Analiticheskaya_geom / 1_7_Poverkhnosti_vtorogo_poryadka
.doc1.7 Лекция 7. Поверхности второго порядка
Уравнение поверхности второго порядка. Цилиндры. Конусы. Эллипсоиды, гиперболоиды и параболлоиды. Канонические уравнения. Приложения в оптике.
Определение 7.1 Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, удовлетворяющих уравнению
Уравнение любой поверхности второго порядка невырожденным линейным преобразованием неизвестных можно привести к каноническому виду. Каноническое уравнение не содержит произведений неизвестных , , . Кроме того, если каноническое уравнение содержит квадрат неизвестной, то первая степень этой неизвестной в уравнение не входит.
За исключением вырожденных случаев (плоскости, точки, пустое множество), существует девять типов поверхностей второго порядка:
– эллипсоид,
– однополостный гиперболоид,
– двуполостный гиперболоид,
– конус,
– эллиптический параболоид,
– гиперболический параболоид,
– эллиптический цилиндр,
– гиперболический цилиндр,
– параболический цилиндр.
Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
.
Рис.1. Эллипсоид
Определение 7.2 Положительные числа , , называются полуосями эллипсоида.
Если , или , или , то эллипсоид образован вращением эллипса вокруг одной из координатных осей. При эллипсоид является сферой. Сечения эллипсоида плоскостями , , являются эллипсами
,
вырождающимися в точки при . Аналогичный результат имеем при рассмотрении сечений эллипсоида плоскостями и .
Однополостный гиперболоид имеет каноническое уравнение
.
Рис.2. Однополостной гиперболоид
Горизонтальные плоскости пересекают гиперболоид по эллипсам
при любом значении . Вертикальные плоскости и пересекают однополостный гиперболоид, соответственно, по гиперболам
и .
В зависимости от знака правой части уравнений направление ветвей гипербол изменяется, в случае равенства правой части нулю получим уравнения пересекающихся прямых. При условии однополостный гиперболоид образуется вращением гиперболы относительно оси аппликат. Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью: через каждую его точку проходят две пересекающиеся прямые, лежащие на гиперболоиде.
Двуполостной гиперболоид имеет каноническое уравнение
.
Заметим, что горизонтальные плоскости пересекают двуполостный гиперболоид лишь при условии . В отличие от однополостного гиперболоида, прямолинейных образующих двуполостный гиперболоид не имеет.
Рис. 3. Двуполостной гиперболоид
Конус имеет каноническое уравнение
и при является конусом вращения, или круговым конусом.
Рис.4. Конус
Координатные плоскости и пересекают конус, соответственно, по прямым
, .
Интересно, что при сечении конуса различными плоскостями получаются все типы невырожденных линий второго порядка: эллипсы, гиперболы и параболы.
Эллиптический параболоид имеет каноническое уравнение
.
Горизонтальные сечения эллиптического параболоида плоскостями – эллипсы, вертикальные сечения – параболы. При условии эллиптический параболоид является поверхностью вращения.
Рис.5. Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид имеет каноническое уравнение
.
Горизонтальные сечения этой поверхности – гиперболы с различным направлением ветвей и пересекающиеся прямые в плоскости XOY. Вертикальные сечения, параллельные координатным плоскостям, – параболы. Как и однополостный гиперболоид, эта поверхность является линейчатой, т.е. имеет прямолинейные образующие.
Рис. 6. Гиперболический параболоид
Канонические уравнения цилиндрических поверхностей содержат только две переменные, и . Следовательно, сечения цилиндрических поверхностей плоскостями одинаковы и не зависят от значения . Цилиндрические поверхности второго порядка задаются следующими каноническими уравнениями:
Рис.7. Эллиптический цилиндр
Каноническое уравнение эллиптического цилиндра
.
Рис.8. Гиперболический цилиндр
Каноническое уравнение гиперболического цилиндра
.
Рис. 9. Параболический цилиндр
Каноническое уравнение параболического цилиндра
.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется поверхностью второго порядка?
2. Какие основные типы невырожденных поверхностей второго порядка?
3. Каковы канонические уравнения эллипсоида, одно и двуполостного гиперболоидов?
4. Каковы канонические уравнения конуса, эллиптического и гиперболического параболоидов?
5. Каковы канонические уравнения цилиндрических поверхностей?