1.Плотность электрического тока

Электрический ток- упорядоченное движение электрических зарядов.

Сила тока - Кол-во электричества, протекающего за единицу времени через всю поверхность.

В простейшем предположении, что все носители тока (заряженные частицы) двигаются с одинаковым вектором скорости (средняя, дрейфовая)и имеют одинаковые заряды. Обозначим через n-концентрацию носителей тока(число их в единице объема). Проведем бесконечно малую площадку , перпендикулярную к скорости. Построим на ней бесконечно короткий цилиндр с высотой. Все частицы, заключенные внутри этого цилиндра, за время пройдут через площадку, перенеся через нее в направлении скорости зарядравный  , где -заряд отдельной частицы. Таким образом, количество электрического заряда, протекающего в единицу времени через площадку единичной площади, расположенную перпендикулярно направлению движения заряда равно -этот вектор называется плотностью эл.тока.

Для того чтобы плотность тока была определена «в каждой точке», рассмотренную площадку следует сделать бесконечно малой.

Рассмотрим определение плотности электрического тока с точки зрения дискретного описания. Выделим в объеме движения дискретных зарядов небольшую часть объемом ΔV, содержащую достаточно много заряженных частиц (рис. 270). Пронумеруем все заряженные частицы, находящиеся в этом объеме; обозначим величины зарядов этих частиц q_k, а их скорости   

(k = 1,2,3…N). Построим векторную сумму . Чтобы построенная таким образом характеристика была точечной, необходимо разделить ее на величину выделенного объема и устремить последний к нулю

Покажем теперь, что построенная таким образом величина совпадает с определенной нами выше плотностью тока. Для простоты будем считать, что все заряженные частицы одинаковы  (например, электроны в металле). Определим среднюю арифметическую скорость движения частиц , из которого следует, что . С учетом этого выражения, формула преобразуется к виду:

объемная плотности заряда  qn=ρ . Таким образом, формула (4) совпадает с формулой (2), если скорость движения «электрической жидкости» отождествить со средней скоростью движения заряженных частиц.

Уравнение непрерывности

Возьмем в среде произвольную замкнутую поверхность , ограниченную объемом(рис). Количество электричества, ежесекундно вытекающее из объемачерез поверхность, представляется интегралом . Ту же величину можно представить в виде -где -заряд в объеме. Т.е.

Употребляя частные производные, говорим о неподвижности поверхности . Представим и преобразовав поверхностный интеграл в объемный, придем к соотношению-это соотношение должно выполнятся для произвольного объема, а потому.

Эти формулы выражают закон сохранения зарядов в макроскопической динамики. Последняя является уравнением непрерывности(ур-е Максвелла).

Если токи стационарные(не зависят от времени) то, и

2.Закон Ома.

Математически закон Ома выражается формулой(дифф.форма): где -постоянная для данного материала величина, называемая егоудельной электрической проводимостью. Она зависит от температуры, давления и пр. Закон Ома справедлив лишь для физически однородных тел. . Вывод Закона Ома

• Обозначим за -скорость беспорядочного движения электронов в металле. -дрейфовая скорость (направленное движение носителей заряда под действием электрического поля).

• Тогда полная скорость электрона

• Движение электрона описывается уравнением(из механики):

• -регулярная сила действующая на электрон со стороны внешнего силового поля, а -сила, которую он испытывает при столкновениях с ионами или другими электронами кристаллической решетки.

• Если уравнение (1) усреднить по всем электронам, то производная обратиться в нуль, а сила заменится ее средним значением. При таком усреднении столкновения между электронами можно не принимать во внимание, так как они (столкновения) не влияют на импульсвсей системы электронов, который только и входит в вычисление среднего значения скорости.

• При малых дрейфовых скоростях величину можно разложить по степенями ограничиться при этом линейным членом:

• -инерционное время электрона в металле(порядка среднего времени свободного пробега). Тогда Уравнение 1 имеет вид:

• Предположим, что и что в начальный момент времениэлектроны совершают дрейфовое движение со скоростью, тогда из уравнения (3) получаем:,

• Воспользовавшись соотношение о плотности электрического тока и введя обозначения, преобразуем уравнение (3) к виду

(6),

• Если регулярная сила и коэффициентпостоянны, то из (6) получаем, при-

• Все полученные соотношения верны независимо от природы регулярной силы , возбуждающей электрический ток. Если ток возбуждается электрическим полем, то. Тогда соотношение (6) переходит в, а при и — в

Если ток стационарный, то объемная плотность электричества в однородном проводнике равна нулю. или . Так как среда по предположению однородна, то ,и рассматриваемое уравнение сводится к виду. Отсюда с учетом теоремы Гаусса находим.

3.Закон Джоуля –Ленца