- •1 Функции комплексной переменной.
- •1.1 Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения.
- •1.2 Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.
- •1.4 Множества комплексной плоскости.
- •1.5 Функции комплексной переменной.
- •1.6 Ряды в комплексной области.
- •1.7 Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера.
- •1.8 Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана.
- •1.9 Гармонические функции.
- •2 Интегральное исчисление функций комплексной переменной.
- •2.1 Интегралы в комплексной области.
- •2.2 Теория интегрирования Коши.
- •2.3 Формула Коши.
- •2.4 Следствия интегральной формулы Коши.
- •2.6 Ряды Лорана.
- •2.7 Изолированные особые точки аналитической функции.
- •2.8 Бесконечно удаленная особая точка.
- •2.11 Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке.
- •3.1 Интеграл Фурье
- •3.2 Преобразование Лапласа и формула обращения
- •3.3 Основные определения операционного исчисления
- •3.5 Основные теоремы операционного исчисления
- •3.6 Теоремы разложения
- •3.8 Изображение периодической функции
Оглавление
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ..
............................................................................................................................................................... |
|
- 2 - |
1 Функции комплексной переменной . ......................................................................................... |
- 2 - |
|
1.1 |
Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения. ............................. |
- 2 - |
1.2 |
Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра. ........................ |
- 2 - |
1.3 |
Извлечение корня n – ой степени из комплексных чисел............................................... |
- 3 - |
1.4 |
Множества комплексной плоскости. .................................................................................. |
- 4 - |
1.5 |
Функции комплексной переменной. ................................................................................... |
- 4 - |
1.6 |
Ряды в комплексной области............................................................................................... |
- 5 - |
1.7 |
Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера. ............................... |
- 6 - |
1.8 |
Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана. ....................... |
- 7 - |
1.9 |
Гармонические функции. ..................................................................................................... |
- 8 - |
2 Интегральное исчисление функций комплексной переменной . ............................................. |
- 9 - |
|
2.1 |
Интегралы в комплексной области. .................................................................................... |
- 9 - |
2.2 |
Теория интегрирования Коши. .......................................................................................... |
- 10 - |
2.3 |
Формула Коши. ................................................................................................................... |
- 11 - |
2.4 |
Следствия интегральной формулы Коши......................................................................... |
- 11 - |
2.5 |
Ряды Тейлора и Маклорена. .............................................................................................. |
- 12 - |
2.6 |
Ряды Лорана. ....................................................................................................................... |
- 13 - |
2.7 |
Изолированные особые точки аналитической функции................................................. |
- 14 - |
2.8 |
Бесконечно удаленная особая точка. ................................................................................ |
- 15 - |
2.9 |
Вычет аналитической функции в изолированной особой точке.................................... |
- 16 - |
2.10 Применение вычетов к вычислению интегралов. (Основная теорема теории вычетов) .. -
17 - |
|
|
2.11 Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке................................................ |
- 17 - |
|
3. Операционное исчисление....................................................................................................... |
- 18 - |
|
3.1 |
Интеграл Фурье................................................................................................................... |
- 18 - |
3.2 |
Преобразование Лапласа и формула обращения............................................................. |
- 20 - |
3.3 |
Основные определения операционного исчисления....................................................... |
- 21 - |
3.4 |
Основные свойства изображений и оригиналов.............................................................. |
- 22 - |
3.5 |
Основные теоремы операционного исчисления.............................................................. |
- 26 - |
3.6 |
Теоремы разложения.......................................................................................................... |
- 30 - |
3.7 |
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными |
|
коэффициентами методами операционного исчисления...................................................... |
- 31 - |
|
3.8 |
Изображение периодической функции............................................................................. |
- 33 - |
Л И Т Е Р А Т У Р А.......................................................................................................................... |
- 35 - |
- 1 -
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1 Функции комплексной переменной.
1.1 Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения.
Определение 1. Комплексным числом называется выражение z = x +iy, где x, y , а i
называется мнимой единицей и определяется следующим образом: i2 = −1 . Число x называется
действительной частью комплексного числа: x = Re z , y – мнимой частью: y = Im z.
Два комплексных числа z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 называются равными, если их действительные и мнимые части, соответственно, равны друг другу: z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2 .
Таким образом, одно комплексное равенство эквивалентно двум действительным.
Комплексное число z = x + i y равно нулю, если x = y = 0.
