Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
TFKP.pdf
Скачиваний:
203
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
796.57 Кб
Скачать

Оглавление

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ..

...............................................................................................................................................................

 

- 2 -

1 Функции комплексной переменной . .........................................................................................

- 2 -

1.1

Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения. .............................

- 2 -

1.2

Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра. ........................

- 2 -

1.3

Извлечение корня n – ой степени из комплексных чисел...............................................

- 3 -

1.4

Множества комплексной плоскости. ..................................................................................

- 4 -

1.5

Функции комплексной переменной. ...................................................................................

- 4 -

1.6

Ряды в комплексной области...............................................................................................

- 5 -

1.7

Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера. ...............................

- 6 -

1.8

Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана. .......................

- 7 -

1.9

Гармонические функции. .....................................................................................................

- 8 -

2 Интегральное исчисление функций комплексной переменной . .............................................

- 9 -

2.1

Интегралы в комплексной области. ....................................................................................

- 9 -

2.2

Теория интегрирования Коши. ..........................................................................................

- 10 -

2.3

Формула Коши. ...................................................................................................................

- 11 -

2.4

Следствия интегральной формулы Коши.........................................................................

- 11 -

2.5

Ряды Тейлора и Маклорена. ..............................................................................................

- 12 -

2.6

Ряды Лорана. .......................................................................................................................

- 13 -

2.7

Изолированные особые точки аналитической функции.................................................

- 14 -

2.8

Бесконечно удаленная особая точка. ................................................................................

- 15 -

2.9

Вычет аналитической функции в изолированной особой точке....................................

- 16 -

2.10 Применение вычетов к вычислению интегралов. (Основная теорема теории вычетов) .. -

17 -

 

2.11 Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке................................................

- 17 -

3. Операционное исчисление.......................................................................................................

- 18 -

3.1

Интеграл Фурье...................................................................................................................

- 18 -

3.2

Преобразование Лапласа и формула обращения.............................................................

- 20 -

3.3

Основные определения операционного исчисления.......................................................

- 21 -

3.4

Основные свойства изображений и оригиналов..............................................................

- 22 -

3.5

Основные теоремы операционного исчисления..............................................................

- 26 -

3.6

Теоремы разложения..........................................................................................................

- 30 -

3.7

Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными

 

коэффициентами методами операционного исчисления......................................................

- 31 -

3.8

Изображение периодической функции.............................................................................

- 33 -

Л И Т Е Р А Т У Р А..........................................................................................................................

- 35 -

- 1 -

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1 Функции комплексной переменной.

1.1 Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения.

Определение 1. Комплексным числом называется выражение z = x +iy, где x, y , а i

называется мнимой единицей и определяется следующим образом: i2 = −1 . Число x называется

действительной частью комплексного числа: x = Re z , y мнимой частью: y = Im z.

Два комплексных числа z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 называются равными, если их действительные и мнимые части, соответственно, равны друг другу: z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2 .

Таким образом, одно комплексное равенство эквивалентно двум действительным.

Комплексное число z = x + i y равно нулю, если x = y = 0.

Суммой и произведением двух комплексных чисел называются комплексные числа

def

+ x2 ) + i(y1

 

def

x2 y2 ) + i(x1 y2

 

z1 + z2 =(x1

+ y2 );

z1z2 =(x1 y1

+ x2 y1 ) соответственно.

Операции вычитания и деления определяются как действия обратные сложению и умножению,

что приводит к следующему результату:

z

z

 

= (x

x

) + i ( y

y

 

) ,

z1

=

x1x2 + y1 y2

+ i

x2 y1 x1 y2

.

 

 

z2

x22 + y22

 

1

 

2

1

2

1

 

2

 

 

 

x22 + y22

Таким образом, арифметические операции над комплексными числами производятся по обычным правилам действий с двучленами, с учетом того, что i2 = −1 . Отсюда следует, что операции над комплексными числами подчинены обычным законам арифметики: коммутативности, ассоциативности и т.д.

Комплексные числа заполняют всю плоскость XOY, которую называют в этом случае комплексной плоскостью. Множество комплексных чисел, обычно, обозначают буквой Κ.

