Analiticheskaya_geom / algg

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"

(институт инженерной физики и радиоэлектроники СФУ)

Курс "Аналитическая геометрия и линейная алгебра"на инженернофизическом факультете СФУ читается в первом и втором семестрах. Содержание обусловлено потребностями смежных математических курсов и курсов физики. Одной из особенностей курса, обусловленной спецификой факультета, является изложение в полном объёме инвариантной теории векторов, а также постепенное введение идей тензорного исчисления.

Программа составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности "010400 - физика".

В результате освоения курса студент должен приобрести следующие компетенции: ИК-3 – базовые общие знания, СК-1 - способность применять знания на практике, СК-3 - способность к самообучению. Это достигается усвоением достаточно сложного теоретического материала и решением различных теоретических и модельных задач.

ЛЕКЦИИ.

1-й семестр Лекция 1. Векторы "сами по себе". Скалярные и векторные

величины. Три условия векторности величины. Примеры и контрпримеры. Аксиальные векторы. Формализация: свободные геометрические векторы и операции над ними. Линейные комбинации и линейная зависимость. Коллинеарность и компланарность; их связь с линейной зависимостью.

1

Лекция 2,3. Векторы "сами по себе". Скалярное, векторное, смешанное и двойное векторное произведения; их геометрические и алгебраические свойства; физические и геометрические приложения. Векторные тождества и уравнения. Законы физики и векторный язык.

Лекции 4,5. Векторы в координатах. Ортонормированный базис. Базис и координаты. Координатные столбцы векторов. Линейные операции над векторами в координатной форме. Ортонормированный базис. Направляющие косинусы. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Детерминанты второго и третьего порядка. Векторное и смешанное произведения в правом ортонормированном базисе.

Лекция 6. Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору. Линейное уравнение. Различные виды уравнения плоскости. Расположение плоскости относительно координатных осей. Расстояние от точки до плоскости. Нормированное уравнение плоскости.

Лекция 7. Прямая в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через данную точку и параллельной данному вектору. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между непараллельными прямыми.

Лекция 8. Задачи о прямых и плоскостях. Проекция точки на плоскость. Проекция точки на прямую. Проекция прямой на плоскость параллельно заданному вектору. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.

Лекция 9. Кривые второго порядка. Эллипс, парабола и гипербола как геометрические места точек плоскости. Канонические уравнения. Единый геометрический подход к определению эллипса, параболы и гиперболы. Полярные уравнения. Оптические свойства.

2

Лекция 10. Поверхности второго порядка. Уравнение поверхности второго порядка. Цилиндры. Конусы. Эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды. Канонические уравнения. Приложения в оптике. Комплексные числа.

Лекция 11. Матрицы. Арифметические пространства строк и столбцов. Матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Арифметические пространства. Линейные комбинации. Линейная оболочка. Линейная зависимость.

Лекция 12. Определители. Мотивировка. Определитель. Разложение определителя по строке. Основные свойства определителя. Перестановки. Выражение определителя через его элементы. Алгебраическое дополнение. Разложение определителя по столбцу.

Лекция 13. Матрицы. Транспонирование матрицы. Произведение матриц. Свойства произведения матриц. Единичная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица

Лекция 14. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы. Критерий равенства нулю определителя. Теорема о ранге матрицы. Нахождение ранга матрицы.

Лекции 15,16. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Существование решения. Однородные системы. Структура множества решений. Нахождение решений (основной случай). Матричное решение. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Нахождение решений (общий случай).

Лекция 17. Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Свойства линейного пространства. Линейная зависимость. Базис. Теорема о равномощности базисов. Размерность. Замена базиса. Матрица перехода. Преобразование координат вектора при замене базиса.

3

Лекция 18. Линейные подпространства. Линейное подпространство. Линейная оболочка. Пересечение и сумма подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств. Прямая сумма. Критерий прямой суммы.

2-й семестр Лекции 1,2. Евклидовы пространства. Аксиомы скалярного про-

изведения. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Длина. Угол. Неравенство треугольника. Приложения. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Многочлены Лежандра. Скалярное произведение в произвольном и ортонормированном базисе. Матрица Грама, ее преобразование при замене базиса. Ортогональное дополнение. Изоморфизм евклидовых пространств.