Суммой и произведением двух комплексных чисел называются комплексные числа
def |
+ x2 ) + i(y1 |
|
def |
− x2 y2 ) + i(x1 y2 |
|
z1 + z2 =(x1 |
+ y2 ); |
z1z2 =(x1 y1 |
+ x2 y1 ) соответственно. |
Операции вычитания и деления определяются как действия обратные сложению и умножению,
что приводит к следующему результату:
z |
− z |
|
= (x |
− x |
) + i ( y |
− y |
|
) , |
z1 |
= |
x1x2 + y1 y2 |
+ i |
x2 y1 − x1 y2 |
. |
|
|
z2 |
x22 + y22 |
|
||||||||||
1 |
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
x22 + y22 |
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами производятся по обычным правилам действий с двучленами, с учетом того, что i2 = −1 . Отсюда следует, что операции над комплексными числами подчинены обычным законам арифметики: коммутативности, ассоциативности и т.д.
Комплексные числа заполняют всю плоскость XOY, которую называют в этом случае комплексной плоскостью. Множество комплексных чисел, обычно, обозначают буквой Κ.
Определение 2. Число z = x − iy называется комплексно сопряженным к z. Определение 3. Величина mod z = z = x2 + y2 называется модулем комплексного числа.
Т.е. mod z равен расстоянию от начала координат до т. z. Нетрудно видеть, что z 2 = z z.
Примеры: 1) z = |
2 |
−3i |
; 2) Последовательность {i n} ={i, −1, −i,1, i, −1,…} . |
|
3 |
+ 4i |
|
Замечание. На множестве комплексных чисел не определено отношение ‘больше – меньше’.
Комплексные числа можно сравнивать между собой только по модулю.
1.2 Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.
В предыдущем параграфе было рассмотрено представление комплексных чисел в декартовой системе координат. Рассмотрим теперь комплексные числа в полярных координатах. Как известно, декартовы координаты выражаются через полярные следующим образом:
y |
x = r cosϕ |
r ≥ 0 |
|
−π ≤ϕ <π. |
|
|
y = r sinϕ |
|
|
Отсюда получаем: z = r (cosϕ + i sinϕ) − |
||||||||
|
M(x, y) = M(r, φ) |
тригонометрическая форма комплексного числа. |
||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
φ |
Здесь: |
||||||||
|
x |
r = |
|
z |
|
− модуль комплексного числа |
||||
|
|
|
||||||||
|
( таккак |
|
cosϕ + i sin ϕ |
|
= cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1). |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
Рис. 1 |
φ – аргумент комплексного числа : φ = arg z. |
- 2 -
Рассматривается два стандарта изменения φ: 0 ≤ϕ < 2π и −π <ϕ ≤π . Иногда приходится пользоваться понятием Arg z =ϕ + 2πn, n = 0, ±1, ±2,…. Ясно, что величина самого комплексного числа при этом никак не изменяется.
|
y |
|
|
|
|
arctg |
|
, x > 0 |
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
||
arctg |
+π , x < 0, y ≥ 0 |
||||
x |
|||||
|
|
|
|
||
Формулы для стандарта -π < φ ≤ π имеют вид: ϕ = arg z = |
y |
|
|
|
|
arctg |
−π, x < 0, y |
< 0 |
|
||
x |
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
− π |
, y < 0. |
|
приx = 0 : π , y > 0; |
|||||
|
|
2 |
2 |
|
(Для стандарта: 0 ≤ φ < 2π формулы будут немного отличаться)
Аргумент числа z = 0 не определен.
Примеры: − 2 ; i ; 1 − i 3 . {2, π ; 1, π/2 ; 2, −π/3 или 5π/3 }
Рассмотрим произведение 2-х комплексных чисел: z1z2 = r1 r2( cosϕ1 + i sinϕ1 )( cosϕ2 + i sinϕ2 ) =
= rr (cosϕ cosϕ |
2 |
−sinϕ sinϕ |
2 |
+ i(sinϕ cosϕ |
2 |
+sinϕ |
2 |
cosϕ )) = rr (cos(ϕ +ϕ |
) + i sin(ϕ +ϕ |
)). |
|||||
1 2 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент – сумме аргументов. Отсюда следует формула Муавра:
(cosϕ + i sinϕ)n = cosnϕ +i sin nϕ .
1.3 Извлечение корня n – ой степенииз комплексных чисел.
По определению: (n c )n = c. На множестве действительных чисел для однозначности вводится
понятие арифметического корня: корень четной степени – неотрицателен. В комплексной области такого ограничения быть не может (см. замечание в п. 1.1). Вообще говоря, все значения корня считаются равноправными. Из формулы Муавра следует, что одним из корней
из числа r(cosϕ +i sinϕ) будет число |
n r(cos |
ϕ |
+ i sin |
ϕ). |
Нетрудно видеть, что любое из чисел |
||||
|
ϕ +2πk |
|
ϕ +2πk ) |
|
|
n |
|
n |
|
n r(cos |
+ i sin |
также являются корнями из этого числа k Ν. При этом все |
|||||||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
они будут различны для значений k = 0,1,…, n −1. Для последующих значений k числа начнут повторяться. Окончательная формула имеет вид:
n z = n r(cos |
ϕ +2πk |
+ i sin |
ϕ +2πk ) , k = 0,1,2,…,n − 1. |
|
n |
|
n |
Все полученные значения располагаются в вершинах правильного n−угольника.