Определение 2. Число z = x iy называется комплексно сопряженным к z. Определение 3. Величина mod z = z = x2 + y2 называется модулем комплексного числа.

Т.е. mod z равен расстоянию от начала координат до т. z. Нетрудно видеть, что z 2 = z z.

Примеры: 1) z =

2

3i

; 2) Последовательность {i n} ={i, 1, i,1, i, 1,} .

 

3

+ 4i

 

Замечание. На множестве комплексных чисел не определено отношение ‘больше – меньше’.

Комплексные числа можно сравнивать между собой только по модулю.

1.2 Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.

В предыдущем параграфе было рассмотрено представление комплексных чисел в декартовой системе координат. Рассмотрим теперь комплексные числа в полярных координатах. Как известно, декартовы координаты выражаются через полярные следующим образом:

y

x = r cosϕ

r 0

 

π ϕ <π.

 

y = r sinϕ

 

 

Отсюда получаем: z = r (cosϕ + i sinϕ) −

 

M(x, y) = M(r, φ)

тригонометрическая форма комплексного числа.

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

φ

Здесь:

 

x

r =

 

z

 

модуль комплексного числа

 

 

 

 

( таккак

 

cosϕ + i sin ϕ

 

= cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1).

 

 

 

 

 

Рис. 1

φ – аргумент комплексного числа : φ = arg z.

- 2 -

Рассматривается два стандарта изменения φ: 0 ϕ < 2π и π <ϕ π . Иногда приходится пользоваться понятием Arg z =ϕ + 2πn, n = 0, ±1, ±2,. Ясно, что величина самого комплексного числа при этом никак не изменяется.

 

y

 

 

 

arctg

 

, x > 0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

arctg

+π , x < 0, y 0

x

 

 

 

 

Формулы для стандарта < φ ≤ π имеют вид: ϕ = arg z =

y

 

 

 

arctg

π, x < 0, y

< 0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

π

, y < 0.

приx = 0 : π , y > 0;

 

 

2

2

 

(Для стандарта: 0 ≤ φ < 2π формулы будут немного отличаться)

Аргумент числа z = 0 не определен.

Примеры: − 2 ; i ; 1 − i 3 . {2, π ; 1, π/2 ; 2, −π/3 или 5π/3 }

Рассмотрим произведение 2-х комплексных чисел: z1z2 = r1 r2( cosϕ1 + i sinϕ1 )( cosϕ2 + i sinϕ2 ) =

= rr (cosϕ cosϕ

2

sinϕ sinϕ

2

+ i(sinϕ cosϕ

2

+sinϕ

2

cosϕ )) = rr (cos(ϕ +ϕ

) + i sin(ϕ +ϕ

)).

1 2

1

1

1

 

1

1 2

1

2

1

2

 

Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент сумме аргументов. Отсюда следует формула Муавра:

(cosϕ + i sinϕ)n = cosnϕ +i sin nϕ .

1.3 Извлечение корня n – ой степенииз комплексных чисел.

По определению: (n c )n = c. На множестве действительных чисел для однозначности вводится

понятие арифметического корня: корень четной степени – неотрицателен. В комплексной области такого ограничения быть не может (см. замечание в п. 1.1). Вообще говоря, все значения корня считаются равноправными. Из формулы Муавра следует, что одним из корней

из числа r(cosϕ +i sinϕ) будет число

n r(cos

ϕ

+ i sin

ϕ).

Нетрудно видеть, что любое из чисел

 

ϕ +2πk

 

ϕ +2πk )

 

 

n

 

n

 

n r(cos

+ i sin

также являются корнями из этого числа k Ν. При этом все

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

они будут различны для значений k = 0,1,…, n −1. Для последующих значений k числа начнут повторяться. Окончательная формула имеет вид:

n z = n r(cos

ϕ +2πk

+ i sin

ϕ +2πk ) , k = 0,1,2,…,n − 1.

 

n

 

n

Все полученные значения располагаются в вершинах правильного n−угольника.

Замечание. Фактически, при извлечении корня пришлось использовать величину Arg z.

Примеры. 1) 4 16 . { 2(1 + i); 2 (1 + i); 2(1 i); 2(1 i)}.

