Analiticheskaya_geom / 1_11_Matritsy_Arifm_pr-va

Лекция 11. Остыловский А.Н.

Матрицы. Арифметические пространства строк и столбцов. Матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Арифметические пространства. Линейные комбинации. Линейная оболочка. Линейная зависимость

1. Матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.

Таблица из чисел вида

	2 a12		a22	: : : an2	3
	6	a11	a21	: : : an1	7
A =		: : : : : : : : : : : : : : :
	6				7
	6 am		am	: : : am	7
	6	1	2	n	7
	4				5

называется (m n) матрицей .

Числа, составляющие матрицу, называют элементами матрицы. Индексы i, j означают, что элемент aij расположен на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы.

Если m = 1, то матрица называется матрицей-строкой или просто строкой. Если n = 1, то матрица называется матрицейстолбцом или просто столбцом.

Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк ее порядком.

Для обозначения матрицы используют различные символы, например: A, A(n n), A = (aij), A = [aij] и т.п., или же она указывается явно в виде таблицы, в зависимости от того, какие характеристики матрицы нужно отметить. Элемент aij матрицы A иногда удобно обозначать символом fAgij. В некоторых случаях оба индекса ставят вверху или внизу. При этом первый индекс обозначает номер строки, а второй номер столбца.

1

Две матрицы одинаковых размеров называют равными, если рав-

ны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Суммой (m n)-матриц A = [aij] и B = [bij] называется такая (m n)-матрица

C = [cij], что cij = aij + bij.

Иными словами,

fA + Bgij = fAgij + fBgij:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой

матрицей и обозначается через O.

Произведением (m n)-матрицы A = [aij] на число называется такая (m n)-матрица C = [cij], что cij = aij для всех i, j. Эта операция обозначается C = A.

Матрицу ( 1) A называют противоположной матрице A и обо-

значают A.

Сумма матриц B и A называется разностью матриц B и A и

обозначается B A.
Например, если			3#		"3		1#
A = "	1	0		; B =		3		;
	2	1	0		1	2	1

то

"		#
0	10	4
2A 4B =	12	:
14		2

Из свойств сложения и умножения чисел легко следует

Предложение 1. Для любых (m n)-матриц A, B, C и любых чисел и выполнены равенства

1.A + B = B + A,

2.(A + B) + C = A + (B + C),

3.A + O = A,

2

4.A + ( A) = O,

5.1 A = A,

6.( )A = ( A),

7.( + )A = A + A,

8.(A + B) = A + B.

2. Арифметические пространства. Множество всех упорядоченных наборов из n вещественных чисел (a1; a2; : : : ; an), для которых определены операции сложения и умножения на число по правилам:

(a1; a2; : : : ; an) + (b1; b2; : : : ; bn) = (a1 + b1; a2 + b2; : : : ; an + bn);(a1; a2; : : : ; an) = ( a1; a2; : : : ; an);

называется векторным пространством строк и обозначается Rn. Элементы из Rn будем называть строками, векторами-строками

или просто векторами.

Поскольку строки складываются и умножаются на число по тем же правилам, что и (1 n)-матрицы, то для строк выполняются свойства 1)–8) предложения 1.

Аналогично определяется векторное пространство Rn столбцов высоты n. Индексы у элементов столбца принято записывать вверху:

	2a2	3
	a1	7	2 Rn:
a =	6 ...
	6	7
	6an7
	6	7
	4	5

Свойства у пространств Rn и Rn абсолютно одинаковые, но в некоторых случаях использование их обоих дает синтаксическое удобство.

3 Линейные комбинации. Линейная оболочка. Пусть a1, a2,

: : :, ak векторы из Rn и 1, 2, : : : , k

3

числа (k 1). Сумма

1a1 + 2a2 + + kak

называется линейной комбинацией векторов ai с коэффициентами i. Например,

(1; 2; 0; 1) + 3 (2; 0; 1; 0) 2 (1; 1; 1; 3) + 0 (2; 6; 8; 0) = (5; 0; 1; 7):

Если вектор a представлен в виде линейной комбинации

a = 1a1 + 2a2 + + kak;

то говорят, что вектор a разложен по векторам a1, a2, : : :, ak. Если все коэффициенты равны нулю, то линейная комбинация

называется тривиальной, в противном случае (т.е. если хотя бы один коэффициент отличен от нуля) нетривиальной. Тривиальная линейная комбинация, очевидно, всегда дает нулевой вектор. Однако и нетривиальная линейная комбинация может равняться нулевому вектору.