Лекции 3,4. Метод наименьших квадратов. Псевдорешение системы линейных уравнений. Линейная регрессия. Полиномиальная регрессия. Линейная множественная регрессия. Введение в математическую теорию планирования эксперимента.

Лекция 5. Линейные отображения. Примеры. Композиция отображений. Обратное отображение. Ядро. Образ. Задание линейного отображения образом базиса. Матрица линейного отображения. Размерность ядра и образа. Отношение эквивалентности. Изоморфизм линейных пространств.

Лекция 6. Линейные операторы. Примеры. Матрица оператора. Ранг оператора. Преобразование матрицы оператора при замене базиса; матричная и тензорная формы записи. Определитель и след линейного оператора. Алгебра операторов и алгебра матриц; их изоморфизм.

Лекция 7. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен оператора. Геометрическая и алгебраическая кратности собственного

4

значения. Критерий диагонализируемости. Теорема о существовании одномерного или двумерного инвариантного подпространства.

Лекции 8,9. Жорданова нормальная форма. Теорема ГамильтонаКэли. Корневые подпространства. Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств. Построение жорданова базиса в корневом подпространстве. Функции от матриц. Матричная экспонента. Приложение к дифференциальным уравнениям.

Лекции 10,11. Самосопряженные операторы. Сопряженный оператор и его матрица в ортонормированном базисе. Самосопряженный оператор. Теорема о корнях его характеристического многочлена. Ортонормированный базис из собственных векторов. Геометрическая интерпретация. Возмущение собственных векторов и собственных значений. Ортогональное подобие симметричной матрицы диагональной. Матричные функции симметричных матриц.

Лекция 12,13. Ортогональные операторы. Критерии ортогональности. Матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе. Группа ортогональных операторов. Корни характеристического многочлена. Канонический базис. Геометрическая интерпретация.

Лекция 14. Полярное разложение. Положительные операторы. Положительный квадратный корень из положительного оператора. Полярное разложение. Геометрическая интерпретация.

Лекция 15. Билинейные формы. Билинейная форма и ее матрица. Замена базиса. Ранг билинейной формы. Псевдоевклидовы пространства. Алгоритм Лагранжа.

Лекции 16,17. Квадратичные формы. Метод Лагранжа. Закон инерции. Критерий Сильвестра. Приведение квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием. Теория малых колебаний и одновременное приведение двух квадратичных форм

5

к диагональному виду.

Лекция 18. Гиперповерхности второго порядка. Приведение уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду. Классификация. Инварианты.

6

СЕМИНАРСКИЕ ЗАНЯТИЯ

1-й семестр

Занятие 1. Векторы и линейные операции над ними. Задачи из ([26, п.1.1.3].

Занятия 2,3. Скалярное, векторное и смешанное произведения в инвариантной форме. Задачи из [26, п.1.1.4, 1.1.5, 1.1.7].

Занятие 3. Решение векторных уравнений. Задачи из [26, п. 1.1.8].

Занятие 4. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Задачи из [26, п. 1.2.3].

Занятие 5. Векторное и смешанное произведения в ортонормированном базисе. Задачи из [26, п.1.2.3].

Занятия 6,7. Векторные уравнения прямой и плоскости. Задачи из [26, п. 2.6.5].

Занятия 8,9. Уравнения прямой и плоскости в координатах. Задачи из [26, п. 2.6.5].

Занятия 10,11. Кривые и поверхности второго порядка.

Занятие 12. Определители. Задачи 14.4, 14.7, 14.16, 14.19, 14,21, 14,23, 14.24, 14.33, 14.36 из [22].

Занятие 13. Операции с матрицами. Задачи 15.2, 15.4, 15.5, 15.11, 15.13, 15.15, 15.24 14.4, 14.7, 14.16, 14.19, 14,21, 14,23, 14.24, 14.33, 14.36 из [22].

Занятие 14. Обратная матрица. Задачи 15.45, 15.48, 15.55–15.61, 15.65 из [22].

Занятие 15. Системы линейных уравнений с определителем, отличным от нуля. Метод Гаусса. Правило Крамера. Задачи 17.1, 17.2 из [22].

Занятие 16. Системы линейных однородных уравнений. Задачи 18.1, 18.7, 18.8 из [22].