2) Рассмотрим квадратный корень из положительных и отрицательных действительных чисел в комплексной области. Корни из положительного числа а2 будут, очевидно, равны: a2 = ± a , что легко показать и формально. Отрицательные числа имеют аргумент, равный π . Отсюда

аргументы значений корня будут равны

π

u

3π

a2 = ± i a.

2

2

 

 

 

Следствием полученного результата являются формулы для корней квадратного уравнения в

случае отрицательного дискриминанта: x

= b ±i D , (D < 0).

1,2

2a

 

- 3 -

1.4 Множества комплексной плоскости.

В п.1.1 было показано, что z равен расстоянию от начала координат до т. z. Таким образом,

геометрический смысл модуля в комплексной области совпадает с геометрическим смыслом модуля в действительной области. Легко видеть, что и модуль разности 2-х комплексных чисел

обладает тем же свойством:

 

z z

0

 

=

(x x )2

+( y y

)2

= d(z, z ) . Где

d(z,z0) – расстояние от

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

0

 

 

 

 

т. z до т. z0 на комплексной плоскости. Отсюда следует, что уравнение

 

z z0

 

= R описывает

 

 

окружность с центром в т.z0 радиуса R, неравенства 1 z i < 4 кольцо ширины 3 с центром в

т.i , без внешней границы. Уравнение arg z = π/3 описывает луч из начала координат под углом в

600 к оси ОХ. Неравенства π/6 arg z ≤ π/4 –множество точек между лучами под углом в 300 и 450 к оси ОХ (угол в 150 с границами). Вспомнив геометрический смысл кривых 2го порядка,

можно сказать, что неравенство

 

z z1

 

 

 

 

z z2

 

 

 

< 4 описывает множество точек между ветвями

 

 

 

 

 

 

гиперболы с фокусами в тт. z1

и z2,

а

 

z z1

 

 

 

 

+

 

z z2

 

9 внутренние точки эллипса и сам

 

 

 

 

 

 

эллипс.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = ∞. Комплексная плоскость вместе с

В комплексной области вводится комплексное число

единственной бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью. По умолчанию, говоря о комплексной плоскости, будем считать ее расширенной. Понятие области в ТФКП имеет более конкретный смысл нежели в теории функций действительной переменной. Областью называется открытое связное множество точек комплексной плоскости (т.е. открытое множество, 2 любые точки которого можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству). Напомним, что т. z называется внутренней точкой области, если существует окрестность этой точки, целиком принадлежащая области и граничной точкой, если любая ее окрестность содержит как точки области, так и точки области не принадлежащие. Множество граничных точек называется

границей области. Замкнутой областью называется ограниченная область вместе с границей.

Область G называется односвязной, если любой замкнутый без самопересечений контур l G ограничивает некоторую область D G , и многосвязной в противном случае.

Определение.

ε окрестностью т. z0 :Uε (z0 ) называется открытый круг радиуса ε с центром в

т. z0 :

 

z z0

 

< ε.

ε – окрестностью бесконечно удаленной т. z = ∞ : Uε () называется

 

 

множество точек расширенной комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству: z > ε .

1.5 Функции комплексной переменной.

Пусть в комплексной плоскости задана некоторая область G и правило, по которому любому z G ставится в соответствие определенное число w W . В этом случае говорят, что на области G задана однозначная функция w = f (z) , отображающая область G на W. Если одному

значению z соответствует несколько чисел w , то такая функция называется многозначной. Функция f(z) может быть представлена в следующем виде : w = f (z) = u(x,y) + iv(x,y), где u(x,y) = Ref (z), v(x,y) = Imf (z) – действительные функции двух переменных, являющиеся

действительной и мнимой частями комплексной функции f (z).

Примеры. 1) f (z) = z = x2 + y2 − функция комплексной переменной, принимающая только действительные значения.

2)f (n) = fn = (1 + 2i)n , n =1, 2,3,…− последовательность комплексных чисел.

3)f (z) = zn , n Ν − каждому значению аргумента z соответствует одно комплексное значение функции. Такие функции называются однозначными или однолистными.