Множество V всех линейных комбинаций системы строк a1, a2,

: : :, ak называется линейной оболочкой этой системы и обозначается

ha1; a2; : : : ; aki = f 1a1 + 2a2 + + kak j i 2 R; i = 1; : : : ; kg:

Установим важнейшие алгебраические свойства линейной оболочки. Пусть x; y 2 V , т.е.

x = 1a1 + 2a2 + + nan;

y = 1a1 + 2a2 + + nan:

Тогда

x + y = ( 1 + 1)a1 + ( 2 + 2)a2 + + ( n + n)an 2 V;

4

x = 1a1 + 2a2 + + nan 2 V;

т.е. x + y и x снова элементы из V . Иными словами, линейная оболочка V замкнута относительно сложения своих элементов и умножения их на числа.

Отсюда следует, что если x1; x2; : : : ; xm 2 V , то

1x1 + 2x2 + + mxm 2 V

для любого натурального n и любых 1; 2; : : : ; m 2 R.

Среди всевозможных строк в пространстве Rn особую роль играют, так называемые, единичные строки

e1 = (1; 0; : : : ; 0); e2 = (0; 1; : : : ; 0); : : : ; en = (0; 0; : : : ; 1):

поскольку произвольная строка x = (x1; x2; : : : ; xn) может быть представлена и притом единственным образом в виде их линейной комбинации:

x= x1e1 + x2e2 + + xnen:

4.Линейная зависимость.

Определение. Система строк из Rn называется линейно зависимой, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке; в противном случае она называется линейно независимой.

Иными словами (докажите равносильность): система строк называется линейно независимой, если их линейная комбинация равна нулевой строке лишь в том случае, когда эта линейная комбинация тривиальна.

Примером линейно независимой системы строк может служить система единичных векторов-строк (докажите это).

Теорема 1. Система строк, содержащая нулевую строку, линейно зависима.

5

Доказательство. Пусть, например, a1 = 0. Тогда 1 a1 + 0

a2 + + 0 ak = 0. 2

Теорема 2. Система строк x1; x2; : : : xk, некоторая подсисте-

ма которой линейно зависима, сама линейно зависима.

Доказательство. Пусть, например, первые s строк x1; : : : xs, s < k, линейно зависимы, т.е. существуют такие числа 1; : : : ; s, что 1x1 + + sxs = 0 и при этом не все i равны нулю. Имеем:

1x1 + + sxs + 0xs+1 + + 0xk = 0:

Но это и означает по определению, что строки x1; x2; : : : xk линейно

зависимы. 2

Теорема 3. Строки линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией

остальных.

Доказательство. Если строки x1; : : : xk линейно зависимы, то существуют такие числа 1; : : : ; k, что 1x1 + kxk = 0, причем не все i равны нулю. Пусть, например, 1 6= 0. Тогда

x1 = 2 x2 k xk;1 1

т.е. строка x1 есть линейная комбинация оставшихся строк. Обратно, пусть, например, x1 = 2x2 + kxk. Тогда

1 x1 2x2 kxk = 0

и при этом коэффициент при x1 заведомо не равен нулю, т.е. система x1; : : : xk линейно зависима. 2

Теорема 4. Если строки x1; : : : xk линейно независимы, а строки x1; : : : xk; x линейно зависимы, то x линейная комбинация строк x1; : : : xk.

Доказательство. По условию существует нетривиальная равная нулевой строке линейная комбинация

1x1 + kxk + x = 0:

6

При этом 6= 0, так как в противном случае строки x1; : : : xk окажутся линейно зависимы. Тогда

x= 1 x1 k xk;

1

что и требовалось доказать. 2

Теорема 5. Любая подсистема линейно независимой системы сама линейно независима.

Доказательство получается обращением теоремы 2. 2

Для данной конкретной системы строк вопрос о наличии линейной зависимости не прост. Он будет рассмотрен ниже после изложения соответствующего аппарата.

Упражнения

Доказать:

1.Система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда линейно независима любая её подсистема.

2.Система векторов x1; x2; : : : xk линейно зависима тогда и только тогда, когда x1 = 0, либо некоторый вектор xs, 2 s k, есть линейная комбинация предыдущих.

3.Если какой-либо вектор единственным образом представляется

ввиде линейной комбинации векторов x1; x2; : : : xk, то эта система линейно независима.

4.Если система векторов линейно независима, то любой вектор её линейной оболочки единственным образом представляется в виде линейной комбинации векторов системы.

5.Если система векторов линейно зависима, то для любого вектора её линейной оболочки существует бесконечно много разложений по векторам системы.

7