7

Занятие 17. Системы линейных неоднородных уравнений. Приложения. Задачи 19.1, 19.6, 19.32, 19.33-19.49 из [22].

Занятие 18. Линейное пространство. Подпространство. Базис и размерность. Координаты. Задачи 20.3–20.9, 20.13, 20.14, 20.17, 20.20, 20.22, 20.23 из [22].

2-й семестр

Занятия 1,2. Евклидовы пространства. Задачи 25.1, 25.2, 25.20, 25.22, 25.25, 26.5, 26.15, 26.42 из [22].

Занятия 3,4. Метод наименьших квадратов.

Занятие 5. Линейные отображения. Матрица линейного отображения. Образ. Ядро. Задачи 23.2,23.3(1,4), 23.4, 23.5, 23.6 из[22]. Индивидуальные задания из [24].

Занятие 6. Линейные операторы. Матрица оператора. Преобразование матрицы оператора при замене базиса. Алгебра операторов и алгебра матриц. Задачи 23.7, 23.8 - 23.14, 23.24, 23.26, 23.30,23.31,23.34, 23.38, 23.40, 23.56, 23.57,23.62, 23,65, 23.66 из[22]. Индивидуальные задания из [24].

Занятие 7. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен оператора. Критерий диагонализируемости. Задачи 24.4, 24.6, 24.7, 24.9– 24.11, 24.20, 24.21, 24.22, 24.25, 24.26, 24.28, 24.29, 24.41, 24.44, 24.70, 24.71, 24.85 из[22]. Индивидуальные задания из [24].

Занятия 8,9. Корневые подпространства. Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств. Построение жорданова базиса в корневом подпространстве. Функции от матриц. Матричная экспонента. Задачи 24.124, 24.125, 24.127, 24.134, 24.138 из[22]. Индивидуальные задания из [33].

Занятие 10,11. Самосопряженные операторы. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов. Геометрическая

8

интерпретация. Ортогональное подобие симметричной матрицы диагональной. Матричные функции симметричных матриц. Задачи 29.1– 29.33 из[22]. Индивидуальные задания из [24].

Занятие 12,13. Ортогональные операторы. Построение канонического базиса. Геометрическая интерпретация. Задачи 29.40 29.42, 29.44, 29.50 из [22]. Индивидуальные задания из [24].

Занятие 4. Положительные операторы. Положительный квадратный корень из положительного оператора. Полярное разложение. Геометрическая интерпретация. Задачи 29.53 из[22]. Индивидуальные задания из [24].

Занятие 15. Билинейные и квадратичные формы. Метод Лагранжа. Критерий Сильвестра. Задачи 32.1, 32.7, 32.8,32.9, 32.18 из [22].

Занятие 16. Приведение квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду. Задачи 32.7 32.36 из [22].

Занятие 17,18. Приведение уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду. Классификация. Инварианты. Задачи 5222 из [14].

Образец экзаменационного билета 1-го семестра

БИЛЕТ №

1.Векторы "сами по себе". Числовые и векторные величины. Три условия векторности величины. Примеры и контрпримеры. Аксиальные векторы. Свободные геометрические векторы и операции над ними.

2.Замена базиса в линейном пространстве. Матрица перехода. Преобразование координат вектора при замене базиса.

9

3.Сила Q = (3; 4; 2) приложена к точке C(2; 1; 2). Определить момент силы относительно начала координат, его величину и направляющие косинусы.

4.Решить систему методом Крамера

8	2x		y	y+ 3z	=	9
>	x			z	=	4
	3	5		+
>
<
>	4x + 7y + z				= 5:
>

:

5. Найти ранг матрицы при различных

2	10		19		10	3
6	7		12		6	7
	12			24	13
6						7
4						5

Образец экзаменационного билета 2-го семестра

БИЛЕТ №

1.Линейные операторы. Определения. Геометрические и арифметические примеры. Композиция операторов. Обратный оператор.

2.Найти собственный ортонормированный базис e0 и матрицу в

этом базисе оператора, заданного в некотором ортонормированном

базисе e матрицей

2 3

0 1 0

67

A =	1	0	1		:
60		1	07
4				5

Указать ортогональную матрицу перехода S от исходного базиса к

собственному и проверить ее ортогональность.

3. Метрический тензор.

10