Analiticheskaya_geom / 1_4_Ploskost_v_prostranstve

1.4. Лекция 4. Плоскость в пространстве

Декартова прямоугольная система координат. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору. Линейное уравнение. Различные виды уравнения плоскости. Расположение плоскости относительно координатных осей. Расстояние от точки до плоскости. Нормированное уравнение плоскости.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве

Зафиксируем в пространстве точку и рассмотрим произвольную точку . Радиус-вектором точки называется вектор . Точку , задаваемую радиус-вектором , будем обозначать . Пусть имеется также некоторый ортонормированный базис , , . Будем считать, что вектора , , выходят из точки . Проведем через эти вектора оси . Совокупность точки начала координат и координатных осей называется прямоугольной декартовой системой координат.

Произвольной точке ставится в соответствие единственная упорядоченная тройка чисел – координаты ее радиус-вектора . В краткой записи

.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

и перпендикулярной данному вектору

Существует, причем единственная, плоскость , перпендикулярная заданному вектору и содержащая данную точку . Всякий вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости. Для произвольной точки пространства (рис. 8) имеем логическую цепочку

.

Уравнение

(4.1)

называется векторным уравнением плоскости.

Рис. 8. Плоскость в пространстве

Уравнению (4.1) можно придать форму

,

где . Такое уравнение не содержит радиус-вектора начальной точки.

Рассмотрим уравнение (4.1) при наличии прямоугольной декартовой системы координат. Пусть

, .

Тогда и (4.1) примет вид

. (4.2)

Итак, в прямоугольной системе координат плоскость, проходящая через точку и перпендикулярная вектору , задается уравнением (4.2).

Линейное уравнение

Уравнение (4.2) легко преобразовать к виду

. (4.3)

Покажем, что любое такое уравнение (при очевидном условии) задает в прямоугольной декартовой системе координат плоскость.

Пусть – какое-нибудь решение уравнения (4.3), т. е.

. (4.4)

Вычитая (4.4) из (4.3), получим равносильное (4.3) уравнение

. (4.5)

Пусть , и . Тогда (4.5) можно записать в эквивалентной форме:

.

Таким образом, все точки плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору (и только они), удовлетворяют уравнению (4.3). Следовательно, (4.3) является уравнением этой плоскости.

Отметим еще раз, что коэффициенты в уравнении плоскости (4.3) суть координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

и параллельной двум неколлинеарным векторам

Пусть – некоторая точка плоскости , а и – направляющие векторы плоскости, т. е. неколлинеарные векторы, параллельные этой плоскости. Тогда вектор может быть принят за нормальный вектор. С учетом (4.1) это приводит нас к векторному уравнению вида

или

. (4.6)

Отметим, что условие (4.6) есть условие компланарности векторов .

Пусть в произвольной прямоугольной декартовой системе координат

, , , .

Тогда уравнение (4.6) можно записать так:

. (4.7)

Условие (4.6) вследствие неколлинеарности векторов можно записать в виде

или

Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением плоскости. Вектор называется вектором сдвига плоскости.

В координатах уравнение (4.8) примет вид

Уравнение плоскости, проходящей через три точки , ,

не лежащие на одной прямой

Такая плоскость существует, причем единственная. Векторы , можно принять за направляющие векторы плоскости . В качестве заданной точки плоскости возьмем . Тогда согласно предыдущему пункту плоскость задается уравнением вида (4.6) или в координатах

.

Расположение плоскости относительно начала координат

Рассмотрим частные случаи уравнения плоскости

. (4.9)

1. . Плоскость проходит через начало координат (его координаты удовлетворяют уравнению плоскости).

2. Все коэффициенты отличны от нуля. В этом случае можно поделить обе части уравнения (4.9) на . Полагая

, , ,

получаем уравнение плоскости в виде:

. (4.10)

Числа с точностью до знака равны отрезкам, отсекаемым плоскостью на осях координат. Действительно, при из уравнения (9.10) получаем , т. е. плоскость пересекает ось в точке и т.д. Уравнение (9.10) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

3. . Вектор (перпендикулярный плоскости) перпендикулярен оси . Значит, плоскость параллельна оси , в частности проходит через нее, если .

4. . Вектор (перпендикулярный плоскости) перпендикулярен оси . Значит, плоскость параллельна оси , в частности проходит через нее, если .

5. . Вектор (перпендикулярный плоскости) перпендикулярен оси . Значит, плоскость параллельна оси , в частности проходит через нее, если .

6. . Вектор параллелен оси . Плоскость параллельна плоскости , в частности совпадает с плоскостью , если .

7. . Вектор параллелен оси . Плоскость параллельна плоскости , в частности совпадает с плоскостью , если и .

8. . Вектор параллелен оси . Плоскость параллельна плоскости , в частности, совпадает с плоскостью , если и .

Расстояние от точки до плоскости. Нормированное уравнение плоскости

Пусть плоскость задана уравнением (4.6), а точка пространства своим радиус-вектором . Расстояние от точки до плоскости равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 9).

Рис. 9. Расстояние от точки до плоскости

Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов, а площадь его основания равна модулю векторного произведения . Отсюда

(4.11)

Для каждого вектора , нормального к плоскости, можно так выбрать направляющие векторы и , чтобы . Поэтому при любом нормальном векторе имеем

(4.12)

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат

, , .

Тогда и (4.12) примет вид

(4.13)

где .

Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат плоскость , заданную уравнением

(4.14)

Пусть – радиус-вектор некоторой точки пространства, – радиус-вектор точки , являющейся проекцией точки на плоскость . Так как точка принадлежит плоскости , ее координаты удовлетворяют уравнению (4.14), т. е.

(4.15)

Вектор параллелен нормальному вектору . Тогда

Отсюда

Используя (4.15), получим

(4.16)

Уравнение

получаемое из (4.14) делением на , называют нормированным уравнением плоскости. Его удобно использовать для нахождения расстояния от точки до плоскости. Достаточно найти модуль левой части этого уравнения при подстановке .

Упражнения

4.1. Составить уравнение плоскости, если заданы две симметрично расположенные относительно нее точки и .

4.2. Показать, что три плоскости, задаваемые уравнениями

при не имеют общих точек.

4.3. Показать, что уравнение любой плоскости, проходящей через прямую, по которой пересекаются плоскости

может быть представлено в виде

4.4. Дана плоскость уравнением в прямоугольных декартовых координатах Составить уравнение плоскости , симметричной относительно плоскости .

Вопросы для самопроверки

1. Как вы понимаете векторное уравнение в пространстве?

2. Как перейти от векторного уравнения плоскости к координатному?

3. Используя определитель, запишите в координатах уравнение плоскости проходящей через три заданные точки.

4. Что такое уравнение плоскости в отрезках?

5. Запишите формулу точки от плоскости в координатах.

260