4)w = f (z) = 3 z каждому значению аргумента z соответствует три комплексных значения функции (п.1.3). Такие функции называются многозначными или многолистными.

Например, при z = −8 имеем: w1 =1+ 3i , w2 = −2, w3 =13i.

- 4 -

Понятия предела функции комплексного переменного (в частности, предела последовательности) и непрерывности вводятся аналогично тому, как это сделано для функций действительного переменного. Отличие заключается только в том, что вместо абсолютной величины действительного числа везде следует понимать модуль комплексного. Таким образом, число C = a + bi является пределом функции w = f (z) = u( x, y) + iv(x, y) при z z0 = x0 + iy0 ,

или limz z f (z) = C, если ε > 0 δ > 0 z : 0 < z z0 <δ f (z) C < ε .

0

Замечания. 1) Понятие предела ФКП (как и ФНП) является более сложным, нежели для функции одной действительной переменной. Это обусловлено существенно более многообразным стремлением аргумента ФКП (ФНП) к своей предельной точке.

2) Существование предела комплексной функции эквивалентно существованию пределов у двух действительных функций u(x, y) и v(x, y) при (x, y) (x0 , y0 ).

Легко показать, что выполнены все арифметические свойства пределов.

Функция называется непрерывной в т. z0 , если lim f (z) = f (z0 ). Это равенство эквивалентно

zz0

непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в т. (x0, y0). Из предыдущего сразу следует, что выполняются все арифметические свойства непрерывных функций.

1.6 Ряды в комплексной области.

Существование понятия предела последовательности (1.5) позволяет рассматривать ряды в комплексной области (как числовые, так и функциональные). Стандартно определяются частичные суммы, абсолютная и условная сходимость числовых рядов. При этом сходимость ряда предполагает сходимость двух рядов, один из которых состоит из действительных, а

другой из мнимых частей членов ряда: ck =

k =1

k =1

(ak + ibk ) = ak + ibk . Например, ряд

k =1

k =1

 

 

i

n

 

1

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

сходится абсолютно, а ряд

 

+

 

− расходится (за счет мнимой части).

n

2

+ n +1

 

 

 

n=1

 

n=1

n!

 

n +1

 

 

Если действительная и мнимая части ряда сходятся абсолютно, то абсолютно сходится и сам ряд, т.к. a2 +b2 a + b . Верно и обратное: из абсолютной сходимости комплексного ряда

следует абсолютная сходимость действительной и мнимой части: a a2 +b2 и b a2 +b2 .

Аналогично функциональным рядам в действительной области определяются комплексные функциональные ряды, область их поточечной и равномерной сходимости. Без изменения формулируется и доказывается признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Сохраняются все свойства равномерно сходящихся рядов.

При исследовании функциональных рядов особый интерес представляют собой степенные

ряды: cn (z z0 )n , или после замены ζ = z z0

: cnζ n . Как и в случае действительной

n=0

n=0

переменной, верна теорема Абеля: если степенной ряд (последний) сходится в т. ζ0 ≠ 0, то он сходится, и притом абсолютно, для любого ζ , удовлетворяющего неравенству ζ < ζ0 .

Таким образом, область сходимости D этого степенного ряда представляет собой круг радиуса R с центром в начале координат, где R радиус сходимости − точная верхняя грань

значений ζ0 (Откуда и появился этот термин). Исходный степенной ряд будет, в свою очередь,

сходиться в круге радиуса R с центром в т. z0 . При этом, в любом замкнутом круге K D

степенной ряд сходится абсолютно и равномерно (последнее утверждение сразу следует из признака Вейерштрасса (см. курс “Ряды”)).

Пример. Найти круг сходимости и исследовать на сходимость в тт. z1 и z2 степенного ряда

(z 1+ 2i)2n

 

 

 

 

(z (1 2i))2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, z1 =0, z2 =1.

Решение. lim

2n

 

 

<1

z (1 2i)

< 2 область

n

 

n

 

n=1

4 n

 

n→∞

 

4 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходимости − круг радиуса

R = 2 с центром в т. z0 = 1 − 2i . z = z1 = 0 :

 

z1 z0

 

=

 

1 2i

 

= 5 >2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 5 -

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]