Замечание. Фактически, при извлечении корня пришлось использовать величину Arg z.
Примеры. 1) 4 −16 . { 2(1 + i); 2 (−1 + i); 2(−1 − i); 2(1 − i)}.
2) Рассмотрим квадратный корень из положительных и отрицательных действительных чисел в комплексной области. Корни из положительного числа а2 будут, очевидно, равны: a2 = ± a , что легко показать и формально. Отрицательные числа имеют аргумент, равный π . Отсюда
аргументы значений корня будут равны |
π |
u |
3π |
−a2 = ± i a. |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
Следствием полученного результата являются формулы для корней квадратного уравнения в
случае отрицательного дискриминанта: x |
= −b ±i −D , (D < 0). |
1,2 |
2a |
|
- 3 -
1.4 Множества комплексной плоскости.
В п.1.1 было показано, что z равен расстоянию от начала координат до т. z. Таким образом,
геометрический смысл модуля в комплексной области совпадает с геометрическим смыслом модуля в действительной области. Легко видеть, что и модуль разности 2-х комплексных чисел
обладает тем же свойством: |
|
z − z |
0 |
|
= |
(x − x )2 |
+( y − y |
)2 |
= d(z, z ) . Где |
d(z,z0) – расстояние от |
|||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
т. z до т. z0 на комплексной плоскости. Отсюда следует, что уравнение |
|
z − z0 |
|
= R описывает |
|||||||||
|
|
окружность с центром в т.z0 радиуса R, неравенства 1 ≤ z − i < 4 кольцо ширины 3 с центром в
т.i , без внешней границы. Уравнение arg z = π/3 описывает луч из начала координат под углом в
600 к оси ОХ. Неравенства π/6 ≤ arg z ≤ π/4 –множество точек между лучами под углом в 300 и 450 к оси ОХ (угол в 150 с границами). Вспомнив геометрический смысл кривых 2го порядка,
можно сказать, что неравенство |
|
z − z1 |
|
− |
|
|
|
z − z2 |
|
|
|
< 4 описывает множество точек между ветвями |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
гиперболы с фокусами в тт. z1 |
и z2, |
а |
|
z − z1 |
|
|
|
|
+ |
|
z − z2 |
|
≤ 9 − внутренние точки эллипса и сам |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
эллипс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = ∞. Комплексная плоскость вместе с |
В комплексной области вводится комплексное число |
единственной бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью. По умолчанию, говоря о комплексной плоскости, будем считать ее расширенной. Понятие области в ТФКП имеет более конкретный смысл нежели в теории функций действительной переменной. Областью называется открытое связное множество точек комплексной плоскости (т.е. открытое множество, 2 любые точки которого можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству). Напомним, что т. z называется внутренней точкой области, если существует окрестность этой точки, целиком принадлежащая области и граничной точкой, если любая ее окрестность содержит как точки области, так и точки области не принадлежащие. Множество граничных точек называется
границей области. Замкнутой областью называется ограниченная область вместе с границей.
Область G называется односвязной, если любой замкнутый без самопересечений контур l G ограничивает некоторую область D G , и многосвязной в противном случае.
Определение. |
ε – окрестностью т. z0 :Uε (z0 ) называется открытый круг радиуса ε с центром в |
||||
т. z0 : |
|
z − z0 |
|
< ε. |
ε – окрестностью бесконечно удаленной т. z = ∞ : Uε (∞) называется |
|
|
множество точек расширенной комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству: z > ε .
1.5 Функции комплексной переменной.
Пусть в комплексной плоскости задана некоторая область G и правило, по которому любому z G ставится в соответствие определенное число w W . В этом случае говорят, что на области G задана однозначная функция w = f (z) , отображающая область G на W. Если одному
значению z соответствует несколько чисел w , то такая функция называется многозначной. Функция f(z) может быть представлена в следующем виде : w = f (z) = u(x,y) + iv(x,y), где u(x,y) = Ref (z), v(x,y) = Imf (z) – действительные функции двух переменных, являющиеся
действительной и мнимой частями комплексной функции f (z).
Примеры. 1) f (z) = z = x2 + y2 − функция комплексной переменной, принимающая только действительные значения.
2)f (n) = fn = (1 + 2i)n , n =1, 2,3,…− последовательность комплексных чисел.
