаяся на единицу объема соленоида, то для ее дифференциала можно написать

В случае пара- и диамагнитных сред и выражение можно проинтегрировать

В общем случае постоянных электрических токов выражение для магнитной энергии можно преобразовать. Считая ток неподвижным и полагая в формуле , получим

Вектор А и называется векторным потенциалом магнитного поля. Используя это соотношение и применяя теорему Стокса, находим

Вместо линейного введем объемный элемент тока и воспользуемся теоремой о циркуляции