3)f (z) = zn , n Ν − каждому значению аргумента z соответствует одно комплексное значение функции. Такие функции называются однозначными или однолистными.
4)w = f (z) = 3 z − каждому значению аргумента z соответствует три комплексных значения функции (п.1.3). Такие функции называются многозначными или многолистными.
Например, при z = −8 имеем: w1 =1+ 3i , w2 = −2, w3 =1− 3i.
- 4 -
Понятия предела функции комплексного переменного (в частности, предела последовательности) и непрерывности вводятся аналогично тому, как это сделано для функций действительного переменного. Отличие заключается только в том, что вместо абсолютной величины действительного числа везде следует понимать модуль комплексного. Таким образом, число C = a + bi является пределом функции w = f (z) = u( x, y) + iv(x, y) при z → z0 = x0 + iy0 ,
или limz z f (z) = C, если ε > 0 δ > 0 z : 0 < z − z0 <δ f (z) −C < ε .
→ 0
Замечания. 1) Понятие предела ФКП (как и ФНП) является более сложным, нежели для функции одной действительной переменной. Это обусловлено существенно более многообразным стремлением аргумента ФКП (ФНП) к своей предельной точке.
2) Существование предела комплексной функции эквивалентно существованию пределов у двух действительных функций u(x, y) и v(x, y) при (x, y) → (x0 , y0 ).
Легко показать, что выполнены все арифметические свойства пределов.
Функция называется непрерывной в т. z0 , если lim f (z) = f (z0 ). Это равенство эквивалентно
z→z0
непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в т. (x0, y0). Из предыдущего сразу следует, что выполняются все арифметические свойства непрерывных функций.
1.6 Ряды в комплексной области.
Существование понятия предела последовательности (1.5) позволяет рассматривать ряды в комплексной области (как числовые, так и функциональные). Стандартно определяются частичные суммы, абсолютная и условная сходимость числовых рядов. При этом сходимость ряда предполагает сходимость двух рядов, один из которых состоит из действительных, а
∞ |
∞ |
другой из мнимых частей членов ряда: ∑ck =∑ |
|
k =1 |
k =1 |
∞ |
∞ |
(ak + ibk ) = ∑ak + i∑bk . Например, ряд |
|
k =1 |
k =1 |
∞ |
|
|
i |
n |
∞ |
|
1 |
|
|
i |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
сходится абсолютно, а ряд ∑ |
|
+ |
|
− расходится (за счет мнимой части). |
|||||
n |
2 |
+ n +1 |
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
n=1 |
n! |
|
n +1 |
|
|
Если действительная и мнимая части ряда сходятся абсолютно, то абсолютно сходится и сам ряд, т.к. a2 +b2 ≤ a + b . Верно и обратное: из абсолютной сходимости комплексного ряда
следует абсолютная сходимость действительной и мнимой части: a ≤ a2 +b2 и b ≤ a2 +b2 .
Аналогично функциональным рядам в действительной области определяются комплексные функциональные ряды, область их поточечной и равномерной сходимости. Без изменения формулируется и доказывается признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Сохраняются все свойства равномерно сходящихся рядов.
При исследовании функциональных рядов особый интерес представляют собой степенные
∞ |
∞ |
ряды: ∑cn (z − z0 )n , или после замены ζ = z − z0 |
: ∑cnζ n . Как и в случае действительной |
n=0 |
n=0 |
переменной, верна теорема Абеля: если степенной ряд (последний) сходится в т. ζ0 ≠ 0, то он сходится, и притом абсолютно, для любого ζ , удовлетворяющего неравенству ζ < ζ0 .
Таким образом, область сходимости D этого степенного ряда представляет собой круг радиуса R с центром в начале координат, где R − радиус сходимости − точная верхняя грань
значений ζ0 (Откуда и появился этот термин). Исходный степенной ряд будет, в свою очередь,
сходиться в круге радиуса R с центром в т. z0 . При этом, в любом замкнутом круге K D
степенной ряд сходится абсолютно и равномерно (последнее утверждение сразу следует из признака Вейерштрасса (см. курс “Ряды”)).
Пример. Найти круг сходимости и исследовать на сходимость в тт. z1 и z2 степенного ряда
∞ |
(z −1+ 2i)2n |
|
|
|
|
(z −(1 −2i))2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
, z1 =0, z2 =1. |
Решение. lim |
2n |
|
|
<1 |
z −(1 −2i) |
< 2 область |
|||||||||
n |
|
n |
|
||||||||||||||
n=1 |
4 n |
|
n→∞ |
|
4 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сходимости − круг радиуса |
R = 2 с центром в т. z0 = 1 − 2i . z = z1 = 0 : |
|
z1 − z0 |
|
= |
|
1 − 2i |
|
= 5 >2 |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- 5 - |